使用变分法的理由.doc

在热力学系使用变分法的理由及结果“摩尔熵分布函数”的导出朱顶余江苏省涟水县保滩中学(223405),E-mail:摘 要：当热力学体系达到平衡态时，具有“无耗散”（ 即“无熵产”）的特点。本文就依据这一“平衡态原理”（ “熵增原理”）使用了“变分法”进行“泛函分析”；导出了“欧勒方程”的解“比熵平衡方程”，还给出了“即使在外场中处于密度不均匀的无熵产状态，类似于最大熵状态时，体系仍然保持着均匀的比熵分布”这个新结果。同时，这都因为大胆地在 “热统”领域引进了“间接变分法”的结果，这增强了对体系“熵函数”的探讨能力；最后还作了一些展望。关键词：平衡态原理、无熵产、比熵平衡规律、均熵方程中图分类号：O414 文献标识码：A1引言若有一绝热封闭的刚性壁容器，内盛有一摩尔单原子理想气体，在桌面上静置了一百年；试问该容器内不同高度上的气体密度、压力、温度这三个热力学参量沿着高度的分布情况究竟是怎样的？依据经验,假如容器处在无外力场中且保持惯性运动状态, 则容器内气体必将有，,这只是经验认识；对此，笔者一直心存余悸，在惯性空间，究竟当热力学体系达到平衡态时，虽然可以肯定体系的熵达到了极大值，但体系的密度、温度、压力是否真的会均匀分布，这决不能满足于主观臆测，必须建立相应的数学模型进严格的规范的推导求证。波尔兹曼早就用统计力学的方法推导出，无论体系是否处在外力场中，体系的平衡态都将保持温度均匀分布的状态；所以教科书将温度均匀分布作为物系达到平衡态的标志。笔者 试图另辟蹊径， 依据 “最大熵原理” 借用“（间接）变分法”（破解相应的“欧勒方程”）首先解出惯性空间的热力学平衡态体系的参量分布函数，接着再导出当存在外场（即当g0）时，热力学平衡态体系的参量分布函数2对热力学体系尝试“变分法”的理由其实上面的问题可以归结为，当体系的“熵产生率”等于零或曰热孤立体系的总熵不再增长时（最大熵原理），惯性空间中的热力学体系各点介质的比熵（即某小局域的熵与该小局域所含介质的摩尔数的比值）将保持什么样的关系问题；或曰热力学参量的分布函数将是怎样的？这个问题一直困扰着笔者久思不得其解；思来想去一筹莫展（无从下手）。经过长期的沉思笔者突然联想到人们在寻求极限条件下的尝试函数，常常运用“变分法”进行泛函分析譬如 在力学中为了寻求最快捷的下滑轨道方程（函数），使用了“间接变分法”，求解 “欧勒方程”；也就是说欲使某一滑块从某一点下滑到另一点需要的时间最短，其路径（轨迹曲线）的方程（函数）是怎样的（即“捷线问题”）？ “捷线问题”与本文的问题颇为相似。本文的问题就是指一摩尔理想气体在特定的绝热封闭的刚性容器中经过长期静置，试问其最终死寂（平静）状态时的密度、温度、压力的分布函数究竟是怎样的？在物体下滑轨道例子中要求其下滑时间最短的那一条轨道，类似地在此热力学死寂态例子中是要求体系的总熵不再增加（熵值最大）的那个状态，而热力学体系的行为必然遭受 “最大熵原理”（熵增原理）的强行支配；这就是本课题使用“变分法”进行泛函分析的逻辑基础。其程序是将体系的总熵（体系各局域的熵的积分）作为“泛函”，接着讨论该泛函的变分问题（密度、温度分布函数作微小的变动，泛函即体系的总熵也随之作微小的变动，其比值的极限趋于零），从而获得 “欧勒方程”。