有限单元法ppt课件

有限单元法 有限元法 内容简介有限元法是结构分析的一种数值计算方法 它在20世纪50年代初期随着计算机的发展应运而生 这一方法的理论基础牢靠 物理概念清晰 解题效率高 适应性强 目前已成为机械产品动 静 热特性分析的重要手段 它的程序包是机械产品计算机辅助设计方法库中不可缺少的内容之一 本章介绍了如下内容 有限元法的基本思想及应用 平面问题有限元分析原理及步骤 有限元法的设计应用及计算实例 3 内容结构 第一节概述 第三节工程应用 第二节有限单元法的分析步骤 概述 在工程分析和科学研究中 常常会遇到大量的由常微分方程 偏微分方程及相应的边界条件描述的场问题 如位移场 应力场和温度场等问题 目前求解这类场问题的方法主要有两种 用解析法求得精确解 用数值解法求其近似解 其中 能用解析法求出精确解的只能是方程性质比较简单且几何边界相当规则的少数问题 而对于绝大多数问题 则很少能得出解析解 这就需要研究它的数值解法 以求出近似解 目前 工程中实用的数值解法主要有三种 有限差分法 有限元法 边界元法其中 以有限元法通用性最好 解题效率高 工程应用最广 目前它已成为机械产品动 静 热特性分析的重要手段 它的程序包是机械产品计算机辅助设计方法库中不可缺少的内容之一 6 场问题 解析法 数值法 有限差分法有限元法边界元法 7 第一章概述 1 1有限单元法的概念 1 2有限单元法特点及分类 1 3在现代设计过程中的作用 1 4发展历史及前沿技术 8 第一章概述 1 1有限单元法的概念 基本思想 借助于数学和力学知识 利用计算机技术而解决工程技术问题 FiniteElementMethod FEMFiniteElementAnalysis 9 10 x1 x2 x3 11 边界条件 x1 0 12 13 将复杂的连续体划分为有限多个简单的单元体 列出方程组并求解 核心思想之一 常见的系统 几何实体载荷物理系统 15 16 有限元方法的基本思想是先化整为零 再积零为整 也就是把一个连续体人为分割成有限个单元 即把一个结构看成由若干通过结点相连的单元组成的整体 先进行单元分析 然后再把这些单元组合起来代表原来的结构进行整体分析 一分一合 17 从数学的角度来看 有限元方法是将一个偏微分方程化成一个代数方程组 然后利用计算机进行求解的方法 由于有限元法采用了矩阵算法 因此借助计算机便可以快速地算出结果 18 有限单元法的特点及分类优点 1 对复杂几何形状的适应性 19 2 对各种问题的可适用性 20 3 适合计算机实现的高效性 21 按所取未知量的不同 有限元法分类 位移法 以节点位移作为基本未知量 力法 以节点力作为基本未知量 混合法 以一部分节点位移 一部分节点的力作为基本未知量 22 三大类型 按其推导方法分 1 直接刚度法 简称直接法 根据单元的物理意义 建立有关场变量表示的单元性质方程 2 变分法直接从求解泛函的极值问题入手 把泛函的极值问题规划成线性代数方程组 然后求其近似解的一种计算方法 3 加权余量法直接从控制方程中得到有限单元方程 是一种近似解法 23 有限元法在现代设计过程中的作用 1 应力和变形的计算 有利于提高产品的安全可靠性 一方面消除了设计过程中的一个不确定环节 另一方面 在准确把握载荷与应力应变关系的基础上 又可以适当地采用小的安全系数来进行设计 从而有效降低成本 24 2 产品性能与结构优化仿真分析 缩短新产品开发周期与研制费用 采用有限单元法进行产品性能 结构优化仿真研究并与物理仿真相结合的方法则可有效减少性能测试样品的数量以及方案寻优的次数 从而有效缩短新产品开发周期与研制费用 如汽车的碰撞性能模拟等 25 工程问题的理论性研究 为产品的设计与产品使用提供理论依据 成为到目前为止工程问题理论研究最强大的工具之一 也是现代设计过程及产品使用获得理论依据的最重要的手段之一 26 有限元方法是处理连续介质问题的一种普遍方法 离散化是有限元方法的基础 然而 这种思想自古有之 齐诺曾说道 空间是有限的和无限可分的 故 事物要存在必有大小 亚里士多德也讲过 连续体由可分的元素组成 古代人在计算圆的周长或面积时就采用了离散化的逼近方法 有限单元法的发展历史与前沿技术 27 有限单元法的发展历史有限元法的发展历程可以分为 提出 1943 发展 1944一1960 完善 1961 二十世纪九十年代 三个阶段 28 1943年 数学家库朗德第一次提出了可在定义域内分片地使用展开函数来表达其上的未知函数 这实际上就是有限元的做法 1946年计算机诞生 开始用来进行数值计算杆系结构力学 29 30 有限元法早期 1944一1960 发展阶段中 得出了有限元法的原始代数表达形式 开始了对单元划分 单元类型选择的研究 并且在解的收敛性研究上取得了很大突破 1960年 克劳夫第一次提出了 有限元法 这个名称 标志着有限元法早期发展阶段的结束 31 有限元法完善阶段 1961一二十世纪九十年代 的发展有国外和国内两条线索 在国外的发展表现为 第一 建立了严格的数学和工程学基础 第二 应用范围扩展到了结构力学以外的领域 第三 收敛性得到了进一步研究 形成了系统的误差估计理论 第四 发展起了相应的商业软件包 32 在国内 我国数学家冯康独立于西方提出了有限元法 1965年 他发表论文 基于变分原理的差分格式 标志着有限元法在我国的诞生 