2016年2017学年广东省实验中学高一上期末数学试卷.doc

2016-2017学年广东省实验中学高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题12小题，每小题5分，满分60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）函数f（x）=log（2x1）的定义域是（）A（，+）B（，1）（1，+）C（，+）D（，1）（1，+）2（5分）直线x+2ay1=0与（a1）xay+1=0平行，则a的值为（）AB或0C0D2或03（5分）设f（x）是定义在R上单调递减的奇函数，若x1+x20，x2+x30，x3+x10，则（）Af（x1）+f（x2）+f（x3）0Bf（x1）+f（x2）+f（x3）0Cf（x1）+f（x2）+f（x3）=0Df（x1）+f（x2）f（x3）4（5分）如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面图形的面积为（）Aa2Ba2C2a2D2a25（5分）设、为三个不同的平面，m、n是两条不同的直线，在命题“=m，n，且_，则mn”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题，n；m，n；n，m可以填入的条件有（）A或B或C或D或或6（5分）已知一空间几何体的三视图如题图所示，其中正视图与左视图都是全等的等腰梯形，则该几何体的体积为（）A17BCD187（5分）如图，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q为A1B1上任意一点，E、F为CD上两点，且EF的长为定值，则下面四个值中不是定值的是（）A点P到平面QEF的距离B直线PQ与平面PEF所成的角C三棱锥PQEF的体积DQEF的面积8（5分）如图，在三棱锥PABC中，APB=BPC=APC=90，O在ABC内，OPC=45，OPA=60，则OPB的余弦值为（）ABCD9（5分）已知函数+2，则关于x的不等式f（3x+1）+f（x）4的解集为（）A（，+）B（，+）C（，+）D（，+）10（5分）当0x时，4xlogax，则a的取值范围是（）A（0，）B（，1）C（1，）D（，2）11（5分）已知函数f（x）=x2+ex（x0）与g（x）=x2+ln（x+a）图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（）A（，）B（，）C（，）D（，）12（5分）若x1满足2x+2x=5，x2满足2x+2log2（x1）=5，x1+x2=（）AB3CD4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）已知函数f（x）=（a0），若x1+x2=1，则f（x1）+f（x2）= ，并求出= 14（5分）如图所示几何体的三视图，则该几何体的表面积为 15（5分）点M（x1，y1）在函数y=2x+8的图象上，当x12，5时，则的取值范围16（5分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，ADPD，BC=1，PC=2，PD=CD=2，则二面角APBC的正切值为 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（12分）过点（3，2）的直线l与x轴的正半轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点，当AOB的面积最小时，求直线l的方程及AOB面积18（12分）已知一四棱锥PABCD的三视图如图所示，E是侧棱PC上的动点（）求四棱锥PABCD的体积（）若点E为PC的中点，ACBD=O，求证：EO平面PAD；（）是否不论点E在何位置，都有BDAE？证明你的结论19（10分）设直线l的方程为（a+1）x+y+2a=0（aR）（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；（2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围20（12分）如图，在棱长为1的正方体中，P是侧棱CC1上的一点，CP=m（1）试确定m，使直线AP与平面BDD1B1所成角的正切值为；（2）在线段A1C1上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP，并证明你的结论21（12分）已知平行四边形ABCD（如图1），AB=4，AD=2，DAB=60，E为AB的中点，把三角形ADE沿DE折起至A1DE位置，使得A1C=4，F是线段A1C的中点（如图2）（1）求证：BF面A1DE；（2）求证：面A1DE面DEBC；（3）求二面角A1DCE的正切值22（12分）已知函数g（x）=ax22ax+1+b（a0，b1），在区间2，3上有最大值4，最小值1，设f（x）=（1）求a，b的值；（2）不等式f（2x）k2x0在x1，1上恒成立，求实数k的取值范围；（3）方程f（|2x1|）+k（3）有三个不同的实数解，求实数k的取值范围2016-2017学年广东省实验中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题12小题，每小题5分，满分60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）函数f（x）=log（2x1）的定义域是（）A（，+）B（，1）（1，+）C（，+）D（，1）（1，+）【解答】解：由，解得x且x1函数f（x）=log（2x1）的定义域是（，1）（1，+）故选：B2（5分）直线x+2ay1=0与（a1）xay+1=0平行，则a的值为（）AB或0C0D2或0【解答】解：当a=0时，两直线重合；当a0时，由，解得 