求不定积分的几种基本方法ppt课件

5 2求不定积分的几种基本方法 一 第一类换元法 凑微分法 先看下例 例1求 解 设 则 一般地 如果 是 的一个原函数 则 而如果 又是另一个变量 的函数 且 可微 那么根据复合函数的微分法 有 由此得 是具有原函数 于是有如下定理 定理1设 可导 则 有换元公式 5 2 由此可见 一般地 如果积分 不能直接 利用利用基本积分公式计算 而其被积表达式 能表示为 的形式 且 较易计算 那么可令 代入后有 这样就得到了 的原函数 这种积分称为第一类换元法 由于在积分过程中 先要从被积表达式中凑出一个积分 因子 因此第一类换元法也称为凑微分法 例2求 解 再以 代入 即得 例3求 解被积函数 可看成 与 构成的复合 函数 虽没有 这个因子 但我们可以凑出这个因子 如果令 便有 一般地 对于积分 总可以作变量代换 把它化为 例4求 解令 则 例5求 解令 则 有 凑微分与换元的目的是为了便于利用基本积分公式 在 比较熟悉换元法后就可以略去设中间变量和换元的步骤 例7求 例6求 解 解 解 例8求 例9求 解 类似地可得 例10求 解 例11求 解 类似地可得 类似地可得 例12求 解 例13求 解 第一类换元法有如下几种常见的凑微分形式 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 二 第二类换元法 第一类换元法是通过变量代换 将积分 化为积分 第二类换元法是通 过变量代换 将积分 化为积分 在求出后一个积分后 再以 反函数 代回去 这样换元积分公式可表示为 上述公式的成立是需要一定条件的 首先等式右边 的不定积分要存在 即被积函数 的 有原函数 其次 的反函数 要存在 我们有下面的定理 定理2设函数 连续 单调 可导 并且 则有换元公式 5 3 下面举例说明公式 5 3 的应用 例14求 解遇到根式中是一次多项式时 可先通过适当的换 元将被积函数有理化 然后再积分 令 则 故 例15求 解令 则 则有 例16求 解为使被积函数有理化 利用三角公式 令 则它是 的单调可导函数 具有反函数 且 因而 例17求 解令 则 于是 其中 例18求 解被积函数的定义域为 令 这时 故 其中 当 时 可令 类似地可得到相同形式的结果 以上三例中所作的变换均利用了三角恒等式 称之为 三角代换 可将将被积函数中的无理因式化为三角函数 的有理因式 一般地 若被积函数中含有 时 可 作代换 或 含有 时 可作 代换 含有 时 可作代换 利用第二类换元法求不定积分时 还经常用到倒代换 即 等 例19求 解令 则 因此 当 时 有 当 时 有 综合起来 得 在本节的例题中 有几个积分结果是以后经常会遇到 的 所以它们通常也被当作公式使用 这样 常用的积分 公式 除了基本积分表中的以外 再添加下面几个 其中 常数a 0 14 15 16 17 18 19 20 21 例20求 解 利用公式 18 可得 例21求 解 利用公式 21 可得 三分部积分法 一 分部积分公式的推导 思考 诸如此类的不定积分 用换元积分法都不能求解 特点 被积函数是两种不同类型的函数的乘积 需要用到求不定积分的另一种基本方法 分部积分法 设函数 及 具有连续导数 那么 移项 得 对这个等式两边求不定积分 得 5 4 公式 5 4 称为分部积分公式 如果积分 不易求 而积分 比较容易时 分部积分公式就可用了 为简便起见 也可把公式 5 4 写成下面的形式 5 5 现在通过例子说明如何运用这个重要公式 例22求 解由于被积函数 是两个函数的乘积 选其中一 那么另一个即为 如果选择 则 个为 得 如果选择 则 得 上式右端的积分比原积分更不容易求出 由此可见 如果 和 选取不当 就求不出结果 所以应用分部积分法时 恰当选取 和 是关键 一般以 比 易求出为原则 例23求 解 例24求 解 由上面的三个例子知道 如果被积函数是指数为正整 数的幂函数和三角函数或指数函数的乘积 就可以考虑 用分部积分法 并选择幂函数为 经过一次积分 就 可以使幂函数的次数降低一次 例25求 解 例26 求 解 例27求 解 总结上面四个例子可以知道 如果被积函数是幂函数 和反三角函数或对数函数的乘积 就可以考虑用分部积分 法 并选择反三角函数或对数函数为 一般地 如果被积函数是两类基本初等函数的乘积 在多数情况下 可按下列顺序 反三角函数 对数函数 幂函数 三角函数