2019湖北省武汉市中考数学试卷

2019年湖北省武汉市中考数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1（3分）实数2019的相反数是（）A2019B2019CD2（3分）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）Ax0Bx1Cx1Dx13（3分）不透明的袋子中只有4个黑球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中一次摸出3个球，下列事件是不可能事件的是（）A3个球都是黑球B3个球都是白球C三个球中有黑球D3个球中有白球4（3分）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性，下列美术字是轴对称图形的是（）ABCD5（3分）如图是由5个相同的小正方体组成的几何体，该几何体的左视图是（）ABCD6（3分）“漏壶”是一种古代计时器，在它内部盛一定量的水，不考虑水量变化对压力的影响，水从壶底小孔均匀漏出，壶内壁有刻度人们根据壶中水面的位置计算时间，用t表示漏水时间，y表示壶底到水面的高度，下列图象适合表示y与x的对应关系的是（）ABCD7（3分）从1、2、3、4四个数中随机选取两个不同的数，分别记为a、c，则关于x的一元二次方程ax2+4x+c0有实数解的概率为（）ABCD8（3分）已知反比例函数y的图象分别位于第二、第四象限，A（x1，y1）、B（x2，y2）两点在该图象上，下列命题：过点A作ACx轴，C为垂足，连接OA若ACO的面积为3，则k6；若x10x2，则y1y2；若x1+x20，则y1+y20，其中真命题个数是（）A0B1C2D39（3分）如图，AB是O的直径，M、N是（异于A、B）上两点，C是上一动点，ACB的角平分线交O于点D，BAC的平分线交CD于点E当点C从点M运动到点N时，则C、E两点的运动路径长的比是（）ABCD10（3分）观察等式：2+22232；2+22+23242；2+22+23+24252已知按一定规律排列的一组数：250、251、252、299、2100若250a，用含a的式子表示这组数的和是（）A2a22aB2a22a2C2a2aD2a2+a二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11（3分）计算的结果是 12（3分）武汉市某气象观测点记录了5天的平均气温（单位：），分别是25、20、18、23、27，这组数据的中位数是 13（3分）计算的结果是 14（3分）如图，在ABCD中，E、F是对角线AC上两点，AEEFCD，ADF90，BCD63，则ADE的大小为 15（3分）抛物线yax2+bx+c经过点A（3，0）、B（4，0）两点，则关于x的一元二次方程a（x1）2+cbbx的解是 16（3分）问题背景：如图1，将ABC绕点A逆时针旋转60得到ADE，DE与BC交于点P，可推出结论：PA+PCPE问题解决：如图2，在MNG中，MN6，M75，MG点O是MNG内一点，则点O到MNG三个顶点的距离和的最小值是 三、解答题（共8题，共72分）17（8分）计算：（2x2）3x2x418（8分）如图，点A、B、C、D在一条直线上，CE与BF交于点G，A1，CEDF，求证：EF19（8分）为弘扬中华传统文化，某校开展“双剧进课堂”的活动，该校童威随机抽取部分学生，按四个类别：A表示“很喜欢”，B表示“喜欢”，C表示“一般”，D表示“不喜欢”，调查他们对汉剧的喜爱情况，将结果绘制成如下两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息，解决下列问题：（1）这次共抽取 名学生进行统计调查，扇形统计图中，D类所对应的扇形圆心角的大小为 ；（2）将条形统计图补充完整；（3）该校共有1500名学生，估计该校表示“喜欢”的B类的学生大约有多少人？20（8分）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点四边形ABCD的顶点在格点上，点E是边DC与网格线的交点请选择适当的格点，用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，保留连线的痕迹，不要求说明理由（1）如图1，过点A画线段AF，使AFDC，且AFDC（2）如图1，在边AB上画一点G，使AGDBGC（3）如图2，过点E画线段EM，使EMAB，且EMAB21（8分）已知AB是O的直径，AM和BN是O的两条切线，DC与O相切于点E，分别交AM、BN于D、C两点（1）如图1，求证：AB24ADBC；（2）如图2，连接OE并延长交AM于点F，连接CF若ADE2OFC，AD1，求图中阴影部分的面积22（10分）某商店销售一种商品，童威经市场调查发现：该商品的周销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w（元）的三组对应值如表：售价x（元/件）506080周销售量y（件）1008040周销售利润w（元）100016001600注：周销售利润周销售量（售价进价）（1）求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；该商品进价是 元/件；当售价是 元/件时，周销售利润最大，最大利润是 元（2）由于某种原因，该商品进价提高了m元/件（m0），物价部门规定该商品售价不得超过65元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系若周销售最大利润是1400元，求m的值23（10分）在ABC中，ABC90，n，M是BC上一点，连接AM（1）如图1，若n1，N是AB延长线上一点，CN与AM垂直，求证：BMBN（2）过点B作BPAM，P为垂足，连接CP并延长交AB于点Q如图2，若n1，求证：如图3，若M是BC的中点，直接写出tanBPQ的值（用含n的式子表示）24（12分）已知抛物线C1：y（x1）24和C2：yx2（1）如何将抛物线C1平移得到抛物线C2？