冯康的这篇文章不但提出了有限元法 而且初步发展了有限元法 他得出了有限元法在特定条件下的表达式 独创了 冯氏大定理 并且初步证明了有限元法解的收敛性 虽然冯康创造的有限元法不成熟 但他能在当时的条件下独立提出有限元法已十分不易 对于他的这项成就 国内外专家学者和国家领导人都有很高的评价 33 有限元技术的发展趋势 分析功能不断丰富可变形体与多体耦合多相多态介质耦合与多物理场耦合多尺度耦合分析 34 有限元技术的发展趋势 性能不断增强 35 有限元法的前沿技术 与CAD软件的无缝集成 36 由求解线性工程问题进展到分析非线性问题随着科学技术的发展 线性理论已经远远不能满足设计的要求 例如建筑行业中的高层建筑和大跨度悬索桥的出现 就要求考虑结构的大位移和大应变等几何非线性问题 航天和动力工程的高温部件存在热变形和热应力 也要考虑材料的非线性问题 诸如塑料 橡胶和复合材料等各种新材料的出现 仅靠线性计算理论就不足以解决遇到的问题 只有采用非线性有限元算法才能解决 众所周知 非线性的数值计算是很复杂的 它涉及到很多专门的数学问题和运算技巧 很难为一般工程技术人员所掌握 为此近年来国外一些公司花费了大量的人力和投资开发诸如MARC ABQUS和ADINA等专长于求解非线性问题的有限元分析软件 并广泛应用于工程实践 这些软件的共同特点是具有高效的非线性求解器以及丰富和实用的非线性材料库 37 38 从单纯的结构力学计算发展到求解许多物理场问题有限元分析方法最早是从结构化矩阵分析发展而来 逐步推广到板 壳和实体等连续体固体力学分析 实践证明这是一种非常有效的数值分析方法 而且从理论上也已经证明 只要用于离散求解对象的单元足够小 所得的解就可足够逼近于精确值 所以近年来有限元方法已发展到流体力学 温度场 电传导 磁场 渗流和声场等问题的求解计算 最近又发展到求解几个交叉学科的问题 39 例如当气流流过一个很高的铁塔时就会使铁塔产生变形 而塔的变形又反过来影响到气流的流动 这就需要用固体力学和流体动力学的有限元分析结果交叉迭代求解 即所谓 流固耦合 的问题 40 增强可视化的前置建模和后置数据处理功能早期有限元分析软件的研究重点在于推导新的高效率求解方法和高精度的单元 随着数值分析方法的逐步完善 尤其是计算机运算速度的飞速发展 整个计算系统用于求解运算的时间越来越少 而数据准备和运算结果的表现问题却日益突出 在现在的工程工作站上 求解一个包含10万个方程的有限元模型只需要用几十分钟 41 但是如果用手工方式来建立这个模型 然后再处理大量的计算结果则需用几周的时间 可以毫不夸张地说 工程师在分析计算一个工程问题时有80 以上的精力都花在数据准备和结果分析上 因此目前几乎所有的商业化有限元程序系统都有功能很强的前置建模和后置数据处理模块 在强调 可视化 的今天 很多程序都建立了对用户非常友好的GUI GraphicsUserInterface 使用户能以可视图形方式直观快速地进行网格自动划分 生成有限元分析所需数据 并按要求将大量的计算结果整理成变形图 等值分布云图 便于极值搜索和所需数据的列表输出 42 在Wintel平台上的发展早期的有限元分析软件基本上都是在大中型计算机上开发和运行的 后来又发展到以工程工作站为平台 它们的共同特点都是采用UNIX操作系统 PC机的出现使计算机的应用发生了根本性的变化 工程师渴望在办公桌上完成复杂工程分析的梦想成为现实 但是早期的PC机采用16位CPU和DOS操作系统 内存中的公共数据块受到限制 因此当时计算模型的规模不能超过1万阶方程 MicrosoftWindows操作系统和32位的IntelPentium处理器的推出为将PC机用于有限元分析提供了必需的软件和硬件支撑平台 因此当前国际上著名的有限元程序研究和发展机构都纷纷将他们的软件移植到Wintel平台上 43 44 4 2有限单元法的分析步骤有限元法的分析过程可概括如下 结构离散化 单元分析 整体分析 46 47 48 49 50 连续体离散化连续体 是指所求解的对象 如物体或结构 离散化 划分网格或网络化 是将任意形状的 受各种载荷和约束的连续体或结构划分成划分为有限个方位不同 但几何性质及物理性质均相似 具有规则形状的微小块体 51 52 把每个微小块体称为单元 相邻两个单元之间只通过若干点互相连接 每个连接点称为节点 相邻单元只在节点处连接 载荷也只通过节点在各单元之间传递 这些有限个单元的集合体 即原来的连续体 53 有限单元计算所用到的数据 个数 单元 节点 力约束 坐标单元组成及其物理性质点号 受力点 约束点 54 55 56 57 平面应力平面应变 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 单元划分方法及原则 连续体离散化时 要根据设计对象的具体情况 结构物的形状 载荷特性 边界条件等 确定单元 网格 的大小和形状 单元的数目以及划分方案 杆状单元 图5 2所示为杆状单元 可有一维 二维和三维梁单元 69 planestresselementplanestrainelement planeelement 70 Solidelement 71 Axisymmetricsolidelement 72 Plateelement 73 Plateelement 线性 