Ch6-IIR数字滤波器的设计方法-1-2

第六章IIR数字滤波器的设计方法,6.1引言6.4用模拟滤波器设计IIR数字滤波器6.5冲激响应不变法6.7双线性变换法6.8常用模拟低通滤波器特性6.9设计IIR滤波器的频率变换法6.10先用模拟域频带变换法，再利用数字化法设计数字各型滤波器6.11先将模拟归一化低通原型数字化为数字低通，再利用数字域频带变换法设计数字各型滤波器下周一做实验（11月28日，6,7或8,9节）,考试题型,滤波的目的为了抑制输入信号的某些频率成分，从而改变信号频谱中各频率分量的相对比例；,6.1引言,数字滤波器具有某种特定频率特性的线性时不变系统；广义上，任何线性时不变离散系统都是一个数字滤波器。设计数字滤波器的任务寻求一个因果稳定的线性时不变系统，使其系统函数H(z)具有指定的频率特性。,由前面我们已经知道，滤波器输出响应y(n)为,将上式两边经过傅里叶变换，可得,数字滤波器的滤波原理,6.1引言,可以看出，输入序列的频谱X(ej)经过滤波后，变为X(ej)H(ej)。如果|H(ej)|的值在某些频率上是比较小的，则输入信号中的这些频率分量在输出信号中将被抑制掉。因此，只要按照输入信号频谱的特点和处理信号的目的，适当选择H(ej)，使得滤波后的X(ej)H(ej)符合人们的要求，这就是数字滤波器的滤波原理。,理想低通、高通、带通、带阻滤波器幅度特性,数字滤波器的传递函数都以为周期：滤波器的低通频带处于整数倍处，高频频带处于的奇数倍附近。,从功能上分类：低通、高通、带通、带阻滤波器,6.1引言,实用滤波器：通带：不一定完全水平；阻带：不一定绝对衰减到零；过渡带：通带、阻带之间设置一定宽度的过渡带。,6.1引言,低通滤波器频率响应幅度特性的容限图,一般来说，滤波器的性能要求往往以频率响应的幅度特性的允许误差来表征。以低通滤波器为例，如图（称容限图）所示，频率响应有通带、过渡带及阻带三个范围。图中1为通带的容限，2为阻带的容限。,复习,1,1-1,2,如将|H(ej0)|归一化为1，上式可表示成：,虽然给出了通带的容限1及阻带的容限2，但是，在具体技术指标中往往使用通带允许的最大衰减（波纹）p和阻带应达到的最小衰减s描述，p及s的定义分别为：,6.1引言,（）IIR滤波器设计方法借助模拟滤波器设计方法：直接设计法：直接在频域或时域设计（需计算机辅助设计）,3、数字滤波器设计方法概述,6.1引言,IIR滤波器,FIR滤波器,利用模拟滤波器来设计数字滤波器，就是从已知的模拟滤波器传递函数Ha(s)设计数字滤波器的系统函数H(z)。因此，它归根结底是一个由S平面映射到Z平面的变换，这个变换通常是复变函数的映射变换，为了保证转换后的H(z)稳定且满足技术要求，这个映射变换必须满足以下两条基本要求：,因果稳定的模拟滤波器转换成数字滤波器，仍是因果稳定的。即S平面的左半平面Res0必须映射到Z平面单位圆的内部|z|1,z=esT,s平面与z平面之间的映射关系,6.5冲激响应不变法,由采样定理知，只有当模拟滤波器的频率响应是限带的，且频率带小于采样频率一半，才不会发生混迭现象。此时，,|1。也就是说，S平面的左半平面映射到Z平面的单位圆内，S平面的右半平面映射到Z平面的单位圆外，S平面的虚轴映射到Z平面的单位圆上。因此，稳定的模拟滤波器经双线性变换后所得的数字滤波器也一定是稳定的。,6.7双线性变换法,3、优缺点,优点：,1.避免了频率响应的混迭现象,s平面与z平面为单值变换,2.简单的代数映射,缺点：除了零频率附近，W与w之间严重非线性,2）要求模拟滤波器的幅频响应为分段常数型，不然会产生畸变,分段常数型模拟滤波器经变换后仍为分段常数型数字滤波器，但临界频率点产生畸变,双线性变换的由来,1、低频附近程线性2、分段常数的幅频特性要求,预畸变,给定数字滤波器的截止频率w1，则,按W1设计模拟滤波器，经双线性变换后，即可得到w1为截止频率的数字滤波器比较。