24弦切角的性质

2.4弦切角的性质,例1：在左图中，以点为中心旋转直线，同时保证直线与的交点落在圆周上。当变为圆的切线时（如右图），你能发现什么现象？,左图中，根据圆内接四边形的性质，有。在右图中，是切线，仍然成立吗？,猜想：是的内接三角形，是的切线，则。,证明：(1)如图，圆心在的边上，即是直角三角形。,为切线,又是半圆上的圆周角,(2)如图，圆心在的内部，即为锐角三角形。,作的直径，连接，则：,而,(3)如图，圆心在的外部，即为钝角三角形。,作的直径，连接，则：,而,综上所述，猜想成立。,1.弦切角：,(1)定义：,顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。,(2)分类：,圆心在角的外部：,圆心在角的一边上：,圆心在角的外部：,(3)弦切角的特点：,顶点在圆上；,一边与圆相交；,另一边与圆相切。,注：弦切角定义中的三个条件缺一不可。如图(1)(2)(3)(4)中的角都不是弦切角。,图(1)中，缺少“顶点在圆上”的条件；,图(2)中，缺少“一边和圆相交”的条件；,图(3)中，缺少“一边和圆相切”的条件；,图(4)中，缺少“顶点在圆上”和“另一边和圆相切”的条件。,练习：,如图所示，是的一条弦，是上的任一点（不与重合），则下列为弦切角的是（）,2.弦切角定理：,(1)文字语言：,弦切角等于它所夹得弧所对的圆周角。,(2)符号语言：,与相切于点与相交于点，点在上，但不在弦切角所夹的弧上，则。,(3)图形语言：,(4)作用：,证明两个角相等。,注：,1.弦切角定理的推论：,若一个圆的两个弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等。,2.弦切角定理也可以表述为弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。这就建立了弦切角与弧之间的数量关系，它为直接依据弧进行角的转换确立了基础。,3.圆心角、圆周角、弦切角的比较：,顶点在圆心的角,顶点在圆上，两边和圆相交,顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切,的度数的度数,的度数的度数,的度数的度数,练习：,1.如图所示，与相切于点和是上两点，则等于（）,2.过圆内接的顶点引的切线交的延长线于点。若，则为（）,例2：如图，是的直径，是弦，直线和切于点,，垂足为。求证：平分,证明：连接,是的直径,是弦，且直线和切于点,，即平分,例3：如图，是中的平分线，经过点的与切于点，与分别相交于。求证：,证明：连接，如图所示。,是的平分线,切于,例4：已知内接于，的平分线交于点，的延长线交过点的切线于。求证：,证明：连接，如图所示,是的平分线,又,又为的直径,故在和中，,又,例5：如图所示，内接于，求的度数。,解：,又,例6：如图，已知是的直径，直线与相切于点，过作，为垂足。(1)求证：；(2)若，求的直径。,(1)证明：连接,是的直径,直线与相切于点,(2)解：,故的直径为10,总结：,1.弦切角的特点及弦切角定理：,(1)弦切角的顶点在圆上，实际上就是角的顶点是圆的一条切线与圆的切点；,(2)弦切角的一边是过切点的一条弦所在的射线，角的另一边是以切点为端点且与切线重合的一条射线；,(3)弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。,2.利用弦切角解决与角有关的问题的步骤：,(1)根据图形及弦切角的定义找出与题目有关的弦切角；,(2)利用弦切角定理找出与其相等的角；,(3)综合运用相关的知识，进行角的求解。,例7：如图，是的切线，点在上，垂足分别为。求证：,证明：连接,是的切线,又,，即,总结：,1.利用弦切角定理证明线段相等的技巧：,利用弦切角定理证明线段相等时，常常通过弦切角定理获得角相等，然后再转化为线段相等的关系，从而解决问题。,2.比例