二次和三次单元 74 75 76 77 78 79 单元划分原则 误差与单元尺寸成正比 80 误差与单元单元最小内角正弦成反比 81 分界线处单元划分 82 载荷分布 83 网格疏密 84 凹槽 孔 85 逐步加密 86 87 4 2 3单元分析 单元分析的主要内容 由节点位移求单元内部任一点的位移 根据几何方程 任一点的位移对坐标求偏导得到该点的应变 根据物理方程 由各点的应变求应力 根据平衡微分方程或虚功方程 由各点的应力求单元节点力 1 单元位移模式 一 由节点位移求单元内部任一点的位移 位移模式 假设的单元内各点位移所满足的分布规律 即假设位移是坐标的某种函数 选择位移模式时需满足的条件 满足收敛条件较好地反映单元实际位移 便于数学处理 1 位移模式的选取 90 满足收敛准则 91 当载荷给定时 有限元计算变形结果 实际变形随网格细化 位移解从下方收敛于精确解 得到真实解的下限 位移模式的人为设定多加约束 提高刚度 92 协调有限元解答的下限性 位移法 93 位移模式必须包含单元的刚体位移 保证收敛性 满足 94 保证收敛性 满足 位移模式必须反映单元的常应变 95 保证收敛性 满足 位移模式必须保证结构位移的连续协调 96 位移模式的形式 一般选择多项式 一般的位移曲线或位移曲面 都可以用多项式函数来逼近多项式函数的微分 积分等数学运算都比较简便容易满足收敛条件 98 保证几何各向同性 99 100 保证待定系数的个数等于单元的自由度数 三节点三角形单元 2 算例 由单元节点位移求位移参数 102 六个节点位移分量可确定六个待定位移参数 写成矩阵的形式为 设节点i j m坐标分别是xi yi xj yj xm ym 把三个节点的坐标及其水平位移分量代入位移模式中得 解出 的结果如下 局部节点号逆时针编排 局部节点号顺时针编排 将 写成矩阵形式 有 Ni x y Nj x y Nm x y 二阶单位阵 形函数物理意义 i节点单位位移 其他节点位移 Ni Nj Nm是坐标的连续函数 它反映单元内位移的分布状态 称为位移的形状函数 简称形函数 矩阵 N 称为形函数矩阵 分量为0 单元内部产生位移分布形状 面积坐标 i 单元内部p点与jm边组成的内部三角形的面积 Ni x y 是单元内任一点P与jm边形成的内部三角形的面积与单元面积之比 113 二 单元内任意一点的应变 应变场 应变矩阵 几何方程 114 平面应力问题的单元应力场 应力矩阵 由物理方程知 117 118 三 单元刚度矩阵的建立 节点位移节点力 节点力 连续体离散化后 外载 约束和其他单元通过节点作用在某一单元上的力 119 120 虚功原理 121 122 123 124 125 处于平衡状态的单元上的节点力在某一虚移位上所做的虚功应等于单元应力在相应虚应变上所作的虚功 126 虚位移与虚应变 故单元中任意一点的虚位移为 由几何方程可得虚应变为 由虚位移原理虚功方程建立单元刚度方程 127 将虚位移 虚应变代入虚功方程有 128 刚度矩阵 刚度矩阵取决于单元形状 大小 方位 弹性常数 129 130 单元刚度矩阵的物理意义 单元刚度矩阵的每一个元素都有明显的物理意义 表示节点S S i j m 在水平方向 垂直方向产生单位位移时 在节点r r i j m 上分别所要施加的水平节点力和垂直节点力的大小 例如表示节点j在垂直方向产生单位位移时 在节点i所需要施加的水平节点力的大小 131 单元一个节点上的节点力分量是本单元上三个节点六个位移分量对其提供贡献的总和 132 单元刚度矩阵的物理意义及其性质 1 单元刚度矩阵是对称阵 只要证明 2 单元刚阵是奇异阵 即 K 0 这是因为计算单元刚阵时没有对单元的节点加以约束 虽然 单元处于平衡状态 但容许单元产生刚体位移 故从单元刚度平衡方程不可能得到唯一位移解 只能得到唯一的节点力解 3 分块性质 可以分块运算 133 4 2 4整体分析 134 单元刚度矩阵 整体刚度矩阵 节点力在单元内部是内力节点受到多方面力的综合作用 节点平衡方程 135 平衡方程 136 137 式中 不失一般性 仅考虑计算模型中有4个单元 如图所示 四个单元的整体节点位移列阵为 整体刚度矩阵 138 对每个单元都可以写出相应的单元刚度方程 即单元节点平衡方程 例如 对 号单元 有 为了便于组装整体刚度矩阵 将上式以整体节点位移表示 即 号单元的扩大刚度矩阵或称为单元贡献矩阵 整体刚度矩阵 139 同理 对于 单元 有 整体刚度矩阵 140 对于3单元 有 整体刚度矩阵 141 对于 单元 有 整体刚度矩阵 142 对于任意一个节点 可能承受两种力的作用 一种是其它单元给予该节点的反作用力 另一种是作用在节点上的等效节点力 对整体而言 前者属于内力 后者属于外力 每个节点在两种力的作用下处于平衡 将各单元刚度方程左边相加 即将各节点所受力相加 由于对于整体而言 单元给予节点的反作用力属于内力 在相加过程中相互抵消 所以各节点所受力相加的结果只有外力 即等效节点力 从而得到整体节点荷载列阵 如下 整体刚度矩阵 143 将各单元刚度方程右边相加 从而得到整体刚度矩阵 如下 整体刚度矩阵 144 通过以上分析得 整体节点载荷与整体节点位移之间的关系式 即结构整体有限元方程 如下 整体刚度矩阵 145 通过以上组装过程可以得到组装整体刚度矩阵的一般规则 