（2）如图1，抛物线C1与x轴正半轴交于点A，直线yx+b经过点A，交抛物线C1于另一点B请你在线段AB上取点P，过点P作直线PQy轴交抛物线C1于点Q，连接AQ若APAQ，求点P的横坐标；若PAPQ，直接写出点P的横坐标（3）如图2，MNE的顶点M、N在抛物线C2上，点M在点N右边，两条直线ME、NE与抛物线C2均有唯一公共点，ME、NE均与y轴不平行若MNE的面积为2，设M、N两点的横坐标分别为m、n，求m与n的数量关系第26页（共26页）2019年湖北省武汉市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1（3分）实数2019的相反数是（）A2019B2019CD【分析】直接利用相反数的定义进而得出答案【解答】解：实数2019的相反数是：2009故选：B【点评】此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键2（3分）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）Ax0Bx1Cx1Dx1【分析】根据被开方数是非负数，可得答案【解答】解：由题意，得x10，解得x1，故选：C【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数得出不等式组是解题关键3（3分）不透明的袋子中只有4个黑球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中一次摸出3个球，下列事件是不可能事件的是（）A3个球都是黑球B3个球都是白球C三个球中有黑球D3个球中有白球【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型【解答】解：A、3个球都是黑球是随机事件；B、3个球都是白球是不可能事件；C、三个球中有黑球是必然事件；D、3个球中有白球是随机事件；故选：B【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念必然事件指在一定条件下，一定发生的事件不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件4（3分）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性，下列美术字是轴对称图形的是（）ABCD【分析】利用轴对称图形定义判断即可【解答】解：四个汉字中，可以看作轴对称图形的是，故选：D【点评】此题考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义是解本题的关键5（3分）如图是由5个相同的小正方体组成的几何体，该几何体的左视图是（）ABCD【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中【解答】解：从左面看易得下面一层有2个正方形，上面一层左边有1个正方形，如图所示：故选：A【点评】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图6（3分）“漏壶”是一种古代计时器，在它内部盛一定量的水，不考虑水量变化对压力的影响，水从壶底小孔均匀漏出，壶内壁有刻度人们根据壶中水面的位置计算时间，用t表示漏水时间，y表示壶底到水面的高度，下列图象适合表示y与x的对应关系的是（）ABCD【分析】根据题意，可知y随的增大而减小，符合一次函数图象，从而可以解答本题【解答】解：不考虑水量变化对压力的影响，水从壶底小孔均匀漏出，t表示漏水时间，y表示壶底到水面的高度，y随t的增大而减小，符合一次函数图象，故选：A【点评】本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答7（3分）从1、2、3、4四个数中随机选取两个不同的数，分别记为a、c，则关于x的一元二次方程ax2+4x+c0有实数解的概率为（）ABCD【分析】首先画出树状图即可求得所有等可能的结果与使ac4的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案【解答】解：画树状图得：由树形图可知：一共有12种等可能的结果，其中使ac4的有6种结果，关于x的一元二次方程ax2+4x+c0有实数解的概率为，故选：C【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比8（3分）已知反比例函数y的图象分别位于第二、第四象限，A（x1，y1）、B（x2，y2）两点在该图象上，下列命题：过点A作ACx轴，C为垂足，连接OA若ACO的面积为3，则k6；若x10x2，则y1y2；若x1+x20，则y1+y20，其中真命题个数是（）A0B1C2D3【分析】利用反比例函数的比例系数的几何意义、反比例函数的增减性、对称性分别