设计流程,设计一个一阶数字低通滤波器，3dB截止频率为c=0.25，将双线性变换应用于模拟巴特沃思滤波器。,数字低通滤波器的截止频率为c=0.25，相应的巴特沃思模拟滤波器的3dB截止频率是c，就有,模拟滤波器的系统函数为,例,解：,6.7双线性变换法,将双线性变换应用于模拟滤波器，有,6.7双线性变换法,6.8常用模拟低通滤波器特性,模拟滤波器研究较早，理论已经十分成熟，且有若干典型的模拟滤波器供我们选择，如巴特沃斯(Butterworth)滤波器、切比雪夫(Chebyshev)滤波器、椭圆(Ellipse)滤波器、贝塞尔(Bessel)滤波器等，这些滤波器都有严格的设计公式、现成的曲线和图表供设计人员使用，利用这些现有技术来解决数字滤波器的设计问题；采用这种方法时，先要设计一个合适的模拟滤波器，然后将它转换成满足给定指标的数字滤波器；这种方法适合于设计幅频特性比较规则的滤波器，例如低通、高通、带通、带阻等。,模拟滤波器幅度响应常用幅度平方函数|Ha(j)|2来表示，即,由于滤波器冲激响应ha(t)是实函数，因而Ha(j)满足,所以,式中，Ha(s)是模拟滤波器的系统函数，它是s的有理函数；Ha(j)是滤波器的频率响应特性；|Ha(j)|是滤波器的幅度特性。,1、由幅度平方函数来确定系统函数,一、模拟滤波器设计思路与步骤,6.8常用模拟低通滤波器特性,Ha(s)Ha(-s)的极点、零点分布是成象限对称的，如图所示。,我们知道，任何实际可实现的滤波器都是稳定的，因此,其系统函数Ha(s)的极点一定落在s的左半平面，所以左半平面的极点一定属于Ha(s)，则右半平面的极点必属于Ha(-s)。Ha(s)Ha(-s)取一半的零点构成Ha(s)的零点。,6.8常用模拟低通滤波器特性,例：,解：,极点：,零点：（二阶）,零点：,的极点：,设增益常数为K0,寻找一个恰当的近似函数来逼近理想特性所谓逼近问题。最常用的具有优良性能的滤波器：巴特沃思(Butterworth)滤波器切比雪夫(Chebyshev)滤波器椭圆(elliptic)函数或考尔（Cauer）滤波器实现线性相位的贝塞尔滤波器,6.8常用模拟低通滤波器特性,(1)巴特沃思低通滤波器的幅度平方函数|Ha(j)|2用下式表示：,巴特沃思幅度特性和N的关系,二、巴特沃思低通滤波器的设计方法,6.8常用模拟低通滤波器特性,6.8常用模拟低通滤波器特性,将幅度平方函数|Ha(j)|2写成s的函数：,求极点sk，可用下式表示：,(2)幅度平方函数极点分布及Ha(s)的构成,6.8常用模拟低通滤波器特性,6.8常用模拟低通滤波器特性,为形成稳定的滤波器，2N个极点中只取s平面左半平面的N个极点构成Ha(s)，而右半平面的N个极点构成Ha(-s)。Ha(s)的表示式为,三阶巴特沃斯滤波器极点分布,设N=3，极点有6个，它们分别,取s平面左半平面的极点s0,s1,s2组成Ha(s)：,6.8常用模拟低通滤波器特性,由于各滤波器的幅频特性不同，为使设计统一，将所有的频率归一化。这里采用对3dB截止频率c归一化，归一化后的Ha(s)表示为式中，s/c=j/c。,(3)频率归一化,6.8常用模拟低通滤波器特性,令=/c，称为归一化频率；令p=j，p称为归一化复变量，这样归一化巴特沃斯的传输函数为,式中，pk为归一化极点，用下式表示：,归一化的传输函数系数Ha(p)的系数以及极点可以由下表得到。