1.1集合映射与函数--1

1.什么是“工科数学分析”？它有哪些内容？,也称这门课程为微积分。,极限理论微积分的基础,函数,研究对象,微积分,研究内容,工科数学分析是区别于初等数学的高等数学,工科数学分析,由于高等数学的研究对象和研究方法与初等数学有很大的不同，因此高等数学呈现出以下显著特点：,概念更复杂,理论性更强,表达形式更加抽象,推理更加严谨,2.本课程的特点如何？,3.如何学好本课程？,一、调整学习心态，尽快适应大学学习环境是前提.做好以下几点：,1.学习要扎扎实实，切忌不求甚解；,2.勤学好问；,3.摆脱对老师和课堂的依赖心理.,二、不断改进学习方法，提高学习效果.,1.学会听课,2.做好预习和复习,-听思路、重点、难点，,获得整体认识而不是拘泥于细节,3.解题重视基本概念和原理的理解和掌握；适当参考一些书籍；,3.如何学好本课程？,对数学分析课程学习的建议和要求,1.课前预习-定义、定理、公式、疑点；,2.不迟到（提前5分钟），不早退；,3.认真听课，适量做笔记；,4.疑问及时记到本子上，合适时间提问；,5.课后及时复习，复习后做作业；,6.认真按时完成作业.,关于数学分析课程的作业、考试和成绩,考试,教考分离式,期末成绩,平时成绩15%,期末卷面85%,作业,写在16开散页纸上，抄题。作业记平时成绩，每次批1/4,做记录；,答疑,每周五下午2：00-4：00南1-217,第一章函数,极限,连续,第一节集合、映射与函数,二、实数的完备性与确界存在原理,一、集合,三、映射与函数,一、集合,aA如果a是集合A的元素,1.定义和表示法,集合具有某种特定性质的对象全体,记为A,B,C,。,元素组成这个集合的个别对象,记为a,b,c,注:A为数集,表示A中排除0的集;,表示A中排除0与负数的集.,空集不含任何元素的集合，记为。,有限集只有有限个元素的集合,无限集,1)定义,2）集合的表示法,(1)列举法：,按某种方式列出集合的全体元素,例：有限集,自然数集,(2)描述法：,x具有的性质,整数集,正整数集,子集,或称A包含于B,2.集合之间的关系及运算,则称A是B的,若,且,则称A与B相等,显然有下列关系:,若,设有集合,记作,记作,必有,例如,则称A是B的真子集.,记作,集合的运算：设A,B为两个集合，定义下列运算：,并集,交集,且,差集,余集,或,且,A,I,积集,特例:,为平面上的全体点集,集合的运算有下列运算法则：,交换律,幂等律,实数的完备性是极限理论的基础。,有理数：形如的数。,二、实数的完备性与确界存在原理,1.实数的完备性,有理数的特性：,对有理运算（,）的封闭性,稠密性,即任意两个有理数之间必存在一个有理数。,无理数：不能表成上述形式的数（或无限十进不循环小数）。如，等。,有理数与无理数统称为实数,实数布满了整个数轴，实数集与坐标轴上的所有点是一一对应的，实数集的这个特性称为实数的连续性,坐标轴(数轴):一条规定了原点和单位长度的有向直线。,有理点:,有理数在坐标轴上的对应点。,无理点:,有理点在坐标轴上是处处稠密的。,坐标轴上非有理点的点。,图中A点不是有理点，,或称实数的完备性。,有理数不能与坐标轴上的所有点一一对应，因此，有理数集是不完备的。,定义1.1（集合的有界性）,2.确界与确界存在定理,定义1.2（确界）,注：i),ii),定理1.1（确界存在定理）,反之不一定成立。,iii),三、映射与函数,1.映射,定义1,其中,y称为x在映射f下的像，x称为y在f下的原像；,A称为映射f的定义域，记作,A中所有元素x的像y的全体所构成的集合称为f的值域，记作,注意:,1)映射的要素定义域、对应法则,2)元素x的像y是唯一的,但y的原像不一定唯一.,映射的其它称谓：,-1,1,x,o,Grf,y,映射的图像：,定理1,映射的分类,恒等映射（单位映射）：,显然，恒等映射