回答即可【解答】解：过点A作ACx轴，C为垂足，连接OAACO的面积为3，|k|6，反比例函数y的图象分别位于第二、第四象限，k0，k6，正确，是真命题；反比例函数y的图象分别位于第二、第四象限，在所在的每一个象限y随着x的增大而增大，若x10x2，则y10y2，正确，是真命题；当A、B两点关于原点对称时，x1+x20，则y1+y20，正确，是真命题，真命题有3个，故选：D【点评】本题考查了反比例函数的性质及命题与定理的知识，解题的关键是了解反比例函数的比例系数的几何意义等知识，难度不大9（3分）如图，AB是O的直径，M、N是（异于A、B）上两点，C是上一动点，ACB的角平分线交O于点D，BAC的平分线交CD于点E当点C从点M运动到点N时，则C、E两点的运动路径长的比是（）ABCD【分析】如图，连接EB设OAr易知点E在以D为圆心DA为半径的圆上，运动轨迹是，点C的运动轨迹是，由题意MON2GDF，设GDF，则MON2，利用弧长公式计算即可解决问题【解答】解：如图，连接EB设OArAB是直径，ACB90，E是ACB的内心，AEB135，ACDBCD，ADDBr，ADB90，易知点E在以D为圆心DA为半径的圆上，运动轨迹是，点C的运动轨迹是，MON2GDF，设GDF，则MON2故选：A【点评】本题考查弧长公式，圆周角定理，三角形的内心等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找点的运动轨迹，属于中考选择题中的压轴题10（3分）观察等式：2+22232；2+22+23242；2+22+23+24252已知按一定规律排列的一组数：250、251、252、299、2100若250a，用含a的式子表示这组数的和是（）A2a22aB2a22a2C2a2aD2a2+a【分析】由等式：2+22232；2+22+23242；2+22+23+24252，得出规律：2+22+23+2n2n+12，那么250+251+252+299+2100（2+22+23+2100）（2+22+23+249），将规律代入计算即可【解答】解：2+22232；2+22+23242；2+22+23+24252；2+22+23+2n2n+12，250+251+252+299+2100（2+22+23+2100）（2+22+23+249）（21012）（2502）2101250，250a，2101（250）222a2，原式2a2a故选：C【点评】本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题解决本题的难点在于得出规律：2+22+23+2n2n+12二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11（3分）计算的结果是4【分析】根据二次根式的性质求出即可【解答】解：4，故答案为：4【点评】本题考查了二次根式的性质和化简，能熟练地运用二次根式的性质进行化简是解此题的关键12（3分）武汉市某气象观测点记录了5天的平均气温（单位：），分别是25、20、18、23、27，这组数据的中位数是23【分析】根据中位数的概念求解可得【解答】解：将数据重新排列为18、20、23、25、27，所以这组数据的中位数为23，故答案为：23【点评】此题考查了中位数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数13（3分）计算的结果是【分析】异分母分式相加减，先通分变为同分母分式，然后再加减【解答】解：原式故答案为：【点评】此题考查了分式的加减运算，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母14（3分）如图，在ABCD中，E、F是对角线AC上两点，AEEFCD，ADF90，BCD63，则ADE的大小为21【分析】设ADEx，由等腰三角形的性质和直角三角形得出DAEADEx，DEAFAEEF，得出DECD，证出DCEDEC2x，由平行四边形的性质得出DCEBCDBCA63x，得出方程，解方程即可【解答】解：设ADEx，AEEF，ADF90，DAEADEx，DEAFAEEF，AEEFCD，DECD，DCEDEC2x，四边形ABCD是平行四边形，ADBC，DAEBCAx，DCEBCDBCA63x，2x63x，解得：x21，即ADE21；故答案为：21【点评】本题考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识；根据角的关系得出方程是解题的关键15（3分）抛物线yax2+bx+c经过点A（3，0）、B（4，0）两点，则关于x的一元二次方程a（x1）2+cbbx的解是x12，x25【分析】由于抛物线yax2+bx+c沿x轴向右平移1个单位得到ya（x1）2+b（x1）+c，从而得到抛物线ya（x1）2+b（x1）+c与x轴的两交点坐标为（2，0），（5，0），然后根据抛物线与x轴的交点问题得到一元二方程a（x1）2+b（x1）+c0的解【解答】解：关于x的一元二次方程a（x1）2+cbbx变形为a（x1）2+b（x1）+c0，把抛物线yax2+bx+c沿x轴向右平移1个单位得到ya（x1）2+b（x1）+c，因为抛物线yax2+bx+c经过点A（3，0）、B（4，0），所以抛物线ya（x1）2+b（x1）+c与x轴的两交点坐标为（2，0），（5，0），所以一元二方程a（x1）2+b（x1）+c0的解为x12，x25故答案为x12，x25【