,6.8常用模拟低通滤波器特性,将极点表示式代入系统函数式，得到的Ha(p)的分母是p的N阶多项式，用下式表示：,巴特沃思归一化低通滤波器参数,6.8常用模拟低通滤波器特性,表6-6,6.8常用模拟低通滤波器特性,表6-4,6.8常用模拟低通滤波器特性,阶数N的大小主要影响幅度特性下降的速度，它应该由技术指标确定。将代入幅度平方函数中，再将幅度平方函数式代入得：,将=s代入式中，再将|Ha(js)|2代入式中得,(4)阶数N的确定,6.8常用模拟低通滤波器特性,令,，则N由下式表示：,6.8常用模拟低通滤波器特性,用上式求出的N可能有小数部分，应取大于等于N的最小整数。关于3dB截止频率c，如果技术指标中没有给出，可以按照求出,6.8常用模拟低通滤波器特性,低通巴特沃思滤波器的设计步骤如下：1、根据技术指标p,p,s和s，用求出滤波器的阶数N；2、按照，求出归一化极点pk，将pk代入式，得到归一化传输函数Ha(p)；3、将Ha(p)去归一化。将p=s/c代入Ha(p)，得到实际的滤波器传输函数Ha(s)。,6.8常用模拟低通滤波器特性,例1已知通带截止频率fp=5kHz，通带最大衰减2dB，阻带截止频率fs=12kHz，阻带最小衰减30dB，按照以上技术指标设计巴特沃思低通滤波器。解：,6.8常用模拟低通滤波器特性,(1)确定阶数N,(2)求极点,归一化传输函数为：,6.8常用模拟低通滤波器特性,上式分母可以展开成为五阶多项式，或者将共轭极点放在一起，形成因式分解形式。也可直接查表，由N=5，查表得到：极点：-0.3090j0.9511，-0.8090j0.5878；-1.0000,式中：b0=1.0000，b1=3.2361，b2=5.2361，b3=5.2361，b4=3.2361,6.8常用模拟低通滤波器特性,(3)为将Ha(p)去归一化，先求3dB截止频率c。,将p=s/c代入Ha(p)中得到：,6.8常用模拟低通滤波器特性,2）切贝雪夫滤波器（Chebyshev）,N：滤波器的阶数,Wc：截止频率，不一定为3dB带宽,0e1，表示通带波纹大小，e越大，波纹越大,CN(x)：N阶Chebyshev多项式,TypeIChebyshev,N为偶数,N为奇数,通带内：在1和间等波纹起伏,通带外：迅速单调下降趋向0,Chebyshev滤波器的三个参量：,Wc：通带截止频率，给定,e：表征通带内波纹大小,N：滤波器阶数，等于通带内最大最小值的总数,由通带衰减决定,阻带衰减越大所需阶数越高,Ws为阻带截止频率,3）幅度平方特性的极点分布：,4）滤波器的系统函数：,其中：,例：用双线性变换法设计Chebyshev数字低通滤波器，要求在频率低于0.2prad的通带内幅度特性下降小于1dB。在频率0.3p到p之间的阻带内，衰减大于15dB。,1）由数字滤波器的技术指标：,2）考虑预畸变，得模拟滤波器的技术指标：,a）确定参数,3）设计Chebyshev模拟低通滤波器,b)求左半平面极点,c)构造系统函数,c)去归一化,b)由N=4，直接查表得,或者：,4）将变换成Chebyshev数字滤波器：,设计的四阶Chebyshev滤波器,本章作业,P330/1(1)，3，8，11，17，26,题型说明,1.填空题（20分）2.判断体（10分，只判断是对还是错）3.选择题（10分）4.计算题和应用题（60分），课后作业题和讲解过的习题。,题型举例填空题,两个有限长序列x1(n)，0n33和x2(n)，0n36，做线性卷积后结果的长度是，若对这两个序列做64点圆周卷积，则圆周卷积结果中n=至为线性卷积结果。某序列的表达式为，由此可以看出，该序列时域的长度为，变换后数字频域上相邻两个频率样点之间的间隔是。,题型举例,3.请写出两种常用低通原型模拟滤波器、。1.相同的Z变换表达式一定对应相同的时间序列。（）2.Chirp-Z变换的频率采样点数M