第七章一阶电路和二阶电路的时域分析

,7-2一阶电路的零输入响应,7-3一阶电路的零状态响应,7-4一阶电路的全响应,7-6二阶电路的零状态响应和全响应,7-5二阶电路的零输入响应,7-1动态电路的方程及其初始条件,第七章一阶电路和二阶电路的时域分析,教学内容,7-8一阶电路和二阶电路的冲激响应,*7-9卷积积分,*7-10状态方程,*7-11动态电路时域分析中的几个问题,7-7一阶电路和二阶电路的阶跃响应,教学内容,理解动态电路的概念；熟练掌握求解一阶电路的零输入、零状态和全响应的方法；掌握求解一阶电路阶跃响应、冲激响应的方法；了解求解二阶电路的各种响应的经典法；了解二阶电路的过渡过程的性质和物理意义。,教学要求,重点,应用三要素法分析一阶电路的零输入响应、零状态响应和全响应；求解一阶电路的阶跃响应、冲激响应。,针对一阶或高阶电路，如何写出相应的微分方程；冲激响应的求解。,难点,学时数,讲课7学时，习题1学时。,一、动态电路的有关概念,一阶(动态)电路,仅含一个动态元件，且无源元件都是线性和时不变的电路，其电路方程是一阶线性常微分方程。,7-1动态电路的方程及其初始条件,二阶(动态)电路,含两个动态元件的电路，其电路方程是二阶微分方程。,7-1动态电路的方程及其初始条件,过渡过程,当电路的结构或元件的参数发生变化时，可能使电路从一种工作状态转变到另一种工作状态，期间所经历的过程称为过渡过程。,换路,电路结构或参数变化引起的电路变化称为换路，换路是瞬间完成的。,设t=0时刻换路，则,t=0-表示换路前的终了瞬间,t=0+表示换路后的初始瞬间（初始值）,7-1动态电路的方程及其初始条件,二、分析动态电路的方法,经典法,三要素法,该方法仅适用于一阶动态电路。,建立以时间为自变量的线性常微分方程，然后求解，该方法是在时域中进行。,三、动态电路的初始条件,电路中所求变量(电压或电流)及其(n-1)阶导数在t=0+时的值。,初始条件(初始值),7-1动态电路的方程及其初始条件,独立初始条件,电容电压的初始值uC(0+)。,令t0=0-，t=0+，则,若换路前后，i为有限值，则,换路瞬间，电容电压不能突变。,7-1动态电路的方程及其初始条件,电感电流的初始值iL(0+)。,令t0=0-，t=0+，则,若换路前后，uL为有限值，则,换路瞬间，电感电流不能突变。,7-1动态电路的方程及其初始条件,非独立初始条件,换路定则,换路瞬间，电容电压不能突变；,电感电流不能突变。,根据独立初始条件，采用t=0+时的等效电路：,电容元件用理想电压源代替，其电压值为uC(0+)；,电感元件用理想电流源代替，其电流值为iL(0+)。,例：换路前电路处于稳态，试求图示电路中元件电压和电流的初始值。,解：,由t=0-等效电路求uC(0)、iL(0),7-2一阶电路的零输入响应,由t=0+等效电路求非独立初始值,7-2一阶电路的零输入响应,7-2一阶电路的零输入响应,一、RC电路的零输入响应,零输入响应：换路后，动态电路中无外施激励电源，仅由动态元件初始储能所产生的响应。,一阶齐次微分方程,电容电压uC的变化规律(t0),7-2一阶电路的零输入响应,令方程通解为：,特征方程：,将其带入方程得,由初始值确定积分常数A,方程通解为：,根据换路定则：,t=0+时，则A=U,电容电压uC的变化规律（t0）为,7-2一阶电路的零输入响应,电容电压uC按指数规律从初始值U衰减而趋于零，衰减的快慢由电路的时间常数决定。,i、uR的变化规律,uC、i、uR的变化曲线,U,-U,7-2一阶电路的零输入响应,物理意义,令:,单位:秒（S）,时间常数决定电路暂态过程变化的快慢。