1 结构中的等效节点力是相关单元结点力的叠加 整体刚度矩阵的子矩阵是相关单元的单元刚度矩阵子矩阵的集成 2 当整体刚度矩阵中的子矩阵中r s时 该节点 节点r或s 被哪几个单元所共有 则就是这几个单元的刚度矩阵中的子矩阵的相加 如应该是单元 中对应子矩阵的集成 即 整体刚度矩阵 146 3 当中时 若rs边是组合体的内边 则就是共用该边的两相邻单元刚度矩阵中的子矩阵的相加 如13边为单元 和 的共用边 则 4 当中r和s不同属于任何单元时 则 0 如节点r 1和s 5不同属于任何单元 此时 0 整体刚度矩阵 147 整体刚度矩阵的特点 在有限元法中 整体刚度矩阵的阶数通常是很高的 在解算时常遇到矩阵阶数高和存贮容量有限的矛盾 找到整体刚度矩阵的特性达到节省存贮容量的途径 1 对称性 只存贮矩阵的上三角部分 节省近一半的存贮容量 2 稀疏性 矩阵的绝大多数元素都是零 非零元素只占一小部分 148 整体刚度矩阵的特点 2 稀疏性 矩阵的绝大多数元素都是零 非零元素只占一小部分 节点5只与周围的六个节点 2 3 4 6 8 9 用三角形单元相连 它们是5的相关节点 只有当这七个相关节点产生位移时 才使该节点产生节点力 其余节点发生位移时并不在该节点处引起节点力 因此 在矩阵 K 中 第5行的非零子块只有七个 即与相关节点对应的七个子块 149 整体刚度矩阵的特点 2 稀疏性 一般 一个节点的相关结点不会超过九个 如果网格中有200个节点 则一行中非零子块的个数与该行的子块总数相比不大于9 200 即在5 以下 如果网格的节点个数越多 则刚度矩阵的稀疏性就越突出 利用矩阵 K 的稀疏性 可设法只存贮非零元素 从而可大量地节省存贮容量 150 整体刚度矩阵的特点 3 带形分布规律 上图中 矩阵 K 的非零元素分布在以对角线为中心的带形区域内 称为带形矩阵 在半个带形区域中 包括对角线元素在内 每行具有的元素个数叫做半带宽 用d表示 半带宽的一般计算公式是 半带宽d 相邻结点码的最大差值 1 2上图中相邻节点码的最大差值为4 故d 4 1 2 10利用带形矩阵的特点并利用对称性 可只存贮上半带的元素 叫半带存贮 151 4 2 5载荷移置和约束处理4 2 5 1载荷移置单元非结点荷载向结点移置 152 单元载荷移置概念 如果弹性体受承受的载荷全都是集中力 则将所有集中力的作用点取为离散结构的结点 就不存在移置的问题 集中力就是结点载荷 但实际问题往往受有分布的面力和体力 都不可能只作用在结点上 因此 就必须进行载荷移置 如果集中力的作用点未被取为结点 该集中力也要向结点移置 有限元分析的基本未知量是离散结构的结点位移 基本方程是结点平衡方程 相应地 作用在离散结构上的所有非结点荷载 都必须向结点移置 成为等效结点荷载 153 单元载荷移置原则 在确定的位移模式下 原载荷与等效结点载荷在任意虚位移上的虚功应相等 与静力等效的原则是等价的 移置结果也是唯一的 我们采用后者实现荷载的静力等效移置 将载荷移置到结点上 必须遵循静力等效的原则 亦即原载荷与结点载荷静力等效的原则 154 单元载荷移置 集中力 155 结点虚位移 等效结点载荷 等效结点载荷虚功 单元载荷移置 集中力 156 集中力作用点虚位移 集中力 单元载荷移置 集中力 集中力虚功 157 集中力虚功 单元载荷移置 集中力 等效结点荷载虚功 注意 N中的x y必须带入集中力作用点的坐标 158 单元载荷移置 集中力 注意 N中的x y必须带入集中力作用点的坐标 159 单元载荷移置 分布力 分布体力的移置分布面力的移置 160 约束处理及求解 约束处理的必要性建立结构原始平衡方程式时 并未考虑支承条件 约束 也就是说 将原始结构处理成一个自由悬空的 存在刚体位移的几何可变结构 整体刚度矩阵是奇异矩阵 因此 无法求解 可以结合实际工程结构引入支承条件 即对结构原始平衡方程式做约束处理 约束处理后的方程称为基本平衡方程 统一记为 161 约束简化 约束条件 约束点 至少一个方向位移已知方便后续分析处理本质是载荷移置 162 基础刚性支撑简化对称结构的对称部分支撑允许产生给定位移的支撑 163 约束处理方法约束处理常用方法有 划行划列法填0置1法乘大数法不会破坏整体刚度矩阵的对称性 稀疏性及带状分布等特性 164 165 工程实例 a 铲运机举升工况测试 b 铲运机工作装置插入工况有限元分析 图1 3WJD 1 5型电动铲运机 166 第一章概述 a KOMATSU液压挖掘机 b 某液压挖掘机动臂限元分析图1 4液压挖掘机 167 第一章概述 图1 5驾驶室受侧向力应力云图图1 6接触问题结构件应力云图 168 第一章概述 图1 7液压管路速度场分布云图图1 8磨片热应力云图 图1 9支架自由振动云图 169 170 171 172 173 174 175 1 在单元任一点上 三个形函数之和等于1 2 形函数Ni在i点的函数值为1 在j点及m点的函数值为0 在jm边上的函数值也为0 3 形函数Ni的图形是一个直角四面体的三角形斜面 4 形函数Ni使单元位移与节点位移相协调 5 用二重积分的换元公式求上面第一个积分 使用换元公式需满足三个条件 1 x u v y u v 在D 上具有一阶连续偏导数2 在D 上雅可比式不等于0 变换T D D是一对一的 取形函数Ni Nj为变换函数 