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数yax2+bx+c（a，b，c是常数，a0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程也考查了二次函数的性质16（3分）问题背景：如图1，将ABC绕点A逆时针旋转60得到ADE，DE与BC交于点P，可推出结论：PA+PCPE问题解决：如图2，在MNG中，MN6，M75，MG点O是MNG内一点，则点O到MNG三个顶点的距离和的最小值是2【分析】（1）在BC上截取BGPD，通过三角形求得证得AGAP，得出AGP是等边三角形，得出AGC60APG，即可求得APE60，连接EC，延长BC到F，使CFPA，连接EF，证得ACE是等边三角形，得出AEECAC，然后通过证得APEECF（SAS），得出PEPF，即可证得结论；（2）以MG为边作等边三角形MGD，以OM为边作等边OME连接ND，可证GMODME，可得GODE，则MO+NO+GONO+OE+DE，即当D、E、O、N四点共线时，MO+NO+GO值最小，最小值为ND的长度，根据勾股定理先求得MF、DF，然后求ND的长度，即可求MO+NO+GO的最小值【解答】（1）证明：如图1，在BC上截取BGPD，在ABG和ADP中，ABGADP（SAS），AGAP，BAGDAP，GAPBAD60，AGP是等边三角形，AGC60APG，APE60，EPC60，连接EC，延长BC到F，使CFPA，连接EF，将ABC绕点A逆时针旋转60得到ADE，EAC60，EPC60，AEAC，ACE是等边三角形，AEECAC，PAE+APE+AEP180，ECF+ACE+ACB180，ACEAPE60，AEDACB，PAEECF，在APE和ECF中APEECF（SAS），PEPF，PA+PCPE；（2）解：如图2：以MG为边作等边三角形MGD，以OM为边作等边OME连接ND，作DFNM，交NM的延长线于FMGD和OME是等边三角形OEOMME，DMGOME60，MGMD，GMODME在GMO和DME中GMODME（SAS），OGDENO+GO+MODE+OE+NO当D、E、O、M四点共线时，NO+GO+MO值最小，NMG75，GMD60，NMD135，DMF45，MGMFDF4，NFMN+MF6+410，ND2，MO+NO+GO最小值为2，故答案为2，【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理，最短路径问题，构造等边三角形是解答本题的关键三、解答题（共8题，共72分）17（8分）计算：（2x2）3x2x4【分析】先算乘方与乘法，再合并同类项即可【解答】解：（2x2）3x2x48x6x67x6【点评】本题考查了整式的混合运算，掌握运算性质和法则是解题的关键18（8分）如图，点A、B、C、D在一条直线上，CE与BF交于点G，A1，CEDF，求证：EF【分析】根据平行线的性质可得ACED，又A1，利用三角形内角和定理及等式的性质即可得出EF【解答】解：CEDF，ACED，A1，180ACEA180D1，又E180ACEA，F180D1，EF【点评】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等也考查了三角形内角和定理19（8分）为弘扬中华传统文化，某校开展“双剧进课堂”的活动，该校童威随机抽取部分学生，按四个类别：A表示“很喜欢”，B表示“喜欢”，C表示“一般”，D表示“不喜欢”，调查他们对汉剧的喜爱情况，将结果绘制成如下两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息，解决下列问题：（1）这次共抽取50名学生进行统计调查，扇形统计图中，D类所对应的扇形圆心角的大小为72；（2）将条形统计图补充完整；（3）该校共有1500名学生，估计该校表示“喜欢”的B类的学生大约有多少人？【分析】（1）这次共抽取：1224%50（人），D类所对应的扇形圆心角的大小36072；（2）A类学生：502312105（人），据此补充条形统计图；（3）该校表示“喜欢”的B类的学生大约有1500690（人）【解答】解：（1）这次共抽取：1224%50（人），D类所对应的扇形圆心角的大小36072，故答案为50，72；（2）A类学生：502312105（人），条形统计图补充如下该校表示“喜欢”的B类的学生大约有1500690（人），答：该校表示“喜欢”的B类的学生大约有690人；【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小20（8分）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点四边形ABCD的顶点在格点上，点E是边DC与网格线的交点请选择适当的格点，用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，保留连线的痕迹，不要求说明理由（1）如图1，过点A画线段AF，使AFDC，且AFDC（2）如图1，在边AB上画一点G，使AGDBGC（3）如图2，过点E画线段EM，使EMAB，且EMAB【分析】（1）作平行四边形AFCD即可得到结论；（2）根据等腰三角形的性质和对顶角的性质即可得到结论；（3）作平行四边形AEMB即可得到结论【解答】解：（1）如图所示，线段AF即为所求；（2）如图所示，点G即为所求；（3）如图所示，线段EM即为所求【点评】本题考查了作图应用与设计作图，平行线四