数学建模实验报告

精选文库内江师范学院中学数学建模实 验 报 告 册编制 数学建模组 审定 牟廉明专业： 班级： 级 班学号： 姓名： 数学与信息科学学院2016年3月-说 明1. 学生在做实验之前必须要准备实验，主要包括预习与本次实验相关的理论知识，熟练与本次实验相关的软件操作，收集整理相关的实验参考资料，要求学生在做实验时能带上充足的参考资料；若准备不充分，则学生不得参加本次实验，不得书写实验报告；2. 要求学生要认真做实验，主要是指不得迟到、早退和旷课，在做实验过程中要严格遵守实验室规章制度，认真完成实验内容，极积主动地向实验教师提问等；若学生无故旷课，则本次实验成绩不合格；3. 学生要认真工整地书写实验报告，实验报告的内容要紧扣实验的要求和目的，不得抄袭他人的实验报告；4. 实验成绩评定分为优秀、合格、不合格，实验只是对学生的动手能力进行考核，跟据所做的的情况酌情给分。根据实验准备、实验态度、实验报告的书写、实验报告的内容进行综合评定。实验名称： 数学规划模型（实验一） 指导教师： 实验时数： 4 实验设备：安装了VC+、mathematica、matlab的计算机实验日期： 年 月 日 实验地点： 实验目的：掌握优化问题的建模思想和方法，熟悉优化问题的软件实现。实验准备：1在开始本实验之前，请回顾教科书的相关内容；2需要一台准备安装Windows XP Professional操作系统和装有数学软件的计算机。实验内容及要求原料钢管每根17米，客户需求4米50根，6米20根，8米15根，如何下料最节省？若客户增加需求：5米10根，由于采用不同切割模式太多，会增加生产和管理成本，规定切割模式不能超过3种，如何下料最节省？实验过程：摘要：生活中我们常常遇到对原材料进行加工、切割、裁剪的问题，将原材料加工成所需大小的过程,称为原料下料问题。按工艺要求,确定下料方案,使用料最省,或利润最大是典型的优化问题。以此次钢管下料问题我们采用数学中的线性规划模型.对模型进行了合理的理论证明和推导，然后借助于解决线性规划的专业软件Lingo 11.0对题目所提供的数据进行计算从而得出最优解。关键词：钢管下料、线性规划、最优解 问题一一、 问题分析：（1）我们要分析应该怎样去切割才能满足客户的需要而且又能使得所用原料比较少；（2）我们要去确定应该怎样去切割才是比较合理的，我们切割时要保证使用原料的较少的前提下又能保证浪费得比较少；（3）由题意我们易得一根长为17米的原料钢管可以分别切割成如下6种情况(如表一)：表一：切割模式表模式 4m钢管根数 6m钢管根数 8m钢管根数 余料/m 1 4 0 0 1 2 1 2 0 1 3 2 0 1 1 4 2 1 0 3 5 0 1 1 3 6 0 0 2 1 由表一分析可知，有两种方案满足题意且使得下料最节省：(1)钢管切割后材料剩余最少;(2)切割的原料钢管根数最少。二、 模型假设：令 表示运用第i种切割方案所切割的根数(i=1,.,6)三、 建立模型：(一) 所剩余量最少目标函数： Min Z1=约束条件： 模型求解：LingoMin=x1+x2+x3+3*x4+3*x5+x6 ;4*x1+x2+2*x3+2*x450;2*x2+x4+x520;x3+x5+2*x615;gin(x1);gin(x2);gin(x3);gin(x4);gin(x5);gin(x6);end实验结果：由Lingo运行结果分析可知：切割钢管最优解为:x1=10，x2=10;x6=8;x3=x4=x5=0；最优值为：x1+x2+x6=28.即按模式1切割10根,按模式2切割10根，按模式6切割8根，共28根，余料为28m。(二) 所用钢管数最少目标函数：约束条件：模型求解：LingoMin=x1+x2+x3+x4+x5+x6;4*x1+x2+2*x3+2*x450;2*x2+x4+x520;x3+x5+2*x615;gin(x1);gin(x2);gin(x3);gin(x4);gin(x5);gin(x6);endGlobal optimal solution found. Objective value: 28.00000 Objective bound: 28.00000 Infeasibilities: 0.000000 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 3 Variable Value Reduced Cost X1 10.00000 1.000000 X2 10.00000 1.000000 X3 0.000000 1.000000 X4 0.000000 1.000000 X5 0.000000 1.000000 X6 8.000000 1.000000 X7 0.000000 1.