xoy平面的i点 变换到 1O 2平面的 1 0 点xoy平面的j点 变换到 1O 2平面的 0 1 点xoy平面的m点 变换到 1O 2平面的 0 0 点 求变换函数的雅可比 6 三角形单元ijm在ij边上的形函数与第三个顶点的坐标xm ym无关 公共边界ij上P点的位移 推论 当三节点三角形单元的位移模式是坐标的线性函数时 相邻单元的位移在公共边上是连续的 在ij边上 例4 2 求图示单元 和单元 的形函数矩阵 i j 约定节点编号逆时针方向 单元 如左图所示 设a 1m b 2m 1 求系数 2 求形函数矩阵 代入相关常数 将a 1 b 2代入得 ai xjym xmyj abaj xmyi xiym abam xiyj xjyi abbi yj ym abj ym yi 0bm yi yj aci xm xj 0cj xi xm bcm xj xi b 1 求常数 2 单元II如图所示 设a 1m b 2m 2 求形函数矩阵 ai xjym xmyj abaj xmyi xiym abam xiyj xjyi abbi yj ym abj ym yi 0bm yi yj aci xm xj 0cj xi xm bcm xj xi b 将a 1 b 2m代入上式得 193 194 195 第一章概述 1 2有限单元法基本步骤 1 待求解域离散化 2 选择插值函数 3 形成单元性质的矩阵方程 4 形成整体系统的矩阵方程 5 约束处理 求解系统方程 6 其它参数计算 196 第一章概述 图1 2工程问题有限单元法分析流程 197 第二章结构几何构造分析 2 1结构几何构造的必要性 2 2结构计算基本知识 2 3结构几何构造分析的自由度与约束 2 4自由度计算公式 198 第二章结构几何构造分析 2 1结构几何构造的必要性 结构是用来承受和传递载荷的 如果不计材料的应变 在其受到任意载荷作用时其形状和位置没有发生刚体位移时 称之为几何不变结构或几何稳定结构 反之则称为几何可变结构或几何不稳定结构 几何可变结构不能承受和传递载荷 对结构进行几何构造分析也是能够对工程结构作有限单元法分析的必要条件 199 第二章结构几何构造分析 a 结构本身可变 b 缺少必要的约束条件 c 约束汇交于一点图2 1几何可变结构 200 第二章结构几何构造分析 2 2结构计算基本知识 2 2 1结构计算简图 实际结构总是很复杂的 完全按照结构的实际情况进行力学分析是不可能的 也是不必要的 因此在对实际结构进行力学计算之前 必须将其作合理的简化 使之成为既反映实际结构的受力状态与特点 又便于计算的几何图形 这种被抽象化了的简单的理想图形称之为结构的计算简图 有时也称为结构的力学模型 结构计算所常用的结点和支座的简化形式 1 结点 铰结点 刚结点 混合结点 2 支座 活动铰支座 固定铰支座 固定支座 定向支座 201 第二章结构几何构造分析 2 2 2结构的分类与基本特征 按结构在空间的位置分结构可分为平面结构和空间结构两大类 2 按结构元件的几何特征分 杆系结构 梁 拱 桁架 刚架 桁构结构等 板壳结构 实体结构实体结构的长 宽 高三个尺寸都很大 具有同一量级 混合结构 202 第二章结构几何构造分析 3 按结构自由度分 静定结构 自由度为零的几何不变结构 其特征 a 静定结构的内力及支座反力可全部由平衡方程式求出 并且解答是唯一的 b 静定结构的内力及支座反力与材料的性质和截面特征 几何尺寸 形状 无关 c 静定结构上无外载荷作用时 其内力及支座反力全为零 d 若静定结构在载荷作用下 结构中的某一部分能不依靠于其它部分 独立地与载荷保持平衡时 则其它部分的内力为零 e 当将一平衡力系作用于静定结构的一个几何不变部分时 结构的其余部分都无内力产生 f 当静定结构中的一个内部几何不变部分上的载荷作等效变换时 其余部分的内力不变 g 当静定结构中的一个内部儿何不变部分作构造改变时 其余部分的内力不变 203 第二章结构几何构造分析 超静定结构 自由度大于零的几何不变结构 其特性 a 超静定结构仅仅满足静力平衡条件的解有无穷多个 但同时满足结构变形协调条件的解仅有一个 b 超静定结构的内力及支反力不仅与载荷有关 而且与林料的力学性能和截面尺寸有关 c 超静定结构在非载荷因素作用下 如温度变化 支座沉陷 制造误差等而产生的位移会受到多余约束的限制 结构内必将产生内力 d 超静定结构中的多余约束破坏后 结构仍然保持几何不变性 因而仍有一定的承载能力 不致整个结构遭受破坏 e 超静定结构由于具有多余的约束 因而比相应的静定结构具有较大的刚度和稳定性 在载荷作用下 内力分布也较均匀 且内力峰值也较静定结构为小 204 第二章结构几何构造分析 1 具有奇数跨的刚架 正对称载荷作用 2 2 3结构对称性的利用对称结构在正对称载荷下 对称轴截面上只能产生正对称的位移 反对称的位移为零 对称结构在反对称载荷下 对称轴截面上只有反对称的位移 正对称的位移为零 a 对称刚架 b 变形状态分析 c 对称性利用图2 22对称性利用示意图 205 第二章结构几何构造分析 对称刚架承受反对称载荷作用 a 对称刚架 b 变形状态分析 c 反对称性利用图2 23反对称性利用示意图 206 第二章结构几何构造分析 a 变形状态分析 b 对称性利用图2 24对称性利用示意图 2 具有偶数跨的刚架 