数学奥林匹克竞赛试题.doc

数学奥林匹克竞赛试题（一）1、 在数列中，且 ，求2、 在数列中，且，求3、 数列满足且，求4、 已知数列满足，其中a,b是给定的正实数，求5、 在数列中且,求6、 已知数列满足求7、 数列为正数列，且，求8、 数列中，求9、 已知数列，中， （1）求 （2）求 10、在数列和中，且求，数学奥林匹克竞赛试题（二）1、 若数列中，,求2、 设求证：3、 求所有，使得由所确定的数列，是递增的。4、 设，且且求证：对一切非负整数n，有。5、 实数满足： 证明：。6、，数列满足，且对于是否总有。7、 否存在，使得一个无穷正数列满足。8、 对给定的，定义满足证明这个数列中有无穷多个非正项。9、 在数列中。，。证明对任何正整数和，分式不可约。10、 证明：若数列满足 则每一项都是自然数，且当为偶数或奇数时分别有形式或。数学奥林匹克竞赛试题（三）1、设，问a,b,c为何值时，？2、设多项式求证：。3、能否找到这样的实数，使等式对任何成立.4、证明：多项式是首项为2的二次三项式的平方的冲要条件是。5、证明：当时，k次多项式 的值总是正的。6、求满足：的二次函数7、给定多项式。证明，对每一个，至多有一个 n次多项式，使得。8、设实系多项式 满足，其中为一实数，若，求证：9、假设二次三项式可变换成或，试问能否借助有限次这样的变换由得？10、求证：任何多项式可以表示成两个递增多项式之差。数学奥林匹克竞赛试题（四）1、 对于给定实数，方程有四个虚根，其中两根的积为，另两根的和是，求。2、 已知是方程的三个根，且都是有理数，求。3、证明：对任意非零的，多项式的根满足4、求方程的全部解的199次幂的和。5、若，求证：实系数方程必有虚根。6、设多项式有个实根，且系数都是非负数，证明：7、解方程组8、证明；实系数多项式的根不可能全是实数。9、如果和是方程的两个根。求证：是方程的一个根。10、已知方程的三根都是实数，证明：是一个三角形的三条边长的冲要条件是。数学奥林匹克竞赛试题（五）1、设为（十进制）的各位上数字之和。试求2、已知函数，求。3、设。证明，存在正整数，使能被1988整除。4、设求5、设求,求6、 设, 及,求及7、证明存在定义在上的函数，使.8、对，求证：对所有非负整数和时，有。9、设是定义在实数集上的实值函数。试证明；（1） 若只有惟一的不动点，则也只有惟一的不动点。（2） 若有且仅有两个不动点，那么只有两种可能：(i) 是的不动点(ii) ,.11、 已知为多项式，求证：.数学奥林匹克竞赛试题（六）1、在的方格中，随意写上或，然后将每格中的数用所有与它相邻的格（有公共边的格）中的数的积来代替。求证：经过若干次这样的“变换”以后，所有方格中的数都是。2、在黑板上写下n个数，每次允许擦掉任意两个数，例如a和b换成。这样的运算重复次，结果在黑板上只剩下一个数。证明：若开始时在黑板上写的是n个1，则最后留在黑板上的数不小于.3、 微型计算器只能完成如下两种四位数的运算：（i）由得（ii）由得问能否用计算器由得?4、在黑板上写了3个整数，然后擦去其中一个，并代之以剩下的两数之和与1的差，重复这个步骤若干次，最后得到了数17,1967,1983，问：最初在黑板上写的数能否是以下的数：（1）2,2,2 （2）3 ,3,35、在完全平方数的序列中是否含有无穷等差子序列？6、在一张的格子纸中有80个格子是黑的，其余是白的。某行（或列）中黑格如过半数。则将该行（或列）中格子全部染黑。证明：最后不可能将全部格子染黑。7、m个盒子，每个盒子中有一些球，球数不一定相等。n是小于m的正整数，选n个盒子，并在这些盒子中各放进1个球，称为一次“运算”。证明：（1）如果m与n互质，可以施行有限多次运算，使得盒子中的球数全部相等；（2）如果m与n不互质，试举出一种情况，无论施行多少次运算，都不能使盒子中的球数全部相等。8、棋盘上撒布n克面粉，使得没行，每列的重复都是1克，求证：可以安排k个人，第I人从不同的n个小方格中各取走克面粉(i =1,2,k),最后恰好将原来棋盘上的面粉全部取走。9、沿一个圆周放着若干堆小球，每堆小球的个数都是3的倍数，但各堆球数不必相等，现在按下列规则调整各堆的球数：把各堆小球三等分，本堆留一，其余两份分别放到左、右相邻的两堆中；如果某堆小球数目不是3的整数倍时，可从备用布袋中取出一球或两球放入，使该堆球数是3的整数倍，然后按上法继续调整。试证明：经过有限次调整之后，各堆小球个数相等。10、 设S是n元集，对每个，对应一个集合，使，且若，则。现在进行下述游戏：首先给S中每个元素染上白色，然后每次可以任取一个，将中所有元素改变颜色（白色变黑色，黑色变白色）。求证：可以通过若干次操作使S中所有元素全变成黑色。