,当时，,时间常数等于电压uC衰减到初始值U的36.8%所需的时间。,时间常数,7-2一阶电路的零输入响应,经过t=5的时间，就足可认为电路达到稳态。,理论上t电路才能达到稳态。,工程上认为电路就可认为达到稳态。,几何意义：指数曲线上任意点的次切距的长度都等于。,暂态时间,二、RL电路的零输入响应,电感电流iL的变化规律,t=0时开关S由1合到2,一阶线性齐次微分方程,令方程通解为：,由特征方程：,7-2一阶电路的零输入响应,7-2一阶电路的零输入响应,由初始值确定积分常数A,方程通解为：,电感电流iL按指数规律从初始值衰减至零，衰减的快慢由决定。,根据换路定则：,t=0+时，则,7-2一阶电路的零输入响应,uL、uR的变化规律,iL、uL、uR的变化曲线,7-2一阶电路的零输入响应,eL可能使开关两触点之间的空气击穿而造成电弧以延缓电流的中断，开关触点因而被烧坏。,用开关S将线圈从电源断开而未加以短路,解决方法：与线圈串接低值泄放电阻R1。,因为电流变化率很大,所以很大,7-2一阶电路的零输入响应,例7-2图示是一台300kW汽轮发电机的励磁回路。已知励磁绕组的电阻R=0.189，电感L=0.398H，直流电压U=35V。电压表的量程为50V，内阻RV=5k。开关未断开时，电路中电流已经恒定不变。在t=0时断开开关。求：电阻、电感回路的时间常数；电流i的初始值；电流i和电压表处的电压uV；开关刚断开时，电压表处的电压。,解：,7-2一阶电路的零输入响应,7-2一阶电路的零输入响应,例7-3图示电路，开关S合在位置1时电路已达稳态，t=0时开关由位置1合向位置2，试求t0时的电流i(t)。,解：,用加压求流法求等效电阻R,7-3一阶电路的零状态响应,一、RC电路的零状态响应,零状态响应：换路后，动态电路中动态元件初始储能为零，由外施激励引起的响应。,一阶线性非齐次微分方程,电容电压uC的变化规律,方程的解=特解+通解,特解：,通解：,即：,7-3一阶电路的零状态响应,根据初始值确定积分常数A,根据换路定则：,t=0+时，则A=U,i、uR的变化规律,7-3一阶电路的零状态响应,稳态分量(强制分量)：电路到达稳定状态时的电压，其变化规律和大小都与电源电压U有关。,瞬态分量(自由分量)：仅存在于暂态过程中，其变化规律与电源电压U无关，但其大小与U有关。,uC、i、uR的变化曲线,表示电容电压uC从初始值上升到稳态值的63.2%时所需的时间。,7-3一阶电路的零状态响应,7-3一阶电路的零状态响应,电感电流iL的变化规律,特解,补函数,RL电路与恒定电压接通,令通解,令,二、RL电路的零状态响应,7-3一阶电路的零状态响应,根据初始值确定积分常数A,微分方程的通解为：,根据换路定则：,t=0+时，则,7-3一阶电路的零状态响应,uL、uR的变化规律,iL、uL、uR的变化曲线,7-3一阶电路的零状态响应,7-4一阶电路的全响应,全响应：换路后，外施激励及储能元件的初始状态均不为零时电路的响应。,一、RC电路的全响应,电容电压uC的变化规律,t=0时开关S由1切换到2,微分方程的通解为：,零输入响应,这是叠加定理在电路暂态分析中的体现。,根据初始值确定积分常数A,根据换路定则：,t=0+时，则A=U0U,全响应=+,零状态响应,稳态分量,瞬态分量,全响应=稳态分量+瞬态分量,（三要素）,在直流电源激励下，分析一阶电路的全响应的一般公式为,一阶线性电路均可应用三要素法求解，即只要求得、和这三个要素的基础上，就能直接写出电路的响应（电压或电流）。