2013函数的值域1

中牟一高,函数的值域,求值域的方法,一.观察法二.配方法三.分离常数法四.单调性法五.数形结合法六.换元法七.变量分离法八.判别式法九.重要不等式法十.导数法,一、求函数值域的方法：,1观察法适合于基本初等函数,2.配方法，二次函数、,3.分离常数法,4单调性法当函数在某个区间D的单调性可以判断.借助函数的单调性求函数的值域，,（2）求函数的值域。,（3）求函数的值域。,（1）求函数y=2x3+的值域。,5.数形结合法当可以画出函数的图像时，常借助函数的图像求函数的值域。函数解析式具有明显的某种几何意义时（如两点的距离、直线斜率），借助其几何意义，数形结合常可以快速、巧妙求解。，,2.求函数y=|2x+1|+|x2|的值域,解：y=|2x+1|+|x2|,如图所示，,3求函数y=x2-2x+10+x2+6x+13的值域。,分析：本题求函数的值域可用解析几何与数形结合法解之。,A1(1,-3),将上式可看成为x轴上点P(x,0)与A(1,3),B(-3,2)的距离之和。即在x轴上求作一点P与两定点A,B的距离之和的最值，利用解析几何的方法可求其最小值。,如图，可求A关于x轴对称点A1(1,-3)连结A1B交x轴y于P,则P(x,0)为所求，可证明,所以原函数值域的为y41,+).,例11已知圆C：x2-4x+y2+1=0上任意一点P（x,y),求的最大值与最小值。,分析：即求圆上的点P(x,y)到原点(0,0)的斜率的最值，可利用数形结合法求解。,6换元法通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，尤其是复合函数，或函数解析式含有根式、指数或三角函数，,分析：求复合函数的值域，一般是采用换元法先求出内层函数的值域作为外层函数的定义域，然后求原函数的值域，要特别注意内层函数的定义域的取值范围。,(2)令u=-x2+2x+1=-(x-1)2+22,且u0,因y=log1/2u在（0，2上为减函数，故原函数值域的为y-1,+)。,（1）的值域为_,3，+),（2）的值域为。,（3）的值域为。,7.变量分离法：如果一个式子中含有两个变量，则两个变量既相互联系又相互制约，常可以由一个变量的范围求另一个变量的范围。在函数的解析式中，用y表示x（或者另一个变化的部分），即把自变量x从解析式中分离出来，由x的范围建立关于y的不等式，解不等式既得到函数的值域。,例3求函数的值域.,解：变形可得,（2）求函数的值域。,(0，1),（1）求函数的值域。,例10求函数的值域。,解：将原函数化为sinx+ycosx=2y,8判别式法把解析式中的x看作未知数、y看作参数，函数的解析式就是一个含有参数的方程，求函数的值域问题，就转化为已知方程的解求参数范围的问题了，（这就是利用方程的思想解决函数问题）。特别是当解析式可以整理成为一个关于x的二次方程，且x的范围是全体实数时，常利用二次方程根的判别式来建立不等式，从而求的y的范围。但这类题型有时也可以用其它方法进行求解，不必拘泥在判别式法上，例如可先通过变形分式后，再利用均值不等式,型，可用判别式法，也可用均值不等式,例：求的值域.,型，通常用判别法；,9重要不等式法,分析：,型，可用均值不等式,例：求的值域.,型，可用均值不等式；,例1:求函数y=x4-2x2+5在区间-2,2上的最大值与最小值.,解:,令,解得x=-1,0,1.,当x变化时,的变化情况如下表:,从上表可知,最大值是13,最小值是4.,10导数法一般适用于高次多项式函数,（2）将的解对应的函数值f(x)与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值,（1）在(a,b)内解方程,但不需要判断是否是极值点,更不需要判断是极大值还是极小值；,例题讲解,例1求函数在区间上的最大值与最小值,解：,从上表可知，最大值是13，最小值是4,当x变化时，的变化情况如下表：,13,4,5,4,13,2,(1,2),1,(0,1),0,(-1,0),-1,(-2,-1),-2,+,0,0,+,0,例题讲解,所求最大值是13，最小值是4,例1求函数在区间上的最大值与最小值,又,（2）将的解对应的函数值f(x)与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值,（1）在(a,b)内解方程,求上的连续函数的最大值与最小值的简化步骤:,课堂练习,求下列函数在所给的区间上的最大值与最小值.,求值域的方法,一.观察法二.单调性法三.换元法四.变量分离法五.数形结合法六.判别式法七.重要不等式法八.导数法,函数的值域是由函数的定义域和表达式共同决定的.,所以求函数的值域要先确定定义域,然后再根据定义域和表达式选择合理的方法。,不同的函数,由于其结构特征不同,求值域的思路不同.,一.一元二次函数y=ax2+bx+cy=ag2(x)+bg(x)+c,二.高次多项式函数，y=ax3+bx2+cx+d,四.一次分式函数,五.二次分式函数,六.根式函数(无理函数),八.二元函数(多元函数),七.分段函数,y=,y=,三.对勾函数,例:若函数y=x23x4的定义域为0,m.值域为,则m的取值范围是.,一.一元二次函数,方法:配方单调性，数形结合，,求二次函数f(x)=x22x+3在区间t,t+1的最大值和最小值,二.高次多项式函数,方法:导数、单调性、,最大值f(1)=3，最小值f(3)=61,三.对勾函数,四.一次分式函数,方法:变量分离法、分离常数法、图象、单调性,采用“分离常数法”求解，即将原分式分解成两项，其中一项为常数，另一项容易求出值域,方法：数形结合法变量分离法分离常数法,三角形中的一次分式,方法:换元法，判别式法，均值定理法，,五.二次(高次)分式函数,六.根式函数(无理函数),方法:换元法平方法，单调性，数形结合导数法不等式,3求函数y=x2-2x+10+x2+6x+13的值域。,分析：本题求函数的值域可用解析几何与数形结合法解之。,A1(1,-3),将上式可看成为x轴上点P(x,0)与A(1,3),B(-3,2)的距离之和。即在x轴上求作一点P与两定点A,B的距离之和的最值，利用解析几何的方法可求其最小值。,如图，可求A关于x轴对称点A1(1,-3)连结A1B交x轴y于P,则P(x,0)为所求，可证明,所以原函数值域的为y41,+).,6求函数y=x2-2x+10+x2+6x+13的值域。,分析：本题求函数的值域可用解析几何与数形结合法解之。,A1(1,-3),将上式可看成为x轴上点P(x,0)与A(1,3),B(-3,2)的距离之和。即在x轴上求作一点P与两定点A,B的距离之和的最值，利用解析几何的方法可求其最小值。,如图，可求A关于x轴对称点A1(1,-3)连结A1B交x轴y于P,则P(x,0)为所求，可证明,所以原函数值域的为y41,+).,七.分段函数的值域,方法是分段求值域后求并集，图象法，,2.求函数y=|2x+1|+|x2|的值域,解：y=|2x+1|+|x2|,如图所示，,方法:消元换