数学奥林匹克竞赛试题（七）1、三个圆，半径分别为没有公共点。证明他们所覆盖的面积不小于。2、对任意单位面积的凸多边形，证明存在一个面积为2的平行四边形可以覆盖它。3、求一个具有最小尺寸的正方形，使得其中能安放5个半径为1的圆，并且任意两个圆都没有公共内点。4、平面上任给100个点，证明：可用某些互不相交、直径的和，且任何两个的距离（两圆间连线段最短长度）都大于1的原覆盖这100个点。5、已知等边三角形的边长为1，线段d的端点在三角形的边长滑动，求能使d覆盖整个三角形的最小长度。6、已知5个同样大小的正三角形可以覆盖正三角形ABC，证明4个这样的正三角形就可以覆盖。7、覆盖图形F的圆面中最小的一个叫做F的最小覆盖圆。最小覆盖圆的半径叫做图形 F的覆盖半径。的最大边长为BC，求覆盖的最小圆面。8、用三个半径相同的圆纸片覆盖一个单位正方形纸片，求所用圆纸片所覆盖。9、一个边长分别为3，4，5的三角形一定不能被面积为15的正方形纸片所覆盖。10、在的矩形中，最多可以不重叠地放置多少个半径为1cm的圆的的扇形？数学奥林匹克竞赛试题（八）1、8个小圆分别涂了4种颜色：2个红的；2个蓝的；2个白的；2个黑的。甲乙两人轮流把圆放到立方体的顶点上。在所有的圆都放在立方体的各个顶点上去后，如果对立方体的某一个顶点都能找到一条过此顶点的棱，其两个端点上的圆有相同的颜色，则第一个放圆的人甲获胜，否则第二个人乙获胜。试问在这个游戏中谁将获胜？2、在桌子上方着1978根火柴。两个男孩依次轮流地取1或2根火柴。谁取后一根火柴，谁就获胜。问：哪一个男孩获胜？他应该怎样玩这个游戏？3、在黑板上写着方程两个人做游戏：第一个人把异于0的整数（正整数或负整数）填到其中的任一空上，接着第二个人把整数填到其余的一个空上，最后第一个人把一个整数填到最后的空上。4、若适当选取非零实数为初始值，写出方程若（1）有实根，可再写出方程，若（2）有实根，可再写出方程。一般地，所写出的第k个方程有实根，就可继续写出第(k+1)个方程。依上述规则一直写下去，当写出第1990个方程，有二实根时算“达标”。求证：可以找到选定初始值的策略，必定可以“达标”。并请说明理由。5、已知20个数1，2，20。两个游戏者轮流将“+”号或“”号放在这些数的前面（放的顺序不限）。第一个人的目的是当20个符号放完后，20个数和的绝对值较小。那么，第二个人得到的20个数的和的绝对值最大是多少？6、两人轮流在的方格板上玩涂格子游戏。第一个人每次将任意两个相邻的格子涂上黑色，第二个人将任意一格涂上白色。起初方格上所有的格子都是白的。第二个人能否在他每次涂色之后，使黑板上任意一个的正方形中：(i)至少有一个角为白色格；(ii)至少有两个角为白色格。（有公共边的两格叫做相邻的；同一格子可经两游戏者改涂颜色若干次。） 7、在格的象棋盘的右下格放一枚棋子（如图），每步只能向左或者向左上对角线走一格，甲乙两人交替走，以先到左上格为胜者，问谁必胜？怎样取胜？8、甲、乙两人做下面的游戏：两人轮流从1，2，100，101中取数，每次任意取走9个数，甲先取，取到第11次时，还剩下两个数，然后乙按此两数之差给甲记分。求证：无论乙如何取数，甲总是可以保证自己的得分不少于55分。9、甲、乙、丙三人玩下面的游戏：从集合中随机地取出一个k元子集，这里k是一个取定的的正整数，根据所取出的k个数的和除以3的余数为0，1或2，定出胜者为甲、乙或丙（各种选取的机会相等）。问k是什么值时，这游戏是公平的？11、 桌上有3堆火柴，第一堆中有100根，第二堆中有200根，第三堆中有300根。两人游戏，依次轮流进行如下的操作：在每次操作中都取走一堆火柴，再把剩下两堆中的某一堆分成两个非空的堆。谁不能再进行操作，就算谁输。试问，在正确的策略之下，谁会赢：是先开始的，还是其对手？数学奥林匹克竞赛试题（九）1、在某次竞选会中各政党作出n种不同的诺言，有些政党可以做某些相同的诺言。现知其中每两个政党都至少作了一个相同的诺言，但没有两个政党的语言完全相同。求证：政党个数。2、一个以自然数为元素的集合C，如果C中至少存在两个数，它们的算术平均数仍属于集合C，则称C为“好集”。证明：将自然数集任意划分为两个不交的子集中，至少有一个子集是“好集”。3、已知集合A，B，C满足且，则的最小值是多少？（其中表示集合x的阶）4、将自然数集N划分为有限个非空子集，每个子集中的数都成等差数列。证明：至少有一个等差数列的第一项能被该数列的公差整除。5、对怎样的正整数n，集合可以划分成5个两两不交的子集，使得每个子集的元素和相等。6、设是给定的正有理数，求证：可把自然数集N划分成2个子集A、B，使得A中任意两数之比与B中任意两数之比都不等于C。7、设为有限集，并且。设对给定的，此