三角函数、数列、导数试题及详解.doc

三角函数、数列导数测试题及详解一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的1已知点A（-1，1），点B（2，y），向量a=（l，2），若，则实数y的值为 A5 B6 C7 D82已知等比数列则前9项之和等于 A50 B70 C80 D903是 A最小正周期为2的偶函数 B最小正周期为2的奇函数 C最小正周期为的偶函数 D最小正周期为的奇函数4在右图的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，那么x+y+z的值为 A1 B2 C3 D45已知各项均不为零的数列，定义向量，下列命题中真命题是A若成立，则数列是等差数列B若成立，则数列是等比数列C若成立，则数列是等差数列D若成立，则数列是等比数列6若sin2x、sinx分别是sin与cos的等差中项和等比中项，则cos2x的值为 ABCD7如图是函数的图象的一部分，A，B是图象上的一个最高点和一个最低点，O为坐标原点，则的值为ABCD8已知函数有两个不同的零点x1，x2，且方程有两个不同的实根x3，x4若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m的值为 ABCD9设函数f（x） =ex（sinxcosx），若0x2012，则函数f（x）的各极大值之和为 A B C D 10设函数为坐标原点，A为函数图象上横坐标为 的点，向量的夹角，满足的最大整数n是 A2 B3 C4 D5二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分请将答案填在答题卡对应题号的位置上，题两空的题，其答案按先后次序填写，填错位置，书写不清，模棱两可均不得分11设的值为 12已知曲线交于点P，若设曲线y=f（x）在点P处的切线与x轴交点的横坐标为的值为_13已知且x，y为锐角，则tan（x -y）= 14如图放置的正方形ABCD，AB =1A，D分别在x轴、y轴的正半轴（含原点）上滑动，则的最大值是_15由下面四个图形中的点数分别给出了四个数列的前四项，将每个图形的层数增加可得到这四个数列的后继项，按图中多边形的边数依次称这些数列为“三角形数列”、“四边形数列”，将构图边数增加到n可得到“n边形数列”，记它的第r项为P（n，r），则（1）使得P（3，r）36的最小r的取值是 ； （2）试推导P（n，r）关于，n、r的解析式是_三、解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16（本小题满分12分）已知，O为坐标原点，设 （I）若，写出函数的单调速增区间； （）若函数y=f（x）的定义域为，值域为2，5，求实数a与b的值，17（本小题满分12分）如图，某测量人员，为了测量西江北岸不能到达的两点A，B之间的距离，她在西江南岸找到一个点C，从C点可以观察到点A，B；找到一个点D,从D点可以观察到点A，C；到一个点E，从E点可以观察到点B，C；并测量得到数据：ACD=90,ADC= 60,ACB =15，BCE =105，CEB =45，DC=CE =1（百米） （I）求CDE的面积； （）求A，B之间的距离18（本小题满分12分） 国家助学贷款是由财政贴息的信用贷款，旨在帮助高校家庭经济困难学生支付在校学习期间所需的学费、住宿费及生活费每一年度申请总额不超过6000元某大学2010届毕业生李顺在本科期间共申请了24000元助学贷款，并承诺在毕业后3年内（按36个月计）全部还清 签约的单位提供的工资标准为第一年内每月1500元，第13个月开始，每月工资比前一个月增加5%直到4000元李顺同学计划前12个月每个月还款额为500元，第13个月开始，每月还款额比前一月多x元 （I）若李顺恰好在第36个月（即毕业后三年）还清贷款，求x的值； （II）当x=50时，李顺同学将在第几个月还清最后一笔贷款？他还清贷款的那一个月的工资余额是多少？ （参考数据：1.0518 =2.406,1.0519=2.526，1.0520 =2.653，1.0521=2.786）19（本小题满分12分）已知函数 （I）当的值域； （II）设恒成立，求实数a的取值范围20（本小题满分13分）已知 （I）求证：数列an，-1）是等比数列； （）当n取何值时，bn取最大值，并求出最大值； （）若恒成立，求实数t的取值范围21（本小题满分14分）设曲线C：导函数 （I）求函数f（x）的极值； （）数列an满足求证：数列an中不存在成等差数列的三项； （）对于曲线C上的不同两点A（x1，y1），B （x2，y2），x1x2，求证：存在唯一的，使直线AB的斜率等于参考答案一、选择题：1【考点分析】本题主要考查平面向量的运算和向量平行充要条件的基本运用【参考答案】C【解题思路】（3，y1），a，y72 【考点分析】本题主要考查等比数列的基本运算性质【参考答案】B【解题思路】，=10，即=703【考点分析】本题考查三角函数的性质和同角三角函数的基本关系式的运用，考查基本运算能力【参考答案】D 【解题思路】，所以函数是最小正周期为的奇函数。