05 第五节 函数极限与最大值最小值.doc

第五节 函数的极限与最大值最小值在讨论函数的单调性时，曾遇到这样的情形，函数先是单调增加（或减少），到达某一点后又变为单调减少（或增加），这一类点实际上就是使函数单调性发生变化的分界点. 如在上节例3的图3-4-5中，点和就是具有这样性质的点，易见，对的某个邻域内的任一点，恒有 ，即曲线在点处达到“峰顶”；同样，对的某个邻域内的任一点，恒有 ，即曲线在点处达到“谷底”. 具有这种性质的点在实际应用中有着重要的意义. 由此我们引要入函数极值的概念.分布图示 函数极值的定义 函数极值的求法 例1 例2 例3 第二充分条件 例4 例5 例6 最大值最小值的求法 例7 例8 例9 例10 例11 例12 内容小结 课堂练习 习题3-5内容要点： 一、 极值的概念 二、极值的必要条件 三、 第一充分条件与第二充分条件 四、 求函数的极值点和极值的步骤：（1）确定函数的定义域，并求其导数;（2）解方程求出的全部驻点与不可导点;（3）讨论在驻点和不可导点左、右两侧邻近符号变化的情况，确定函数的极值点;（4）求出各极值点的函数值，就得到函数的全部极值. 五、 求函数的最大值与最小值 在实际应用中，常常会遇到求最大值和最小值的问题. 如用料最省、容量最大、花钱最少、效率最高、利润最大等. 此类问题在数学上往往可归结为求某一函数（通常称为目标函数）的最大值或最小值问题.求函数在上的最大（小）值的步骤如下：（1）计算函数在一切可能极值点的函数值，并将它们与相比较，这些值中最大的就是最大值，最小的就是最小值；（2）对于闭区间上的连续函数，如果在这个区间内只有一个可能的极值点，并且函数在该点确有极值，则这点就是函数在所给区间上的最大值（或最小值）点.例题选讲： 求函数的极值例1（E01）求出函数的极值.解 ,令得驻点列表讨论如下：00极大值极小值所以, 极大值极小值例2（E02）求函数的极值.解 函数在内连续，除外处处可导，且 令得驻点为的不可导点; 列表讨论如下:不存在0极大值极小值 极大值为极小值为例3 求函数的单调增减区间和极值.解 求导数当时而 时不存在 ,因此，函数只可能在这两点取得极值. 列表如下:不存在0极大值0极小值由上表可见：函数在区间单调增加, 在区间单调减少. 在点处有极大值, 在点处有极小值如图.例4（E03）求出函数的极值.解 令得驻点又故极大值故极小值注意：时, 在点 处不一定取极值, 仍用第一充分条件进行判断.函数的不可导点,也可能是函数的极值点.例5（E04）求函数的极值.解 由得驻点因故在处取得极小值，极小值为因故用定理3无法判别.考察一阶导数在驻点及左右邻近的符号:当取 左侧邻近的值时, 当取右侧邻近的值时, 因的符号没有改变，故在处没有极值.同理，在处也没有极值 .如图所示.例6 求出函数的极值.解 是函数的不可导点.当时, 当时, 为的极大值.求函数的最大值最小值例7（E05）求的在上的最大值与最小值.解 解方程得计算 比较得最大值最小值例8 求函数在上的最大值及最小值.解 函数在上连续,令得故在 上最大值为最小值为例9（E06）设工厂A到铁路线的垂直距离为20km, 垂足为B. 铁路线上距离B为100km处有一原料供应站C, 如图3-5-4. 现在要在铁路BC中间某处D修建一个原料中转车站, 再由车站D向工厂修一条公路. 如果已知每km的铁路运费与公路运费之比为3:5, 那么, D应选在何处, 才能使原料供应站C运货到工厂A所需运费最省?解 (km), (km), 铁路每公里运费公路每公里记那里目标函数(总运费)的函数关系式:即 问题归结为：取何值时目标函数最小. 求导得令得(km).由于从而当(km)时，总运费最省.例10（E07）某房地产公司有50套公寓要出租, 当租金定为每月180元时, 公寓会全部租出去. 当租金每月增加10元时, 就有一套公寓租不出去, 而租出去的房子每月需花费20元的整修维护费. 试问房租定为多少可获得最大收入?解 设房租为每月元，租出去的房子有套，每月总收入为解得(唯一驻点).故每月每套租金为350元时收入最高.最大收入为 (元).例11敌人乘汽车从河的北岸A处以1千米/分钟的速度向正北逃窜,同时我军摩托车从河的南岸B处向正东追击,速度为2千米/分钟,问我军摩托车何时射击最好(相距最近射击最好)?解 (1) 建立敌我相距函数关系设为我军从B处发起追击至射击的时间(分).敌我相距函数 (2) 求的最小值点 令得唯一驻点故得我军从B处发起追击后1.5分钟射击最好.实际问题求最值应注意: (1) 建立目标函数; (2) 求最值; 若目标函数只有唯一驻点,则该点的函数值即为所求的最(或最小)值.例12 求内接于椭圆而面积最大的矩形的各边之长.解 设为椭圆上第一象限内任意一点，则以点为一顶点的内接矩形的面积为且由求得驻点为唯一的极值可疑点.依题意, 存在最大值,故是的最大值,最大值对应的