a=，综合可得，a=，故选：A3（5分）设f（x）是定义在R上单调递减的奇函数，若x1+x20，x2+x30，x3+x10，则（）Af（x1）+f（x2）+f（x3）0Bf（x1）+f（x2）+f（x3）0Cf（x1）+f（x2）+f（x3）=0Df（x1）+f（x2）f（x3）【解答】解：x1+x20，x2+x30，x3+x10，x1x2，x2x3，x3x1，又f（x）是定义在R上单调递减的奇函数，f（x1）f（x2）=f（x2），f（x2）f（x3）=f（x3），f（x3）f（x1）=f（x1），f（x1）+f（x2）0，f（x2）+f（x3）0，f（x3）+f（x1）0，三式相加整理得f（x1）+f（x2）+f（x3）0故选B4（5分）如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面图形的面积为（）Aa2Ba2C2a2D2a2【解答】解：由斜二测画法的规则知与x轴平行的线段其长度不变以及与横轴平行的性质不变，正方形对角线在y轴上，可求得其长度为a，故在平面图中其在y轴上，且其长度变为原来的2倍，长度为2a，原平面图形的面积为=故选：C5（5分）设、为三个不同的平面，m、n是两条不同的直线，在命题“=m，n，且_，则mn”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题，n；m，n；n，m可以填入的条件有（）A或B或C或D或或【解答】解：由面面平行的性质定理可知，正确；当n，m时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以平行，正确故选A6（5分）已知一空间几何体的三视图如题图所示，其中正视图与左视图都是全等的等腰梯形，则该几何体的体积为（）A17BCD18【解答】解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个四棱台切去一个三棱锥所得的几何体，棱台的上下底面的棱长为2和4，故棱台的上下底面的面积为4和16，侧高为，故棱台的高h=2，故棱台的体积为：=，棱锥的底面是棱台上底面的一半，故底面面积为2，高为2，故棱锥的体积为：22=，故组合体的体积V=，故选：B7（5分）如图，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q为A1B1上任意一点，E、F为CD上两点，且EF的长为定值，则下面四个值中不是定值的是（）A点P到平面QEF的距离B直线PQ与平面PEF所成的角C三棱锥PQEF的体积DQEF的面积【解答】解：A平面QEF即为对角面A1B1CD，点P为A1D1的中点，点P到平面QEF即到对角面A1B1CD的距离=为定值；D点Q到直线CD的距离是定值a，|EF|为定值，QEF的面积=为定值；C由AD可知：三棱锥PQEF的体积为定值；B直线PQ与平面PEF所成的角与点Q的位置有关系，因此不是定值，或用排除法即可得出综上可得：只有B中的值不是定值故选：B8（5分）如图，在三棱锥PABC中，APB=BPC=APC=90，O在ABC内，OPC=45，OPA=60，则OPB的余弦值为（）ABCD【解答】解：已知如图所示：过O做平面PBA的垂线，交平面PBC于Q，连接PQ则OPQ=9045=45cosOPA=cosQPAcosOPQ，cosQPA=，QPA=45，QPB=45cosOPB=cosOPQcosQPB=故选C9（5分）已知函数+2，则关于x的不等式f（3x+1）+f（x）4的解集为（）A（，+）B（，+）C（，+）D（，+）【解答】解：设g（x）=2016x+log2016（ +x）2016x，g（x）=2016x+log2016（ +x）2016x+=g（x）；g（x）=2016xln2016+2016xln20160；g（x）在R上单调递增；由f（3x+1）+f（x）4得，g（3x+1）+2+g（x）+24；g（3x+1）g（x）；3x+1x；解得x；原不等式的解集为（，+）故选：D10（5分）当0x时，4xlogax，则a的取值范围是（）A（0，）B（，1）C（1，）D（，2）【解答】解：0x时，14x2要使4xlogax，由对数函数的性质可得0a1，数形结合可知只需2logax，即对0x时恒成立解得a1故选 B11（5分）已知函数f（x）=x2+ex（x0）与g（x）=x2+ln（x+a）图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（）A（，）B（，）C（，）D（，）【解答】解：由题意，存在x0，使f（x）g（x）=0，即exln（x+a）=0在（，0）上有解，令m（x）=exln（x+a），则m（x）=exln（x+a）在其定义域上是增函数，且x时，m（x）0，若a0时，xa时，m（x）0，故exln（x+a）=0在（，0）上有解，若a0时，则exln（x+a）=0在（，0）上有解可化为e0ln（a）0，即lna，故0a综上所述，a（，）故选：C12（5分）若x1满足2x+2x=5，x2满足2x+2log2（x1）=5，x1+x2=（）AB3CD4【解答】解：由题意2x2+2log2（x21）=5 所以，x1=log2（52x1） 