第1章位姿几何基础ppt课件

.,第1章位姿几何基础,.,肩转,腰、臂、肘产生主运动，是机器人的位置机构。手腕具有多个自由度，是机器人的姿态机构，确定空间方向。,末端执行器可以是各种夹持器，也可以是各种工具，如焊枪、喷头等。操作时要求手部不仅能到达指定的位置，而且要有正确的姿态。,机器人本体结构,.,一般将机器人简化成由连杆、关节和末端执行器组成的空间连杆开式链机构。要研究机器人，首先分析运动学和动力学。把坐标系固连在机器人的每一个连杆关节上，用变换来描述这些坐标系之间的相对位置和方向，进行机器人的位姿分析。,.,一、坐标系采用参考坐标系和关节坐标系描述机器人位姿。参考坐标系：位置和方向不随机器人各关节的运动而变化，用来定义机器人相对于其他物体的运动以及机器人运动路径等。三维空间固定坐标系OXYZ表述。,关节坐标系：用来描述机器人每一个独立关节的运动。,.,二、刚体的位姿描述若给定刚体上某一点的位置和该刚体在空间的姿态，则这个刚体在空间完全定位。设O为刚体上任意一点，参考坐标OXYZ，O在O系中位置表示：Ro=xoyozoT,在刚体上建立动坐标系OXYZ，动系坐标轴的方向表示刚体的方向。,.,O0,x0,z0,y0,iA,设向量iA是单位向量，与参考系轴x0的单位向量i0的夹角为；与轴y0的单位向量j0的夹角为；与轴z0的单位向量k0的夹角为：单位矢量在参考系O系上各坐标轴投影方向余弦,向量的方向,.,设n,o,a分别代表动坐标轴的单位方向矢量单位矢量在参考系O系上的分量为动系各坐标轴投影在O系上的方向余弦刚体在参考坐标系内的方向用R矩阵来表示为：,.,.,刚体的位姿可用44矩阵来描述：,.,例1图示固连于刚体的坐标系B位于0B点,xb10，yb5，zbo。Zb轴与画面垂直，坐标系B相对固定坐标系A有一个300的偏转，试写出表示刚体位姿的坐标系B的(44)矩阵表达式。,.,坐标系B的(44)矩阵表达式：,.,连杆的位姿表示若给定了连杆PQ上某点的位置和该连杆在空间的姿态，则连杆在空间是完全确定的。O为连杆上任一点，OXYZ为与连杆固接的一个动坐标系，即为动系。连杆PQ在固定坐标系OXYZ中的位置表示为P=xoyozoT,.,连杆的姿态可由动系的坐标轴方向来表示。令n、o、a分别为X、Y、Z坐标轴的单位矢量连杆的姿态以坐标形式表示为：,.,机器人手部的位置和姿态机器人手部的位置和姿态用固连于手部的动系B的位姿来表示。手部的中心点为动系原点OB,.,关节轴为ZB轴，单位矢量a为接近矢量，指向朝外。手指的连线为YB轴，单位矢量o为姿态矢量，指向可任意选定。XB轴与YB轴及ZB轴垂直，单位矢量n为法向矢量，指向符合右手法则。,.,手部的位置矢量：动系原点（x0，y0，z0）手部的方向矢量：n,o,a手部位姿的(44)矩阵表达式：,.,例2图示手部抓握物体Q，物体为边长2个单位的正立方体，写出表达该手部位姿的矩阵式。解物体Q形心与手部坐标系的坐标原点O相重合，手部位置列阵为：P=1111T动系X轴的单位方向矢量n：,.,动系Y轴的方向矢量o：,手部位姿矩阵为：,动系Z轴的方向矢量a：,.,刚体的运动可分解为旋转和平移，旋转和平移的描述可以用O系和O系的齐次坐标变换矩阵来表达，这是研究机器人运动姿态的基础。,.,三、齐次坐标将一个n维空间的点用n+1维坐标表示，则该n+1维坐标即为n维坐标的齐次坐标。