1.1映射与函数(简)

第一章,微积分基础,函数,极限,研究对象,研究工具,函数与极限,微积分的主要包括：函数、极限、连续、导数（微分）、积分、级数,第一章,二、映射,三、函数,一、集合,第一节,映射与函数,元素a属于集合M,记作,元素a不属于集合M,记作,一、集合,1.定义及表示法,定义1.,具有某种特定性质的事物的总体称为集合.,组成集合的事物称为元素.,不含任何元素的集合称为空集,记作.,注:M为数集,表示M中排除0的集;,表示M中排除0与负数的集.,只含有限个元素的集合，称为有限集,不是有限集的集合，称为无限集,表元素.,表示法：,(1)列举法：,按某种方式列出集合中的全体元素.,例:,有限集合,自然数集,(2)描述法：,x所具有的特征,例:整数集合,或,有理数集,实数集合,x为有理数或无理数,开区间,闭区间,半开区间,上述区间,称为有限区间.a与b称为区间端点.,两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.,无限区间,负无穷大,正无穷大,点的邻域,其中,a称为邻域中心,称为邻域半径.,去心邻域,左邻域:,右邻域:,是B的子集,或称B包含A,2.集合之间的关系及运算,定义2.,则称A,若,且,则称A与B相等,例如,若,设有集合,记作,记作,必有,若,但,则称A是B的真子集,记作,显然有下列关系:,定义3.给定两个集合A,B,并集,交集,且,差集,且,定义下列运算:,余集,直积,特例:,为平面上的全体点集,或,全集or基本集,集合运算满足下列法则:,设A、B、C为任意三个集合，则,(1).交换律：,(2).结合律：,(3).分配律：,(4).对偶律：,证明略,二、映射,1.映射的概念,某校学生的集合,学号的集合,某班学生的集合,某教室座位的集合,引例1.,定义4.,设X,Y是两个非空集合,若存在一个对应规,则f,使得,有唯一确定的,与之对应,则,称f为从X到Y的映射,记作,元素y称为元素x在映射f下的像,记作,元素x称为元素y在映射f下的原像.,集合X称为映射f的定义域;,Y的子集,称为f的值域.,注意:,映射的三要素定义域,对应规则,值域.,任意,对映射,若,则称f为满射;,若,有,则称f为单射;,若f既是满射又是单射,则称f为双射或一一映射.,例1,如图所示,对应阴影部分的面积,则在数集,自身之间定义了一种映射,(满射),如图所示,则有,(满射),例2,2.逆映射与复合映射,(1)逆映射的定义,定义:,若映射,为单射,则存在一新映射,使,习惯上,的逆映射记成,其中,称此映射,为f的逆映射.,(2)复合映射,手电筒,D,引例.,复合映射,定义.,则当,由上述映射链可定义由D到Y的复,设有映射链,记作,合映射,时,或,构成复合映射的条件不可少,例4,映射链:,可定义复合映射,以上定义也可推广到多个映射的情形.,定义域,三、函数,1.函数的概念,定义4.设数集,则称映射,为定义在,D上的函数,记为,自变量,因变量,f(D)称为值域,(对应规则),(值域),(定义域),对应规律的表示方法:,解析法,、图象法,、列表法,自然定义域,使表达式及实际问题都有意义的自变量集合.,如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫与多值函数,值域,例5判别下列函数对是否相等：,（1）,（2）,相等,不相等,函数的两要素,定义域,对应关系,例6,反正弦主值,定义域,值域,函数图形:,例7,绝对值函数,定义域,值域,例8.已知函数,求,及,解:,函数无定义,并写出定义域及值域.,定义域,值域,分段函数,2.函数的几种特性,设函数,且有区间,(1)有界性,有,称,在I上有界.,有界,无界,否则,称,在I上无界.,说明:还可定义有上界、有下界,(见上册P11),使,若对任意正数M,均存在,则称f(x)在I上无界.,称为有上界,称为有下界,存在,例9,是有界的函数。,在,而在,内有界。,函数,无界，无上界.,(2)单调性,当,时,称,为I上的单调增函数;,称,为I上的单调减函数.,例函数,(3)奇偶性,且有,若,则称f(x)为偶函数;,若,则称f(x)为奇函数.,偶函数,奇函数,偶函数的图形是关于y轴对称；奇函数的图形是关于原点对称。,例如,偶函数,双曲余弦,记,说明:,在x=0有定义,为奇函数时,则当,必有,若,又如,奇函数,双曲正弦,记,再如,奇函数,双曲正切,记,例10设函数f(x)定义在,则f(x)可以表示成一个偶函数与一个奇函数之和。,易知,是一个偶函数，而,是一个奇函数，而且,命题为真。,解记,(4)周期性,且,则称,为周期函数,若,称l为周期,(一般指最小正周期).,周期为,周期为,例求y=cos4x的周期。,解函数的周期为,注:周期函数不一定存在最小正周期.,例如,常量函数,狄里克雷函数,x为有理数,x为无理数,例指出,的周期。(作为练习),3.反函数与复合函数,(1)反函数的概念及性质,若函数,为单射,则存在逆映射,习惯上,的反函数记成,称此映射,为f的反函数.,例11求的反函数。,解我们把原式变形成,即,2)函数,与其反函数,的图形关于直线,对称.,例如,对数函数,互为反函数,它们都单调递增,指数函数,其反函数,(减),(减).,1)yf(x)单调递增,且也单调递增,性质:,例如,函数,其反函数为,(2)复合函数,则,设有函数链,称为由,确定的复合函数,复合映射的特例,u称为中间变量.,注意:构成复合函数的条件,不可少.,外函数,内函数,例12,函数链:,但函数链,不能构成复合函数.,可定义复合函数,两个以上函数也可构成复合函数.,例如,可定义复合函数:,4.初等函数,(1)基本初等函数,幂函数、,指数函数、,对数函数、,三角函数、,反三角函数,1.幂函数,1.幂函数,2.指数函数,3.对数函数,4.三角函数,正弦函数,余弦函数,正切函数,余切函数,正割函数,余割函数,5.反三角函数,(2)初等函数,由常数及基本初等函数,否则称为非初等函数.,例如,并可用一个式子表示的函数,经过有限次四则运算和复合步,骤所构成,称为初等函数.,可表为,故为初等函数.,又如,双曲函数与反双曲函数也是初等函数.,(自学,P17P21),非初等函数举例:,符号函数,当x0,当x=0,当x0,取整函数,当,阶梯曲线,内容小结,1.集合及映射的概念,定义域对应规律,3.函数的特性,有界性,单调性,奇偶性,周期性,4.初等函数的结构,2.函数的定义及函数的二要素,作业