即2x1=2log2（52x1）令2x1=72t，代入上式得72t=2log2（2t2）=2+2log2（t1）52t=2log2（t1）与式比较得t=x2于是2x1=72x2即x1+x2=故选C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）已知函数f（x）=（a0），若x1+x2=1，则f（x1）+f（x2）=1，并求出=【解答】解：函数f（x）=（a0），x1+x2=1，f（x1）+f（x2）=f（x1）+f（1x1）=+=+=1，=1007+f（）=1007+=故答案为：1，14（5分）如图所示几何体的三视图，则该几何体的表面积为16+2【解答】解：由已知中的三视图，可得该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，其直观图如下图所示：E和F分别是AB和CD中点，作EMAD，连接PM，且PD=PC，由三视图得，PE底面ABCD，AB=4，CD=2，PEEF=2在直角三角形PEF中，PF=2，在直角三角形DEF中，DE=，同理在直角梯形ADEF中，AD=，根据AED的面积相等得，ADME=AEEF，解得ME=，PE底面ABCD，EMAD，PMAD，PEME，在直角三角形PME中，PM=，该四棱锥的表面积S=（4+2）2+42+22+2=16+2故答案为：16+215（5分）点M（x1，y1）在函数y=2x+8的图象上，当x12，5时，则的取值范围【解答】解：当x12，5时，可得A（2，4），B（5，2）设P（1，1），则kPA=，kPB=，的取值范围是16（5分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，ADPD，BC=1，PC=2，PD=CD=2，则二面角APBC的正切值为【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，过D作平面ABCD的垂直线为z轴，建立空间直角坐标系，在PDC中，由于PD=CD=2，PC=2，可得PCD=30，P到平面ABCD的距离为PCsin30=A（1，0，0），P（0，1，），B（1，2，0），C（0，2，0），=（1，1，），=（1，3，），=（0，3，），设平面PAB的法向量=（x，y，z），则，取z=1，得=（），设平面PBC的法向量=（a，b，c），则，取c=，得=（2，1，），设二面角APBC的平面角为，则cos=，sin=，tan=二面角APBC的正切值为故答案为：三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（12分）过点（3，2）的直线l与x轴的正半轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点，当AOB的面积最小时，求直线l的方程及AOB面积【解答】解：设A（a，0），B（0，b），则直线l的方程为：+=1把点P（3，2）代入可得：+=1（a，b0）12，化为ab24，当且仅当a=6，b=4时取等号SAOB=ab12，l的方程为：+=1，即4x+6y24=018（12分）已知一四棱锥PABCD的三视图如图所示，E是侧棱PC上的动点（）求四棱锥PABCD的体积（）若点E为PC的中点，ACBD=O，求证：EO平面PAD；（）是否不论点E在何位置，都有BDAE？证明你的结论【解答】（）解：由该四棱锥的三视图可知，该四棱锥PABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PC底面ABCD，且PC=2（1分）VPABCD=SABCDPC=（3分）（）证明：E、O分别为PC、BD中点EOPA，（4分）又EO平面PAD，PA平面PAD（6分）EO平面PAD（7分）（）不论点E在何位置，都有BDAE，（8分）证明如下：ABCD是正方形，BDAC，（9分）PC底面ABCD且BD平面ABCD，BDPC，（10分）又ACPC=C，BD平面PAC，（11分）不论点E在何位置，都有AE平面PAC，不论点E在何位置，都有BDAE（12分）19（10分）设直线l的方程为（a+1）x+y+2a=0（aR）（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；（2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围【解答】解：（1）令x=0，得y=a2 令y=0，得（a1）l在两坐标轴上的截距相等，解之，得a=2或a=0所求的直线l方程为3x+y=0或x+y+2=0（2）直线l的方程可化为 y=（a+1）x+a2l不过第二象限，a1a的取值范围为（，120（12分）如图，在棱长为1的正方体中，P是侧棱CC1上的一点，CP=m（1）试确定m，使直线AP与平面BDD1B1所成角的正切值为；（2）在线段A1C1上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP，并证明你的结论【解答】解：（1）连AC，设AC与BD相交于点O，AP与平面BDD1B1相交于点G，连接OG，因为PC平面BDD1B1，平面BDD1B1平面APC=OG，故OGPC，所以，OG=PC=又AOBD，AOBB1，所以AO平面BDD1B1，故AGO是AP与平面BDD1B1所成的角在RtAOG中，tanAGO=，即m=所以，当m=时，直线AP与平面BDD1B1所成的角的正切值为4（2）可以推测，点Q应当是AICI的中点，当是中点时因为D1O1A1C1，且 D1O1A1A，A1C1A1A=A1，所以 D1O1平面ACC1A1，又AP平面ACC1A1，故 D1O1AP那么根据三垂线定理知，D1O1在平面APD1的射影与AP垂直21（12分）已知平行四边形ABCD（如图1），AB=4，AD=2，DAB=60，E为AB的中点，把三角形ADE沿DE折起至A1DE位置，使得A1C=4，F是线段A1C的中点（如图2）（1）求证：BF面A1DE；（2）求证：面A1DE面DEBC；（3）求二面角A1DCE的正切值【解答】解：（1）证明：如图，取DA1的中点G，连FG，GE；F为A1C中点；GFDC，且；四边形BFGE是平行四边形；BFEG，EG平面A1DE，BF平面A1DE；BF平面A1DE；（2）证明：如图，取DE的中点H，连接A1H，CH；AB=4，AD=2，DAB=60，E为AB的中点；DAE为等边三角形，即折叠后DA1E也为等边三角形；A1HDE，且；在DHC中，DH=1，DC=4，HDC=60；根据余弦定理