正对称载荷作用 207 第二章结构几何构造分析 反对称载荷作用 b 反对称性状态分析 a 变形状态分析 c 反对称性受力分析 d 反对称性利用图2 25对称性利用示意图 208 第二章结构几何构造分析 2 3结构几何构造分析的自由度与约束 1 自由度指结构在所在空间运动时 可以独立改变的几何参数的数目 也就是确定该结构位置时所需的独立参数的数目 2 约束指减少结构自由度的装置 即限制结构结构运动的装置 a 支座链杆的约束b 铰的约束 单铰 复铰 完全铰与不完全铰 209 第二章结构几何构造分析 1 桁架自由度计算公式 一个平面体系的自由度计算结果 不外下述三种可能 a W 0表明结构缺少必要的约束 可运动 故结构必定是几何可变体系 b W 0表明结构具有保证几何不变所需的最少的约束数 c W 0表明结构具有多余约束 2 4自由度计算公式 桁架中的结点数为j 杆件数为g 支座链杆数为z 则桁架的自由度W为 2 平面混合结构的自由度计算公式 210 3 1结构离散与向量表示 第三章杆系结构静力分析的有限单元法 3 2位移函数及单元的刚度矩阵 3 3坐标变换及单元刚度矩阵 3 4整体刚度矩阵 3 5约束处理及求解 3 6计算示例 3 7ANSYS桁架结构计算示例 3 8ANSYS刚架结构计算示例 211 3 1结构离散与向量表示 工程上许多由金属构件所组成的结构 如塔式桁构支承架 起重机起重臂架 钢结构桥梁 钢结构建筑等可以归结为杆系结构 杆系结构按各杆轴线及外力作用线在空间的位置分为平面杆系和空间杆系结构 杆系结构可以由杆单元 梁单元组成 a Liebherr塔式起重机 b Liebherr履带式起重机 c 钢结构桥梁 d 埃菲尔铁塔图3 1杆系结构 第三章杆系结构静力分析的有限单元法 212 3 1 1结构离散化 由于杆系结构本身是由真实杆件联接而成 故离散化比较简单 一般将杆件或者杆件的一段 一根杆又分为几个单元 作为一个单元 杆件与杆件相连接的交点称为结点 杆系结构的离散化的要点可参考如下 a 杆件的转折点 汇交点 自由端 集中载荷作用点 支承点以及沿杆长截面突变处等均可设置成结点 这些结点都是根据结构本身特点来确定的 b 结构中两个结点间的每一个等截面直杆可以设置为一个单元 变换为作用在结点上的等效结点载荷 第三章杆系结构静力分析的有限单元法 213 c 变截面杆件可分段处理成多个单元 取各段中点处的截面近似作为该单元的截面 各单元仍按等截面杆进行计算 d 对曲杆组成的结构 可用多段折线代替 每端折线为一个单元 如若提高计算精度 也可以在杆件中间增加结点 e 在有限元法计算中 载荷作用到结点上 当结构有非结点载荷作用时 应该按照静力等效的原则将其 第三章杆系结构静力分析的有限单元法 a 结点载荷处理方式 b 等效结点载荷处理方式图3 2杆系结构离散化示意图 214 3 1 2坐标系 图3 3坐标系示意图 为了建立结构的平衡条件 对结构进行整体分析 尚需要建立一个对每个单元都适用的统一坐标系 即结构坐标系或称之为整体坐标系 总体坐标系 第三章杆系结构静力分析的有限单元法 215 3 1 3向量表示 在有限单元法中力学向量的规定为 当线位移及相应力与坐标轴方向一致时为正 反之为负 转角位移和力矩 按右手法则定出的矢量方向若与坐标轴正向相一致时为正 对于任意方向的力学向量 应分解为沿坐标轴方向的分量 刚架结构示意图 b 结点位移和结点力分向量图3 4平面刚架分析示意图 第三章杆系结构静力分析的有限单元法 216 结点位移列向量为 单元e结点位移列向量为 结点力向量为 单元e结点力列向量为 第三章杆系结构静力分析的有限单元法 217 3 2位移函数及单元的刚度矩阵 3 2 1轴向拉压杆单元的位移的函数 有限单元法分析中 虽然对不同结构可能会采取不同的单元类型 采用的单元的位移模式不同 但是构建的位移函数的数学模型的性能 能否真实反映真实结构的位移分布规律等 直接影响计算结果的真实性 计算精度及解的收敛性 为了保证解的收敛性 选用的位移函数应当满足下列要求 a 单元位移函数的项数 至少应等于单元的自由度数 它的阶数至少包含常数项和一次项 至于高次项要选取多少项 则应视单元的类型而定 第三章杆系结构静力分析的有限单元法 218 由单元结点位移 确定待定系数项当时 当时 所以用结点位移表示其中 分别表示当 时 时的单元内的轴向位移状态 故称为轴向位移形函数 第三章杆系结构静力分析的有限单元法 b 单元的刚体位移状态和应变状态应当全部包含在位移函数中 c 单元的位移函数应保证在单元内连续 以及相邻单元之间的位移协调性 219 3 2 2梁单元平面弯曲的位移函数梁单元平面弯曲仅考虑结点的四个位移分量 由材料力学知 各截面的转角 故梁单元平面弯曲的位移表达式可分为仅包含四个待定系数 的多项式单元结点位移条件当时 当时 第三章杆系结构静力分析的有限单元法 220 称为形函数矩阵 第三章杆系结构静力分析的有限单元法 221 3 2 3单元的应力应变在弹性范围内 并且不考虑剪力的影响时 平面刚架单元内任一点的轴向线应变由两部分组成 即轴向应变与弯曲应变之和 其轴向应变与平面桁架轴向应变相同 轴向应变为弯曲应变为y为梁单元任意截面上任意点至中性轴 x轴 的距离 得出平面刚架单元应变 图3 5弯曲应变计算示意图 则 平面刚架梁单元的应变转换矩阵 