最后从“欧勒方程”（微分方程）解出热力学体系达到无熵增状态（平衡态）时的密度、温度分布函数；这就是运用变分法寻求热力学死寂态参量分布函数的理由和思路（基本思想）下面就以理想气体为例，本文试从 “间接变分法”中的“欧勒方程”2首先解出惯性空间热力学体系达到平衡态时必然服从的热力学平衡条件，最后依据无论有无外场，体系都终将死寂（达到无熵增）状态的“平衡态原理”，进一步导出：在重力场中死寂态的热力学体系的参量分布函数。2.1 理想气体系统为了简便，首先考虑静置于匀强力场中的绝热刚性壁柱形封闭容器所盛的摩尔理想气体系统，其中封闭容器内的摩尔数，可用下式定积分表示 式中为体系所拥有介质的摩尔数,为柱形容器的底面积,为柱高方向的变量, 为气体数密度沿着高度的分度函数,为容器的顶部高度。在这里体系所拥有的内能（对于理想气体系统）即为热能是否一直为定值呢？答案是否定的！因为体系在自发地趋近于无“熵产”（死寂状态 ）的过程中，不免因其密度分布函数的变化而改变体系质心的高度，即改变了体系在外场中的势能，同时由于粘滞性耗散（生热）；故体系的热能在死寂之前并不是守恒的常数；但这并不能阻止 “有限源体系”归宿于死寂状态的进程，因为体系在恒定外场中的势能不可能无休止地改变下去；再加上粘滞性耗散，体系总是要死寂的（即必将终止一切形式的宏观运动），即该体系必将达到无“熵产”的死寂状态；即处在外场中的绝热（刚性壁）封闭的久置着的热力学简单体系也必将达到死寂的状态。用表示高度层的“摩尔熵”。“摩尔熵”表达式为 3， 其中，为气体普适常数，为等容摩尔热容量；所以该体系所拥有的总熵为2.2“变分问题”“欧勒方程”利用密度、温度在位形空间的分布函数的泛函之极值点（或拐点，因为并没有考察欧勒方程的二阶导数如何）来确定“极（值）点（或拐点）”的密度、温度分布规律，也就是寻求由“欧勒方程”所蕴涵的未知函数与自变量参考高度的依赖关系。我们必须首先明确泛函就是体系的总熵。所谓泛函达到极值点（或拐点），就是在该种特定的情境下，体系的总熵随着介质密度分布、温度分布的“自然调整”达到了极点值（或拐点值）；故必须以“无熵产状态”作为“变分问题”的物理基础。同时还应明确体系的总熵是由遍及整个体系所占“区域”（在此为三维欧氏几何空间）的定积分来确定。式为体系的总熵密度、温度分布函数的泛函，其中式则为“（该）变分问题”的约束条件。随着体系密度、温度分布函数的“自然调整”自发地趋向“死寂”态，体系的总熵（即密度的泛函）也将随之而变；当该体系的总熵在特定的情境 即在第式所示的约束条件下取得极点值（或拐点值）时；本课题的变分表达式为：由其得欧勒方程组为：这就是简单情形时的“欧勒方程组”的一般表达式。其中由“拉格朗日乘子法” 4获得；这里为待定“乘子”（常数）。亦即这就是本课题将要使用的“殴勒方程组”的具体表达式。值得指出的是，这个“殴勒方程组”似乎没有充分的条件保证其必属于最大熵状态，因为本文只关心绝热封闭的理想气体系统达到定熵状态即“死寂态”时的温度与密度之间的依赖关系；本文并不关心也无法知道更完全没有必要知道：当绝热封闭的理想系统达到死寂状态时体系的总熵究竟是否会达到极大值，也许会停留在 “拐点”；只知道其必然达到定熵的死寂状态，这已完全满足了变分法的要求；因为“间接变分法”中的欧勒方程仅仅明确了其一阶微商等于零，并没有给出其二阶微商究竟如何；所以我们仅仅凭借欧勒方程式无法判定该热力学体系的死寂状态究竟是否属于最大熵状态，但可以断定其死寂状态必然属于 “定熵”状态。