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 28.00000 -1.000000 2 0.000000 0.000000 3 0.000000 0.000000 4 1.000000 0.00000最优解为x1=10，x2=10;x6=8;其余为0；最优值为：28.即按方式1切割10根,按方式2切割10根，按方式6切割8根，共28根，余料28m。综上，我们可以分析若按最小切割钢管根数去切割，我们需要用到28根，若要求余量最少则也只需要切割28根，所以要使下料最省我们两种选择都是切割28根钢管。问题二一、 问题分析：（1）与问题1类似我们要分析应该怎样去切割才能满足客户的需要而且又能使得所用原料比较少；（2）由于客户对钢管的需求又增加了一种，且需求的最小尺寸为4米，所以要能合理切割那么余量就只能小于4米；（3）每根钢管使用量不得超过17米，但也必须超过14米；（4）要使下料最节省，如果我们还是得从所剩余量最少和所用根数最少的两种情况分析那出现的情况就不仅仅是像问题（1）中的6种了，因此我们就可简化该问题，对使用原料数量最少进行求解以便达到最佳切割模式，并使得余量相对较少；二、 建立模型：决策变量:用表示第i种模式（i=1,2,3）切割的原料钢管的根数，生产4米长、5米长、6米长、8米长的钢管数量分别设为。目标函数： 约束条件： s.t.又由提议可知，增加约束条件：原料钢管的总根数不可能少于为满足每种模式下的钢管需求量，有所以： 模型求解：Lingo，model:sets:needs/1.4/:length,num;cuts/1.3/:x;patterns(needs,cuts):r;endsetsdata:length=4 5 6 8;num=50 10 20 15;capacity=17;enddatamin=sum(cuts(i):x(i);for(needs(i):sum(cuts(j):x(j)*r(i,j)num(i);for(cuts(j):sum(needs(i):length(i)*r(i,j)capacity-min(needs:length);sum(cuts:x)26;sum(cuts:x)x(i+1);for(cuts:gin(x););for(patterns:gin(r););end运行结果： Local optimal solution found. Objective value: 30.00000 Objective bound: 30.00000 Infeasibilities: 0.000000 Extended solver steps: 176 Total solver iterations: 06027 Variable Value CAPACITY 17.00000 LENGTH( 1) 4.000000 LENGTH( 2) 5.000000 LENGTH( 3) 6.000000 LENGTH( 4) 8.000000 NUM( 1) 50.00000 NUM( 2) 10.00000 NUM( 3) 20.00000 NUM( 4) 15.00000 X( 1) 15.00000 X( 2) 10.00000 X( 3) 5.000000 R( 1, 1) 2.000000 R( 1, 2) 0.000000 R( 1, 3) 4.000000 R( 2, 1) 0.000000 R( 2, 2) 1.000000 R( 2, 3) 0.000000 R( 3, 1) 0.000000 R( 3, 2) 2.000000 R( 3, 3) 0.000000 R( 4, 1) 1.000000 R( 4, 2) 0.000000 R( 4, 3) 0.000000 Row Slack or Surplus 1 30.00000 2 0.000000 3 0.000000 4 0.000000 5 0.000000 6 1.000000 7 0.000000 8 1.000000 9 3.000000 10 4.000000 11 3.000000 12 4.000000 13 1.000000 14 5.000000 15 5.000000结果分析：方式1：每根原料切割成2根4米的和1根8米的钢管，共15根。