第三章杆系结构静力分析的有限单元法 222 3 2 4平面刚架梁单元的刚度矩阵梁单元的i j结点发生虚位移为 单元内相应的虚应变应为 由虚功原理有 由于结点虚位移的任意性 故上式可写成 上式称为局部坐标下的平面刚架单元的刚度方程 简称为单刚 第三章杆系结构静力分析的有限单元法 223 横截面积A横截面对形心轴z的静矩S横截面对主惯性轴z的惯性矩I得到四个33子块所组成的局部坐标系下的平面刚架梁单元的单元刚度矩阵 第三章杆系结构静力分析的有限单元法 224 平面桁架的单元刚度矩阵为 空间桁架单元每个结点有3个位移分量 其单元结点位移列向量 空间桁架局部坐标下的单元刚度矩阵是6 6的 第三章杆系结构静力分析的有限单元法 225 空间刚架单元每个结点有6个位移分量 其单元结点位移列向量 空间刚架局部坐标下的单元刚度矩阵是12 12的 a 杆单元i端产生单位位移 b 杆单元j端产生单位位移图3 6平面桁架单元刚度系数的物理意义 a 梁单元i端产生单位位移 b 梁单元j端产生单位位移 第三章杆系结构静力分析的有限单元法 226 c 梁单元i端产生单位角位移 d 梁单元j端产生单位角位移图3 7平面刚架单元刚度系数的物理意义 3 2 5单元的刚度矩阵的性质a 单元刚度矩阵仅与单元的几何特征和材料性质有关 仅与单元的横截面积A 惯性矩I 单元长度l 单元的弹性模量E有关 b 单元刚度矩阵是一个对称阵 在单元刚度矩阵对角线两侧对称位置上的两个元素数值相等 即 根据是反力互等定理 c 单元刚度矩阵是一个奇异阵 d 单元刚度矩阵可以分块矩阵的形式表示 具有确定的物理意义 第三章杆系结构静力分析的有限单元法 227 3 3坐标变换及单元刚度矩阵 3 3 1坐标变换在整体坐标系中单元结点力向量和结点位移列向量可分别表示成 a 向量转换分析 b 向量转换图3 8向量转换示意图 第三章杆系结构静力分析的有限单元法 228 对于梁单元如图3 8 b 所示 则有 可简写为 第三章杆系结构静力分析的有限单元法 229 同理 式中 平面刚架梁单元的从局部坐标系向整体坐标系的转换矩阵 3 3 2整体坐标系下的单元刚度矩阵 式中 整体坐标下的单元刚度矩阵 和一样 为对称阵 奇异阵 第三章杆系结构静力分析的有限单元法 230 3 4整体刚度矩阵 3 4 1整体刚度矩阵的建立整体刚度矩阵也称之为结构刚度矩阵或总体刚度矩阵 简称总刚 整体刚度矩阵的求解是建立在结构平衡条件的基础之上 因此研究对象以整体坐标系为依据 图3 9载荷向量示意图 如右图所示刚架结构 其结点载荷列向量分别为 第三章杆系结构静力分析的有限单元法 231 结构载荷列向量 结点位移列向量 建立结点平衡条件方程式如右表 第三章杆系结构静力分析的有限单元法 232 用分块矩阵的形式 建立杆端内力与结点位移的关系式 第三章杆系结构静力分析的有限单元法 233 第三章杆系结构静力分析的有限单元法 234 第三章杆系结构静力分析的有限单元法 235 单元刚度矩阵由2 2的子矩阵组成 每个子矩阵是3 3的方阵 的上角标表示单元编号 下角标表示单元j端单位位移所引起的i端相应力 将杆端内力与结点位移关系式代入结点的平衡条件方程式中 经整理得 简写为 称之为结构原始平衡方程 其中 为整体刚度矩阵 第三章杆系结构静力分析的有限单元法 236 3 4 2整体刚度矩阵的集成整体刚度矩阵是由在整体坐标系下 矩阵按照结点编号的顺序组成的行和列的原则 将全部单元刚度矩阵扩展成n n方阵后对号入座叠加得到 对于单元1 对于单元2 对于单元3 单元刚度矩阵集成得出整体刚度矩阵 第三章杆系结构静力分析的有限单元法 237 3 4 3整体刚度矩阵的性质整体刚度矩阵中位于主对角线上的子块 称为主子块 其余为副子块 a 中主子块由结点i的各相关单元的主子块扩展之后叠加求得 即b 当结点i j为单元e的相关结点时 中副子块为该单元e相应的副子块 即 c 当结点i j为非相关结点时 中副子块为零子块 即 d 仅与各单元的几何特性 材料特性 即A I l E等因素有关 e 为对称方阵 f 为奇异矩阵 其逆矩阵不存在 因为建立整体刚度矩阵时没有考虑结构的边界约束条件 第三章杆系结构静力分析的有限单元法 238 g 为稀疏矩阵 整体刚度矩阵中的非零元素分布区域的宽度与结点编号有关 非零元素分布在以对角线为中心的带状区域内 称为带状分布规律 见图3 10 a 在包括对角线元素在内的区域中 每行所具有的元素个数叫做把半带宽 以d表示 最大半带宽等于相邻结点号的最大差值加1与结点自由度数的乘积 结点号差越大半带宽也就越大 计算机以半带宽方式存储 见图3 10 b 半带宽越窄 计算机的存储量就越少 而且可以大幅度减少求解方程所需的运算次数 其效果对大型结构显得尤为突出 图3 10整体刚度矩阵存储方法h 整体刚度矩阵稀疏阵 故整体刚度矩阵不能求逆 必须作约束处理方能正确地将结点位移求出 进而求出结构的应力场 a 带状分布规律 b 带状存储 第三章杆系结构静力分析的有限单元法 239 3 5约束处理及求解 3 约束处理的必要性建立结构原始平衡方程式时 并未考虑支承条件 约束 也就是说 将原始结构处理成一个自由悬空的 存在刚体位移的几何可变结构 整体刚度矩阵是奇异矩阵 因此 无法求解 可以参照第2章的原则 结合实际工程结构引入支承条件 即对结构原始平衡方程式做约束处理 