4【考点分析】本题考查了等差数列和等比数列的通项公式，考查观察分析和运算能力【参考答案】B【解题思路】第一行是以2为首项，以 1为公差的等差数列，第一列是以2为首项，并且每一列都是以由为公比的等比数列，由等差数列和等比数列的通项公式可求得，所以它们的和等于2，故选B。5【考点分析】本题考查了等差数列和等比数列的判定，以及平行向量和垂直向量的基本结论【参考答案】A【解题思路】：由，可得，nan+1=（n+1）an，即，于是an=na1，故选A6【考点分析】本题考查等差中项和等比中项的定义以及三角变换，考查方程思想和运算能力【参考答案】A【解题思路】依题意有，由2-2得，解得。又由，得，所以不合题意。故选A。7【考点分析】本题主要考查正弦函数的图像与性质以及数量积的坐标表示，数形结合思想【参考答案】C【解题思路】由图知，T， 2，ysin（2x），将点的坐标代入得sin0， ，A，B，1，故选C8【考点分析】本题主要考查函数的零点和等差数列的定义，考查数形结合思想【参考答案】D【解题思路】设两个根依次为而函数的零点为,则由图象可得: 可求9【考点分析】本题主要考查利用导数研究函数的极值以及等比数列的求和【参考答案】B【解题思路】函数f（x）=ex（sinx-cosx），f（x）=（ex）（sinx-cosx）+ex（sinx-cosx）=2exsinx，x（2k，2k+）时，f（x）0，x（2k+，2k+2）时，f（x）0，x（2k，2k+）时原函数递增，x（2k+，2k+2）时，函数f（x）=ex（sinx-cosx）递减，故当x=2k+时，f（x）取极大值，其极大值为f（2k+）=e2k+sin（2k+）-cos（2k+）=e2k+（0-（-1）=e2k+，又0x2012，函数f（x）的各极大值之和S=e+e3+e5+e2011=故选B10【考点分析】本题考查函数、数列与向量的综合应用，考查向量的夹角公式的运算及正切函数的定义【参考答案】B 【解题思路】由题意知An=（n，f（n），则n为直线A0An的倾斜角，所以tann=，所以tan1=1，1=，tan2=，tan3=，tan4=则有1+=,故满足要求的最大整数n是3故选B二、填空题：11【考点分析】本题主要考查了函数的概念和函数解析式，以及三角函数的基本运算【参考答案】 【解题思路】设，则，所以12【考点分析】本题主要考查了导数的几何意义的应用，数列的运算及对数的运算性质的综合应用，考查了基本运算的能力【参考答案】 1【解题思路】f （x）（n1）xn，kf （1）n1，点P（1,1）处的切线方程为：y1（n1）（x1），令y0得，x1，即xn，x1x2x2011，则log2012x1log2012x2log2012x2011log2012（x1x2x2011）log2012113【考点分析】本题主要考查两角和与差的正弦余弦正切，同角三角函数的基本关系式，正弦余弦函数的诱导公式及其运用，考查正弦函数的单调性【参考答案】 【解题思路】两式平方相加得：cos（xy），x、y为锐角，sinxsiny0，x0，由2k2x2k得， kxk，kZ函数yf（x）的单调递增区间是k，k（kZ）（2）x，时，2x， sin1，当a0时，f（x）2ab，ab ，得，当a0时，f（x）ab，2ab ，得综上知，或17【考点分析】本题是解三角形的应用问题，考查三角形中的正弦定理、三角恒等变换、三角函数性质等基础知识，主要考查运算求解、推理论证等能力解：（1）连结DE，在DCDE中， （1分） （平方百米） （4分）（2）依题意知，在RTDACD中， （5分）在DBCE中，由正弦定理 （6分）得 （7分） （8分） （9分）在DABC中，由余弦定理 （10分）可得 （11分）（百米） （12分）18【考点分析】本题主要考查一元二次不等式的应用，数列的基本应用和等差数列的性质，考查等价转化和建模能力（2）设李顺第个月还清，则应有 整理可得，解之得，取， 即李顺工作个月就可以还清贷款这个月，李顺的还款额为元，第31个月李顺的工资为元，因此，李顺的剩余工资为 12分19【考点分析】本题考查函数、导数和三角函数知识的综合运用，利用导数研究函数的单调性、值域，主要考查运算求解能力解：（） 上单调递增所以函数的值域为 5分（），记，则当时，,所以在上单调递增又，故从而在上单调递增所以，即在上恒成立8分当时，所以上单调递减，从而， 故在上单调递减，这与已知矛盾 综上，故的取值范围为 12分20【考点分析】本题主要考查数列的基本应用和等比数列的性质，以及数列的通项公式考查等价转化和函数方程思想解：（I）， 即又，可知对任何，所以2分， 是以为首项，公比为的等比数列4分（II）由（I）可知= （） 5分 当n=7时，； 当n7时，当n=7或n=8时，取最大值，最大值为8分 （III）由，得 （*） 依题意（*）式对任意恒成立， 当t=0时，（*）式显然不成立，因此t=0不合题意9分 当t0时，由，可知（） 而当m是偶数时，因此t0时，由（）, （）11分 设 （） =,的最大值为所以实数的取值范围是13分21【考点分析】本题考查函数、导数和数列知识的综合运用，利用导数研究函数的单调性、极值，主要考查运算求解、推理论证和化归转化等能力解：（I），得当变化时，与变化情况如下表：0单调递增极大值单调递减当时，取得极大值，没