第三节三重积分的计算法

第三节三重积分的计算法,一、利用直角坐标计算三重积分,二、利用柱面坐标计算三重积分,三、利用球面坐标计算三重积分,可以用直角坐标、柱面坐标和球面坐标来计算.,计算方法是将三重积分化为三次积分,三重积分,或单积分和二重积分.,一、利用直角坐标计算三重积分,用平行于坐标面的平面族：,去分割积分区域,除边界外每个小块都是,一个长方体，于是得到,体积元素,得,把分为下上两个边界：,以的边界为准线,于是,将向xoy面投影，,设如图,母线平行于z轴的柱面,则,积分区域可表示为,(先一后二）,这是先对z，次对y，最后对x的三次积分,(先一后二）,若根据是X型域或Y型域确定二重积分的积分限,就得到化为三次积分的公式.,若为X型域，则有,例1计算,其中为三个坐标面及平面x2yz1所围成的区域.,解在xoy面上的投影为,若看成X型域，则,例2将化为直角坐标系下的三次积分，其中是由平面xyz1，xy1，x0，y0，z1围成的区域.,的下底是xyz1，,的投影是由x+y=1，,x=0，y=0围成的三角形域，,解,上底是z1的立体.,2）截面法（先二后一）,1）投影法（先一后二）,计算三重积分时，先求一个二重积分，再求一个定积分的方法,设区域的z值的最大值,内任一点z,作平行于xoy的,平面与交出截面,和最小值为和，,先在上对x,y积分然后在上对z积分.,2）截面法（先二后一）,过,二重积分的积分区域.,就是,这样得到,先求出上的二重积分再求定积分.,先二后一,此法常用于上的二重积分易求的情形,z的最小值和最大值为,例3计算，其中是由椭球面所围成的空间闭区域。,解用先二后一法：,即,和，,的面积为,二用柱面坐标计算三重积分,在xoy面上就是极坐标.,设M（x,y,z）为空间一点，如果将x，y，z改用另外三个数来表示，则称为点M的柱面坐标。,三组坐标面：,柱面与直角坐标的关系是,常数（水平平面）,常数（半平面）,常数（圆柱面）,由图可知,用三组坐标面族去分割空间区域，其任一小块的体积可以近似看成以为底，为高的柱体体积。,体积元素,因此,则积分区域在柱面坐标系下的表示为：,在柱面坐标系下,区域由直角变为柱面坐标表示,则三重积分化为柱面坐标的三次积分：,若,解将积分区域向xoy面投影，得,柱面坐标,例5计算其中是由曲面与平面围成的区域.,解在xoy面上的投影区域为圆域:,所以,例6计算,其中,解采用柱面坐标,问题,若例6中的积分区域改为,则,答由对称性，有,思考题,在柱面坐标系下求三重积分可以看作在直角坐标系对作单积分，然后在投影区域上用极坐标作二重积分吗？,答：可以,三、用球面坐标计算三重积分,设M(x,y,z)为空间一点，如果将x,y,z改用另外三个数r，来表示,则称(r，)为点M的球面坐标。,球面坐标与直角坐标的关系是,分割空间区域,可以近似地看成是,高为的长方体体积,积分元素,宽为,长为,其任一小块的体积,其中,一般将右端的形式化为先对r、次对、最后对的三次积分来计算。,三重积分在球面坐标系下的形式：,一般地，空间区域包含原点在其内部，边界曲面为则有,例如当为球面时,例7求半径为的球面与半顶角为的内接圆锥面所围成的立体的体积(如图).,解根据积分性质：的度量，,将用球面坐标表示成不等式：,思考题：,球面方程,柱面,球面,柱面方程,直角,坐标系,1.填写下表中的空格：,2.计算重积分应怎样选择合适的坐标系？应考虑哪两个方面？哪个方面更重要些？,相对而言，便于积分更重要一些.,小结,1.柱面坐标系下,两种坐标系下三重积分的计算,由柱面与直角坐标的关系,有,若,则,的侧面由圆柱面或,且被积函数含有常用柱坐标,2.球面坐标,由球面坐标与直角坐标的关系：,三重积分在球面坐标系下的形式：,其中,