高中数学第五章数系的扩充与复数的引入章末综合测评北师大版选修.docx

(五)数系的扩充与复数的引入(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知a，bC，下列命题正确的是()A.3i5iB.a0|a|0C.若|a|b|，则abD.a20【解析】A选项中，虚数不能比较大小；B选项正确；C选项中，当a，bR时，结论成立，但在复数集中不一定成立，如|i|，但ii或i；D选项中，当aR时结论成立，但在复数集中不一定成立，如i210，b24b5(b2)210.复数对应的点在第四象限.故选D.【答案】D10.如果复数z3ai满足条件|z2|2，那么实数a的取值范围是()A.(2，2)B.(2，2)C.(1，1)D.(， )【解析】因为|z2|3ai2|1ai|2，所以a214，所以a23，即a.【答案】D11.若1i是关于x的实系数方程x2bxc0的一个复数根，则()A.b2，c3B.b2，c3C.b2，c1D.b2，c1【解析】因为1i是实系数方程的一个复数根，所以1i也是方程的根，则1i1i2b，(1i)(1i)3c，解得b2，c3.【答案】B12.设z是复数，则下列命题中的假命题是()A.若z20，则z是实数B.若z20，则z是虚数C.若z是虚数，则z20D.若z是纯虚数，则z20【解析】设zabi(a，bR)，选项A，z2(abi)2a2b22abi0，则故b0或a，b都为0，即z为实数，正确.选项B，z2(abi)2a2b22abi0，则则故z一定为虚数，正确.选项C，若z为虚数，则b0，z2(abi)2a2b22abi，由于a的值不确定，故z2无法与0比较大小，错误.选项D，若z为纯虚数，则则z2b20，正确.【答案】C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上)13.(2015重庆高考)设复数abi(a，bR)的模为，则(abi)(abi)_.【解析】|abi|，(abi)(abi)a2b23.【答案】314.a为正实数，i为虚数单位，2，则a_.【解析】1ai，则|1ai|2，所以a23.又a为正实数，所以a.【答案】15.设a，bR，abi(i为虚数单位)，则ab的值为_. 【解析】abi53i，依据复数相等的充要条件可得a5，b3.从而ab8.【答案】816.若复数z满足|zi|(i为虚数单位)，则z在复平面内所对应的图形的面积为_.【解析】设zxyi(x，yR)，则由|zi|可得，即x2(y1)22，它表示以点(0，1)为圆心，为半径的圆及其内部，所以z在复平面内所对应的图形的面积为2.【答案】2三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)计算：(1)(i)2(45i)；(2).【解】(1)(i)2(45i)2(1i)2(45i)4i(45i)2016i.(2)i(1i)1i(i)1 0081i1i.18.(本小题满分12分)已知关于x，y的方程组有实数解，求实数a，b的值.【解】由得解得将x，y代入得(54a)(6b)i98i，所以所以a1，b2.19.(本小题满分12分)实数k为何值时，复数z(k23k4)(k25k6)i是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)0.【解】(1)当k25k60，即k6或k1时，z是实数.(2)当k25k60，即k6且k1时，z是虚数.(3)当即k4时，z是纯虚数.(4)当即k1时，z是0.20.(本小题满分12分)已知复数z满足|z|，z2的虚部是2.(1)求复数z；(2)设z，z2，zz2在复平面上的对应点分别为A，B，C，求ABC的面积.【解】(1)设zabi(a，bR)，则z2a2b22abi，由题意得a2b22且2ab2，解得ab1或ab1，所以z1i或z1i.(2)当z1i时，z22i，zz21i，所以A(1，1)，B(0，2)，C(1，1)，所以SABC1.当z1i时，z22i，zz213i，所以A(1，1)，B(0，2)，C(1，3)，所以SABC1.21.(本小题满分12分)已知复数z1i，z2i，z32i，z4在复平面上对应的点分别是A，B，C，D.(1)求证：A，B，C，D四点共圆；(2)已知2 ，求点P对应的复数.【解】(1)证明：|z1|z2|z3|z4|，即|OA|OB|OC|OD|，A，B，C，D四点都在圆x2y25上，即A，B，C，D四点共圆.(2)A(0，)，B(，)，(，).设P(x，y)，则(x，y)，若2 ，那么(，)(2x，2y2)，解得点P对应的复数为i.22.(本小题满分12分)设O为坐标原点，已知向量1，2分别对应复数z1，z2，且z1(10a2)i，z2(2a5)i，aR.若z2可以与任意实数比较大小，求12的值.【解】由题意，得(10a2)i，则z2(10