方式2：每根原料切割成1根5米和2根6米钢管，共10根；方式3：每根原料切割成4根4米，共15根。总的根数为：15+10+5=30-实验总结（由学生填写）：通过本题实验进行分析思考以及实际操作，大致学会了如何使用lingo程序，如何运用lingo求解一般问题最优值的方法，以及如何用多种方法求解模型。 实验等级评定： 实验名称： 席位分配问题（实验二） 指导教师： 实验时数： 6 实验设备：安装了VC+、mathematica、matlab的计算机 实验日期： 年 月 日 实验地点： 实验目的：熟悉有分配问题的建立与计算，熟悉Matlab的相关命令。实验准备：1. 在开始本实验之前，请回顾教科书的相关内容；2. 需要一台准备安装Windows XP Professional操作系统和装有Matlab的计算机。实验内容及要求在现实生活中，经常出现席位分配的问题，人们常用的方法是比例分配法，请简要叙述比例分配法的原理，并举例说明在现实生活中可能出现的错误。请简要推导Q值方法，并用比例分配方法和Q值方法解决一个实际问题。实验过程：摘要：处理席位分配公平与否的问题需要我们联系生活，用比例分配法求出结果，但是在实际操作时，因为实际的现实因素，出现了问题。本次实验以公平分配为约束条件，首先通过比例分配法进行分配，使得结果不公平，推导出Q值分配方法，运用Q值方法进行分析和检验，得出了一套使得各系席位分配最公平的方案。关键词：席位公平分配、最佳、最公平、Q值方法一、 提出问题：三个系学生共200名（甲系100，乙系60，丙系40），代表会议共20席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。现因学生转系，三系人数为103, 63, 34, 问20席如何分配。若增加为21席，又如何分配。二、 问题分析：按照比例加惯例：（可以得到下列数据）表二： 比例分配结果系别学生人数比例（%）20席的分配21席的分配比例结果比例结果甲10351.510.31010.81511乙6331.56.366.6157丙3417.03.443.5703总和200100.0202021.00021根据表中数据，我们可以看到虽然只增加了一个席位，但是丙却少了一个席位，而甲与乙却多了一个席位。这样对丙系公平吗？三、 提出假设：公平分配方案： 人数 席位 A方 p1 n1 B方 p2 n2 衡量公平分配的数量指标： 当p1/n1= p2/n2 时，分配公平 若p1/n1 p2/n2，则对A不公平 四、 建立模型： 令p1/n1 p2/n2为对A的绝对不公平度：例如：（1）p1=150, n1=10, p1/n1=15 （2）p1=1050, n1=10, p1/n1=105 p2=1000, n2=10, p2/n2=100 p2=100, n2=10, p2/n2=10 对于（1）有 p1/n1 p2/n2=5 对于（2）有 p1/n1 p2/n2=5虽然二者的绝对不公平度相同，但后者对A的不公平程度已大大降低。 因此：将绝对度量改为相对度量首先我们定义 为对A的相对不公平度类似地定义而公平分配的方案应使 ,尽量小 将一次性的席位分配转化为动态的席位分配, 即设A, B已分别有n1, n2 席，若增加1席，问应分给A, 还是B不妨设分配开始时 p1/n1 p2/n2 ，即对A不公平 应讨论以下几种情况初始 p1/n1 p2/n2 1）若 p1/(n1+1) p2/n2 ，则这席应给 A2）若 p1/(n1+1) p2/(n2+1)，应计算rA(n1, n2+1) 问题：p1/n1p2/(n2+1)这种情况是否会出现？不可能。因为本来对A就不公平，把多的一个席位给B以后，对A应该更加不公平了，因此不会出现p1/n1p2/(n2+1)。 1）若 rB(n1+1, n2) rA(n1,