新数值分析复习要点

一 基本概念 二 Gauss变换与矩阵的三角分解 三 Householder变换 四 矩阵的正交分解 五 解线性方程组Ax b的直接法 六 解线性方程组Ax b的迭代法 数值分析复习要点 七 列满秩最小二乘问题 八 构造正交多项式 九 连续函数的最佳平方逼近 十 离散数据的最佳平方逼近 十一 函数插值 十二 数值积分 十三 数值微分 十四 非线性方程 组 的数值解法 十五 常微分方程的数值解法 十六 数值计算的基本思想 十七 读程序 一 基本概念 绝对误差 相对误差 有效数字 数值稳定性等 1 设x和y的相对误差为0 001 则x y的相对误差约为 绝对误差 相对误差 有效数字 数值稳定性等 4 计算y lnx 若x 20 则取x的几位有效数字可保证y的相对误差 0 1 向量范数 矩阵范数 矩阵范数 距离概念 返回 二 Gauss变换与矩阵的三角分解 Gauss变换阵 LU分解 列主元三角分解PA LU 三 Householder变换 矩阵的相似变换 返回 习题 四 矩阵的正交分解 Schmidt正交化法P65 例2 34 Householder变换法P67 例2 35 五 解线性方程组的直接法 系数矩阵A为哪些矩阵时 可用顺序Gauss消元法求解Ax b 何为病态矩阵 如何判别矩阵为病态矩阵 系数矩阵A为哪些矩阵时 可用列主元Gauss消元法求解Ax b 举例说明数学稳定性与数值稳定性的区别 习题 P138 14 16 解的精度改进的常用方法 P102 105 何为先验误差估计 何为事后误差估计 六 解线性方程组Ax b的迭代法 Jacobi迭代法 Gauss Seidel迭代法 SOR松弛迭代法的分量形式 迭代矩阵 收敛条件 P110 118 估计迭代次数 习题 P139 20 25 27 七 广义逆与列满秩最小二乘问题 返回 P153 7 11 13 八 构造正交多项式 P45 例2 28 习题 P76 23 P46 例2 29 习题 P76 24 九 连续函数的最佳平方逼近 P205 例6 3 例6 4 习题 P223 2P208 例6 5 例6 6 习题 P224 5 返回 返回 十 离散数据的最佳平方逼近 P215 例6 9 P216 例6 10 习题 P253 6 7 8 返回 返回 返回 习题 十一 函数插值 事后误差分析P169 P165 例5 5 例5 6P168 例5 8 P172 例5 10习题 P228 1 2 8 11 12 13 返回 例 已知f x ex的数据点如下 1 用x1 x2 x3构造二次Lagrange插值多项式L2 x 并计算e1 5的近似值L2 1 5 2 用事后误差估计方法估计L2 1 5 的误差 L2 1 5 4 0505 基本 复化 求积公式的代数精度 梯 1辛 3柯 5 十二 数值积分 利用标准高斯公式求积分 P250 11 1 n个节点的高斯型求积分公式的代数精度为2n 1 P230 例7 2 P250 2 34 5 6 8 16 向前差分 fi fi 1 fi称为f x 在点xi处的一阶向前差分 nfi n 1fi 1 n 1fi称为f x 在点xi处的n阶向前差分 向后差分 fi fi fi 1称为f x 在点xi处的一阶向后差分 nfi n 1fi n 1fi 1称为f x 在点xi处的n阶向后差分 中心差分 fi fi 1 2 fi 1 2称为f x 在点xi处的一阶中心差分 nfi n 1fi 1 2 n 1fi 1 2称为f x 在点xi处的n阶中心差分 十三 差分 差商 数值微分 若f x 为n次多项式 则 nf xi nf xi nf xi 为常数 n 1f xi n 1f xi n 1f xi 为零 若f x 为n次多项式 则f x0 x1 xn 为常数 f x0 x1 xn xn 1 为零 会推导截断误差 十四 非线性方程 组 的数值解法 要求会构造收敛的迭代格式P259 例8 5习题P279 1 2 5 7 掌握牛顿迭代格式及其变形 习题P280 3 9 压缩映射原理 收敛定理 局部收敛性 收敛阶 例 证明对任何初值 由迭代公式所产生的序列 都收敛于方程的根 1 先考虑区间 1 1 当时 对任何初值 由迭代公式所产生的序列 都收敛于方程的根 2 对任何初值 有 将此看成新的迭代初值 则由 1 可知 由迭代公式所产生的序列 都收敛于方程的根 例 求解方程 可以构造一个迭代格式其中c为非零的常数 1 当c取何值时 由产生的迭代序列收敛到 2 c取何值时收敛最快 c取时收敛最快 1 写出解迭代格式 2 证明此迭代格式是线性收敛的 十五 常微分方程的数值解法 Euler 欧拉 方法梯形公式改进欧拉法Runge Kutta 龙格 库塔 方法 二阶 局部截断误差 十六 数值计算的基本思想 1 归纳 递推的思想2 防止溢出的规格化思想3 数学稳定性与数值稳定性4 余量校正思想5 外推思想6 以直代曲 即以线性方程代替非线性方程 7 迭代思想