,7-4一阶电路的全响应,由t=0-等效电路求。,根据换路定则：,由t=0+等效电路求其它非独立初始值。,在t=0+等效电路中,初始值的求法,如何求三要素,若，则电容元件用理想电压源代替，其值为；若，则电容元件视作短路。,若，则电感元件用理想电流源代替，其值为；若，则电感元件视作开路。,7-4一阶电路的全响应,例：确定图示电路中各电流和电压的初始值，设开关S闭合前电感元件和电容元件均未储能。,解：,7-4一阶电路的全响应,换路后，当t时的等效电路中，电容视作开路，电感视作短路。,稳态值的求法,例：求开关S闭合后i1、i2、iC和uC的稳态值。,解：,7-4一阶电路的全响应,R0为换路后的电路除源（即将理想电压源短接、理想电流源开路）后，从储能元件两端（不含储能元件）看进去的无源二端网络间的等效电阻。,时间常数的求法,一阶RC电路：,一阶RL电路：,例：,7-4一阶电路的全响应,例7-4图示电路中US=10V，IS=2A，R=2，L=4H。试求S闭合后电路中的电流iL和i。,7-4一阶电路的全响应,解：,7-4一阶电路的全响应,例7-5图示电路，开关S闭合前电路已达稳定状态，求t=0时电容电压uC的零状态响应、零输入响应和全响应。,解：,用加压求流法求等效电阻R,7-4一阶电路的全响应,全响应,零输入响应,零状态响应,7-5二阶电路的零输入响应,略,7-6二阶电路的零状态响应和全响应,略,7-7一阶电路和二阶电路的阶跃响应,一、阶跃函数,单位阶跃函数,定义任一时刻t0起始的阶跃函数,延迟的单位阶跃函数,7-7一阶电路和二阶电路的阶跃响应,一般阶跃函数,二、阶跃函数的作用,阶跃函数又称开关函数，可作为电路中开关的数学模型。,用阶跃函数构成闸门函数截取一个函数的某段波形。,7-7一阶电路和二阶电路的阶跃响应,例：,阶跃函数可起始任意一个f(t)。,7-7一阶电路和二阶电路的阶跃响应,三、阶跃响应,初始状态为零的电路在阶跃电源作用下的响应。,阶跃响应是一种零状态响应，常用s(t)表示单位阶跃响应。,若电路的激励为，则电路的零状态响应为。,7-7一阶电路和二阶电路的阶跃响应,例7-11图示电路，开关S和在位置1时电路已达稳定状态。t=0时，开关由位置1合向位置2，在t=RC时又由位置2合向位置1，求t0时的电容电压uC(t)。,解：,方法一,在区间为RC电路的零状态响应,在区间为RC电路的零输入响应。,7-7一阶电路和二阶电路的阶跃响应,方法二,RC电路的单位阶跃响应为：,7-8一阶电路和二阶电路的冲激响应,一、冲激函数,单位冲激函数,一般冲激函数,7-8一阶电路和二阶电路的冲激响应,冲激函数的幅度趋于无穷大，但强度为有限值，它是用强度表征的。,画冲激函数的波形时，在表示波形的箭头旁标注其强度。,注意,二、冲激函数的两个性质,冲激函数与阶跃函数的关系,“筛分”性质,7-8一阶电路和二阶电路的冲激响应,冲激函数能把一个函数在某一时刻的值“筛”出来。,三、电路的冲激响应,零状态电路在单位冲激电源作用下的响应称为单位冲激响应，常用h(t)表示。,四、求取冲激响应的方法,根据阶跃响应求冲激响应,7-8一阶电路和二阶电路的冲激响应,将冲激响应转化为零输入响应求解,当单位冲激函数作用于零状态的一阶RC或RL电路，在0-0+区间内它使电容电压或电感电流发生跃变，即t0+时，uC(0+)或iL(0+)不为零，但此时冲激函数为零，因此电路中将产生相当于初始状态引起的零输入响应。,关键求冲激函数作用下的uC(0+)或iL(0+)。,方法：作出0+时的等效电路，等效电路中电容视作短路，电感视作开路，求得电容中的冲激