齐次坐标表示：P=abcwTw：比例因子。非齐次坐标表示：P=abcT普通坐标与齐次坐标的关系：一对多。若二维点(x，y)的齐次坐标表示为hx，hy，h，则h1x，h1y，h1，h2x,h2y,h2,，都表示二维空间中同一个点(x，y)的齐次坐标。如12，8，4、64，2和3，2，1均表示3，2这一点的齐次坐标。,.,类似地，对三维空间中坐标点x，y，z例如齐次坐标（1231）、（2462）、（3693）均表示笛卡尔坐标下的空间点（123）取w=1，为齐次坐标的规格化形式，即P=PXPYPZ1T,w0时表示唯一点，点的坐标分别为xa/wyb/wzc/w,w0时表示从坐标原点到点（xyz）的方向；x=1000T,y=0100T,z=0010T对于刚体位姿来说，采用齐次坐标和普通坐标没有实质性的差别，却给矩阵运算提供了可行性和方便性。,.,例3用齐次坐标表示图示矢量u、v、w的坐标方向。,.,解矢量u：cos=0，cos=0.866，cos=0.5u=00.8660.50T矢量v：cos=0.866，cos=0，cos=0.5v=0.86600.50T矢量w：cos=0.866，cos=0.5，cos=0w=0.8660.500T,.,四、齐次变换连杆的运动是由转动和平移组成的,引入齐次坐标变换矩阵描述刚体运动。1.平移的齐次变换空间一点A(XA，YA，ZA)，平移至A(XA，YA，ZA)，A点和A点的坐标关系为,或：,.,也可以简写为,Trans(X，Y，Z)称为平移算子,第四列元素X、Y、Z分别表示沿坐标轴X、Y、Z的移动量。,.,算子左、右乘规则若相对固定坐标系进行变换，则算子左乘；若相对动坐标系进行变换，则算子右乘。,.,，,写出坐标系A、A的矩阵表达式。,例4图示坐标系的平移变换给出了下面三种情况：动坐标系A相对于固定坐标系的X0Y0Z0相对于自身坐标系轴作(1,2,2)平移后到A；动坐标系A的XYZ轴分别作(1，2，2)平移后到A。已知：,.,解：动系A的两个平移算子均为：,A坐标系是动系A沿固定坐标系作平移变换得来的，故算子左乘，A的矩阵表达式为,.,动系A沿自身坐标系作平移变换得A，故算子右乘，A的矩阵表达式为,.,2.旋转的齐次变换,用矩阵表示为,点绕坐标轴的旋转变换空间一点A(XA，YA，ZA)，当它绕Z轴旋转角后至A点(XA，YA，ZA)。A点和A点的坐标关系为,.,用齐次坐标表示为,简写为,式中：Rot(Z，)表示齐次坐标变换时绕Z轴的转动齐次变换矩阵，又称旋转算子。旋转算子为：,表示,表示,.,同理，绕X轴转动的旋转算子和绕Y轴转动的旋转算子：,.,点绕过原点任意轴的一般旋转变换,旋转算子为,式中：,上式为一般旋转齐次变换通式，它概括了绕X轴、Y轴及Z轴进行旋转齐次变换的各种特殊情况。不仅适用于点的旋转变换，而且也适用于矢量、坐标系、物体等的旋转变换计算。,.,算子左、右乘规则若相对固定坐标系进行变换，则算子左乘；若相对动坐标系进行变换，则算子右乘。,已知坐标系C和变换T：绕z轴旋转90，并沿x轴方向平移10，当相对基系和动系进行变换时，坐标系C的位置？,.,已知坐标系C和变换T：绕z轴旋转90，并沿x轴方向平移10当以基系进行变换时左乘坐标系C，得新坐标系位置为P=TC：,.,当相对于坐标系C进行变换时以T右乘坐标系C，得到新坐标系的位置Q=CT：,.,例5图示单臂操作手的手腕具有一个自由度。