约束处理后的方程称为基本平衡方程 统一记为 3 5 2约束处理方法约束处理常用方法有填0置1法和乘大数法 采用这两种方法不会破坏整体刚度矩阵的对称性 稀疏性及带状分布等特性 第三章杆系结构静力分析的有限单元法 240 下面以图3 11所示刚架结构为例 解释如何进行约束处理 对于下图所示刚架结构 设结点位移列向量为设结点载荷列向量为 固定支座 b 支座强迫位移已知图3 11结构约束 第三章杆系结构静力分析的有限单元法 241 其原始平衡方程式为 按照每个结点的位移分量将上式展开为 第三章杆系结构静力分析的有限单元法 242 对于如图3 11 a 所示 结构约束 支座 位移全部为零 此时做约束处理时 采用填0置1法比较适宜 对于如图3 11 b 所示 某约束 支座 位移为给定的强迫值 此时做约束处理时 采用乘大数法比较适宜 1 填0置1法如右图所示结点1 3处为固定支座 可知将整体刚度矩阵中与之相对应的主对角元素全部置换成1 相应行和列上的其它元素均改为0 同时 所在同一行上的载荷分量替换成0 则有 第三章杆系结构静力分析的有限单元法 243 则 第三章杆系结构静力分析的有限单元法 也可简便地采用划行划列的办法 在整体刚度矩阵中将与约束位移为0的行和列划掉 包括相关的所在行的位移和载荷向量 244 处理后得基本平衡方程 2 乘大数法右图所示刚架 结点1为固定支座 结点3处在方向的约束为已知强迫位移 即将整体刚度矩阵中与之相对应的主对角元素全部乘以一个大数N 一般取 同时 将相应同一行上的载荷分量替换成N乘以其主对角刚度系数和给定的强迫位移 包括零位移 第三章杆系结构静力分析的有限单元法 245 得到 由于N足够大 可以近似认为 则得出 同时得到 求出位移之后 即可以求出结构的应力场 第三章杆系结构静力分析的有限单元法 246 第三章杆系结构静力分析的有限单元法 用有限单元法计算空间刚架结构 在原理上及推导过程与计算平面刚架结构相同 在此不再重复 但应注意到 由于空间的每一结点一般具有六个自由度 故计算较之复杂些 3 6计算示例设两杆的杆长和截面尺寸相同 杆件长m 图3 12刚架受力简图 247 结构离散化后将结构划分为4个结点 3个单元 截面积 惯性矩 2 求结点载荷首先须求局部坐标系中固定端内力 a 单元1作为两端固定梁反力示意图 b 单元2作为两端固定梁反力示意图图3 13内力示意图 第三章杆系结构静力分析的有限单元法 248 单元1 单元2 在局部坐标系下单元载荷列向量 单元1 单元2 单元3 第三章杆系结构静力分析的有限单元法 249 为了求出在整体坐标下的载荷列向量 先求单元得坐标转换矩阵 单元1 2 单元3 第三章杆系结构静力分析的有限单元法 250 求各单元在整体坐标下的等效结点载荷 第三章杆系结构静力分析的有限单元法 251 求刚架的等效结点载荷 第三章杆系结构静力分析的有限单元法 252 因为无结点载荷作用 总结点载荷即为等效结点载荷 3 求单元刚度矩阵由于单元1 2 3的尺寸相同 材料弹性模量相同 故 梁单元的局部坐标下的刚度矩阵表达式 第三章杆系结构静力分析的有限单元法 253 则 4 求整体坐标系中的 单元1 单元2 单元3 第三章杆系结构静力分析的有限单元法 254 5 求结构整体刚度矩阵 利用刚度集成法 6 建立原始平衡方程式 第三章杆系结构静力分析的有限单元法 255 7 引入约束条件解方程组 由于1 3 4为固定端 修改整体刚度矩阵中的1 3 6 12行与列 以及载荷列向量中的相应的行 既约束处理 建立基本平衡方程 即 得到 8 求各杆的杆端力 单元3结点位移列向量 第三章杆系结构静力分析的有限单元法 256 单元1杆端内力计算 单元2杆端内力计算 单元3杆端力计算 第三章杆系结构静力分析的有限单元法 257 9 作内力图 a 刚架轴力图 b 刚架剪力图 c 刚架轴弯矩图图3 14刚架内力图 第三章杆系结构静力分析的有限单元法 258 3 7ANSYS桁架结构计算示例 1m 1m 材料为Q235 1 选择单元类型 运行Preprocessor ElementType Add Edit Delete 在结点8上施加竖直向下的集中载荷F 60000N 约束为结点1处约束X Y方向自由度 结点5处约束Y方向自由度 图3 15桁架结构示意图图3 16桁架各单元横截面图 第三章杆系结构静力分析的有限单元法 图3 17单元类型对话框 259 图3 18单元类型库对话框 2 设置材料属性 运行Preprocessor MaterialProps MaterialModels 图3 19选择材料属性对话框图3 20设置材料1属性对话 3 设置单元截面形式 选择菜单Preprocessor Sections Beam CommonSections 图3 21梁截面设置对话框 第三章杆系结构静力分析的有限单元法 260 4 定义实常数 运行RealConstants Add Edit Delete 图3 22设置LINK1单元的实常数 5 建立模型 首先生成结点 运行主菜单Preprocessor Modeling Create Nodes InActiveCS 再生成单元 运行主菜单Preprocessor Modeling Create Elements AutoNumbered ThruNodes穿越结点命