2.3 均熵方程的推导及其讨论由式亦可得： 解该微分方程组得一组解，若再注意到理想气体的摩尔熵表达式3便知，其中第个解含有状态参量的幂项，因为熵只能正比于状态参量的“对数”值，熵函数中决不允许出现状态参量或的非对数项，所以其中第个解的函数形式不符合熵函数的要求；必须舍弃（其中为熵常数）。现在得知，能够同时满足该方程中两式的解析解，显然只有一个：该式表明，即使在外场中，热力学体系的死寂状态总保持各处介质具有相同的摩尔熵；这第(6)式精辟地给出了在 “无熵产”体系中温度对密度的依赖关系；理论和实践都表明：在外场中，体系的“死寂”态密度的分布显然不为常数，即有，亦即；第式为外场中理想气体系统的死寂态所能接受的唯一“特解”。这里的逻辑关键就是这个关系式得到了第式的支持。这也就是说温度与密度并不是相互独立的参变量；所以本文的整个讨论过程都是很幸运的。即本文的讨论伊始（建立“泛函”）就隐含着一种期望性的假定温度与密度并不是相互独立的参变量；值得庆幸的是并没有得到与这种隐含着的假定相悖的结果。(6)式的右边为介质“比熵”的参量表达式。(6)式表明处在 “无熵产”状态时的体系中各点的“比熵”等于同一常数，即比熵的空间梯度等于零： (7)这第(7)式亦可称谓“均熵方程”；这就是外场中物系必须遵循的一条规律。3均熵方程的理论意义从许多方面可以看出人们已经离不开(6)式：1，在推导理想气体中的声学方程时需要第(6)式（即绝热可逆方程）5；2，在流体热力学中讨论 “定熵流动6”，也就是假定处处比熵相等；3，大气科学的“多元大气”模型中计算出的温度梯度也需要假定在不同的高度大气的比熵相等7；4，在讨论多电子电子云中也需要假定电子云的比熵处处相等8。5、利用文中的第(7)式再结合静力平衡条件即可导出(可压缩)流体力学中的“流体静力学方程(即 比焓加比势能等于常数)”，若结合的是“达兰伯原理”则可导出“可压缩无粘滞流体动力学方程(即比焓加比势能再加比动能等于常数)”所有这些都表明，人们早就自觉不自觉地利用均熵方程，只不过人们并不知道在客观上“摩尔熵”究竟是否真的趋于均等，只是作为一种“假设”来使用。可见“均熵方程”的导出对于诸多力学领域都是一种补救，这使诸多力学结论从“假说”上升为严格的理论；否则 那些力学结论的推导过程就不敢面对质疑这也符合人类认识自然的规律，即从不太精辟到接近精辟的过程。笔者可以运用均熵方程导出,处于外力场的绝热体系内存在着稳恒的温度梯度, 即,且不需付出熵流代价。由此笔者可以证明热力学第零定律、热力学第二定律、热流定律仅适用于等势面上,或者说在地球表面只是近似适用；进而可以解释宇宙为何不会出现热寂,源于引力可导致散发到太空中的热能重新聚集与活跃；重力场是形成和维持地热的首要因素。这将成为热统理论的新鲜血液,因此,本题课具有明显的理论意义！ 感谢沈建其的指导/showmembers.php?id=16参考文献1朗道栗弗席兹(前苏联) 著 杨训恺等译 1964统计物理学(人民教育出版社)第 90页 ( Landau,L、D、and Lifshitz E、M、,Statistical Physics,Pergamon Press,1958,)2 梁昆淼，数学物理方法,北京：人民教育出版社，1978.7。3汪志诚，热力学统计物理（第三版），北京：高等教育出版社，2003.3。第53页，（1.15.4）4梁昆淼，