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，对顶角的性质，正确的作出图形是解题的关键21（8分）已知AB是O的直径，AM和BN是O的两条切线，DC与O相切于点E，分别交AM、BN于D、C两点（1）如图1，求证：AB24ADBC；（2）如图2，连接OE并延长交AM于点F，连接CF若ADE2OFC，AD1，求图中阴影部分的面积【分析】（1）连接OC、OD，证明AODBCO，得出，即可得出结论；（2）连接OD，OC，证明CODCFD得出CDOCDF，求出BOE120，由直角三角形的性质得出BC3，OB，图中阴影部分的面积2SOBCS扇形OBE，即可得出结果【解答】（1）证明：连接OC、OD，如图1所示：AM和BN是它的两条切线，AMAB，BNAB，AMBN，ADE+BCE180DC切O于E，ODEADE，OCEBCE，ODE+OCE90，DOC90，AOD+COB90，AOD+ADO90，AODOCB，OADOBC90，AODBCO，OA2ADBC，（AB）2ADBC，AB24ADBC；（2）解：连接OD，OC，如图2所示：ADE2OFC，ADOOFC，ADOBOC，BOCFOC，OFCFOC，CFOC，CD垂直平分OF，ODDF，在COD和CFD中，CODCFD（SSS），CDOCDF，ODA+CDO+CDF180，ODA60BOC，BOE120，在RtDAO，ADOA，RtBOC中，BCOB，AD：BC1：3，AD1，BC3，OB，图中阴影部分的面积2SOBCS扇形OBE233【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、切线的性质、全等三角形的判定与性质、扇形面积公式、直角三角形的性质等知识；证明三角形相似和三角形全等是解题的关键22（10分）某商店销售一种商品，童威经市场调查发现：该商品的周销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w（元）的三组对应值如表：售价x（元/件）506080周销售量y（件）1008040周销售利润w（元）100016001600注：周销售利润周销售量（售价进价）（1）求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；该商品进价是40元/件；当售价是70元/件时，周销售利润最大，最大利润是1800元（2）由于某种原因，该商品进价提高了m元/件（m0），物价部门规定该商品售价不得超过65元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系若周销售最大利润是1400元，求m的值【分析】（1）依题意设ykx+b，解方程组即可得到结论；该商品进价是50100010040，设每周获得利润wax2+bx+c：解方程组即可得到结论；（2）根据题意得，w（x40m）（2x+200）2x2+（280+2m）x800200m，由于对称轴是x，根据二次函数的性质即可得到结论【解答】解：（1）依题意设ykx+b，则有解得：所以y关于x的函数解析式为y2x+200；该商品进价是50100010040，设每周获得利润wax2+bx+c：则有，解得：，w2x2+280x80002（x70）2+1800，当售价是70元/件时，周销售利润最大，最大利润是1800元；故答案为：40，70，1800；（2）根据题意得，w（x40m）（2x+200）2x2+（280+2m）x800200m，对称轴x，当65时（舍），当65时，x65时，w求最大值1400，解得：m5【点评】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，重点是掌握求最值的问题注意：数学应用题来源于实践，用于实践，在当今社会市场经济的环境下，应掌握一些有关商品价格和利润的知识，总利润等于总收入减去总成本，然后再利用二次函数求最值23（10分）在ABC中，ABC90，n，M是BC上一点，连接AM（1）如图1，若n1，N是AB延长线上一点，CN与AM垂直，求证：BMBN（2）过点B作BPAM，P为垂足，连接CP并延长交AB于点Q如图2，若n1，求证：如图3，若M是BC的中点，直接写出tanBPQ的值（用含n的式子表示）【分析】（1）如图1中，延长AM交CN于点H想办法证明ABMCBN（ASA）即可（2）如图2中，作CHAB交BP的延长线于H利用全等三角形的性质证明CHBM，再利用平行线分线段成比例定理解决问题即可如图3中，作CHAB交BP的延长线于H，作CNBH于N不妨设BC2m，则AB2mn想办法求出CN，PN（用m，n表示），即可解决问题【解答】（1）证明：如图1中，延长AM交CN于点HAMCN，AHC90，ABC90，BAM+AMB90，BCN+CMH90，AMBCMH，BAMBCN，BABC，ABMCBN90，ABMCBN（ASA），BMBN（2）证明：如图2中，作CHAB交BP的延长线于HBPAM，BPMABM90，BAM+AMB90，CBH+BMP90，BAMCBH，CHAB，HCB+ABC90，ABC90，ABMBCH90，ABBC，ABMBCH（ASA），BMCH，CHBQ，解：如图3中，作CHAB交BP的延长线于H，作CNBH于N不妨设BC2m，则AB2mn则BMCMm，CH，BH，AMm，AMBPABBM，PB，BHCNCHBC，CN，CNBH，PMBH，MPCN，CMBM，PNBP，BPQCPN，tanBPQtanCPN【点评】本题属于相似形综合题，考查了相似三角