411圆的标准方程

4.1.1圆的标准方程,1.圆的标准方程：,问题：在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？,当圆心位置与半径大小确定后，圆就唯一确定了。因此，确定一个圆最基本要素是圆心和半径。,如图，在直角坐标系中，圆心（点）的位置用坐标表示，半径的大小等于圆上任意点与圆心的距离，圆心为的圆就是集合,由两点间的距离公式，点的坐标适合的条件可以表示为：,式两边平方，得：,(1),若点在圆上，由上述讨论可知，点的坐标适合方程(1)（纯粹性）；,若点的坐标适合方程(1)，这说明点与圆心的距离为，即点在圆心为的圆上（完备性）。,总结：,注：由圆的标准方程，可直接得到圆心和半径；给出圆心和半径，也可直接写出圆的标准方程。,练习：,1.圆的圆心为（）,2.圆的半径为（）,例1：写出圆心为，半径长等于5的圆的方程，并判断点是否在这个圆上。,解：圆心是，半径长等于5的圆的标准方程是：,把点的坐标代入方程，左右两边相等，点的坐标适合圆的方程，所以点在这个圆上；,把点的坐标代入方程，左右两边不相等，点的坐标不适合圆的方程，所以点不在这个圆上（如图所示）。,2.特殊位置的圆的标准方程：,圆过原点,圆心在轴上,圆心在轴上,圆心在原点,3.点与圆的位置关系：,圆，其圆心为，半径为，点，设,与的大小,点的坐标的特点,点在圆外,点在圆上,点在圆内,练习：,圆，点在圆内部，且，则有（）,例2：的三个顶点的坐标分别是，求它的外接圆的方程。,解：设所求圆的方程是,都在圆上,它们的坐标都满足方程,故,解此方程组，得：,的外接圆的方程是,总结：求圆的标准方程的方法：,1.直接法：直接求出圆心坐标和半径。,2.待定系数法，步骤是：,(1)设圆的标准方程为；,(2)由条件列出方程（组）解得的值；,(3)写出圆的标准方程。,例3：已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上，求圆心为的圆的标准方程。,解：,线段的中点的坐标为，直线的斜率：,线段的垂直平分线的方程是：,即,圆心的坐标是方程组的解,解此方程组，得,圆心的坐标是,圆心为的圆的半径长,圆心为的圆的标准方程是,总结：求圆的标准方程时常用的几何性质：,求圆的标准方程，关键是确定圆心坐标和半径，为此常用到圆的以下几何性质：,1.弦的垂直平分线必过圆心。,2.圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心。,3.圆心与切点的连线长是半径长。,4.圆心与切点的连线必与切线垂直。,例4：点在圆的内部，求的取值范围。,解：由题意可知，,即：,解得：,的取值范围是,总结：判断点与圆位置关系的两种方法：,1.几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小。,2.代数法：主要是把点的坐标代入圆的标准方程来判断：,点在圆上,点在圆内,点在圆外,例5：已知圆和直线，求圆关于直线对称的圆的方程。,解：圆的圆心为，半径为1，设所求圆的圆心为，半径为1.,由题知点与点关于直线对称，则有：,解得,则所求圆的方程为,例6：已知的三个顶点分别为，求它的外接圆的方程。,解：线段的中垂线为,线段的中垂线为，则圆心为,半径,故所求圆的方程为,例7：求以直线与两坐标