已知手部起始位姿矩阵为：,若手臂绕Z0轴旋转+90，则手部到达G2；若手臂不动，仅手部绕手腕Z1轴旋转+90，则手部到达G3。写出手部坐标系G2及G3的矩阵表达式。,.,解：手臂绕固定坐标系作旋转变换，故有,手部绕手腕轴旋转是相对动坐标系作旋转变换，所以,.,复合变换:平移变换和旋转变换组合在一个齐次变换中，称为复合变换。补充说明：,“A”表示被描述系的编号,“0”表示参考系的编号,.,位姿矩阵：表示Sj坐标系在Si坐标系中的位姿,.,点A在坐标系Si的齐次矩阵表示,点A在坐标系Sj的齐次矩阵表示,坐标系之间的齐次变换,.,：S1先与S0重合，绕x0旋转90再沿x0移动20,左乘和右乘法则已知坐标系S1的位姿矩阵T1，当S1分别沿基系S0和动系S1进行T2变换时，新坐标S2的位姿？,.,第一种情况：沿动系S1变换S2与S1重合绕z1旋转90，沿x1移动10,.,结论1：当S2是沿动系S1运动时用T2右乘,.,y1,第二种情况：沿基系S0运动S2与S1完全重合，再绕z0旋转90再沿x0移动10,z0,x0,y0,O0,.,结论2:当S2是沿S0运动时用T2左乘,z0,x0,y0,O0,.,xi,yi,Oi,例6：如图，给出运动变换，解释从Si到Sj经过的运动次序。,相对于基系，先绕Z轴旋转，后移动，左乘。,.,yi,xi,Oi,Oj,xj,yj,全部是相对于基系，先移动，后旋转，左乘。到达错误位置。,.,【课堂练习】,【练习1】绕基系Si的zi轴转动角形成系S1，再绕z1轴转动角形成当前坐标系Sj。画出各坐标系并求Sj相对于Si的位姿矩阵。,【练习2】沿基系Si的xi轴移动a形成系S1，再沿y1轴移动b形成当前坐标系Sj。画出各坐标系并求Sj相对于Si的位姿矩阵。,【练习3】沿xi轴移动20形成S1，再绕zi轴转动90形成系S2，再沿z2移动10形成当前坐标系Sj。画出各坐标系并求Sj相对于Si的位姿矩阵。,.,【练习1】绕基系Si的zi轴转动角形成系S1，再绕z1轴转动角形成当前坐标系Sj。画出各坐标系并求Sj相对于Si的位姿矩阵。,【解】,.,.,【练习2】沿基系Si的xi轴移动a形成系S1，再沿y1轴移动b形成当前坐标系Sj。画出各坐标系并求Sj相对于Si的位姿矩阵。,【解】,.,【练习3】沿xi轴移动20形成S1，再绕zi轴转动90形成系S2，再沿z2移动10形成当前坐标系Sj，画出各坐标系并求Sj相对于Si的位姿矩阵。,【解】,.,【例2-1】已知坐标系S1与S2之间的变换为：,求点P在两坐标系中的坐标之间关系。,【解】,“A”表示被描述系的编号,“0”表示参考系的编号,.,z1,x1,y1,O1,.,四、位姿矩阵的逆阵,1姿态矩阵的逆阵,2位姿矩阵的逆阵,补充知识：旋转矩阵的两个正交性质,（1）R矩阵9个元素，3个是独立的，6个约束条件（正交条件）,（2）R矩阵的逆阵等于转置矩阵,.,例7下式为坐标系Sj与坐标系Si的变换，（1）画图标注变换矩阵的转角和移动量；（2）画图标注变换矩阵逆阵的转角和移动量；（3）写出逆阵的R阵和P阵。,.,【解】,（1）画图标注变换矩阵的转角和移动量,.,（2）画图标注变换矩阵逆阵的转角和移动量,.,（3）写出逆阵的R阵和P阵,.,.,【解】,由题意构造出坐标系B,.,.,（1）绕x轴旋转角的旋转变换矩阵：,（2）绕y轴旋转角的旋转变换矩阵：,重要的旋转矩阵,.,（3）绕z轴旋转角的旋