24线段的垂直平分线（一）

线段的垂直平分线(1),如图，人字形屋顶的框架中，点A与点A关于线段CD所在的直线l对称，问线段CD所在的直线l与线段AA有什么关系？,我发现AD=AD,lAA,已知点A与点关于直线l对称，如果沿直线l折叠，则点A与点重合，AD=AD，1=2=90，即直线l既平分线段AA，又垂直线段AA,l,A,A,D,2,1,(A),我们可以把人字形屋顶框架图进行简化得到如图,我们把垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线。（中垂线）,线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴.,用符号语言描述右图的内容,如图，在线段AB的垂直平分线l上任取一点P，连接PA，PB，线段PA,PB之间有什么关系？,作关于直线l的轴反射（即沿直线l对折），由于l是线段AB的垂直平分线，因此点A与点B重合.从而线段PA与线段PB重合，于是PA=PB.,线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.,几何语言：,CDAB,AC=BCPA=PB,C,我们知道线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，反过来，如果已知一点P到线段AB两端的距离PA与PB相等，那么点P在线段AB的垂直平分线上吗？,(1)当点P在线段AB上时，因为PA=PB，所以点P为线段AB的中点，显然此时点P在线段AB的垂直平分线上.,由此得出线段垂直平分线的性质定理：,（2）当点P在线段AB外时,如图,因为PA=PB，所以PAB是等腰三角形.过顶点P作PCAB，垂足为点C，从而底边AB上的高PC也是底边AB上的中线.即PCAB，且AC=BC.,因此直线PC是线段AB的垂直平分线，此时点P也在线段AB的垂直平分线上.,到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.,几何语言：,PA=PB点P在线段AB的垂直平分线上,由此得到线段垂直平分线的性质定理的逆定理：（判定定理）,例1已知：如图，在ABC中，AB，BC的垂直平分线相交于点O，连接OA，OB，OC.求证：点O在AC的垂直平分线上.,举例,证明点O在线段AB的垂直平分线上，,OA=OB.,同理OB=OC.,OA=OC.,点O在AC的垂直平分线上.,例2在三角形ABC中，DE是边AB的垂直平分线，AB=8cm，ACD的周长为10cm。求ABC的周长。,分析：ACD的周长=AC+CD+AD=10而AD=BDAC+CD+BD=AC+BC=10ABC的周长=AC+BC+AB=10+8=18,1.如图，在ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，B=30，BAC=80，求CAE的度数.,答：CAE=50.,2.已知：如图，点C，D是线段AB外的两点，且AC=BC，AD=BD，AB与CD相交于点O.求证：AO=BO.,证明：AC=BC，AD=BD，,CD为线段AB的垂直平分线.,又AB与CD相交于点O,6.如图，已知AECE，BDAC求证：ABCDADBC,7.如图，在ABC上，已知点D在BC上，且BDADBC求证：点D在AC的垂直平分线上,3若P是线段AB的垂直平分线上一点，且PB6cm，则PA_cm.,4如图2，在ABC中，AC的垂直平分线交AC于点E，交BC于点D，ABD的周长是12cm，AC5cm，则ABBDDC_cm；ABC的周长是_cm.,5.如图，ABC中，BC10，边BC的垂直平分线分别交AB、BC于点E、DBE6，求BCE的周长,(4)题,(5)题,(6)题,(7)题,如图，在ABC中，BC=8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，BCE的周长等于18cm，则AC的长等于（）.A.6cmB.8cmC.10cmD.12cm,例,解析,DE是AB的垂直平分线，AE=BE(线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等).又在BCE中，BE+CE+BC=18cm，BC=8cm，BE+CE=10cm.AC=AE+CE=B