高等数学函数的连续性ppt课件.ppt

1.3、函数的连续性。,1、掌握函数连续性的判断方法。,2、零点定理的应用。,2.1导数的概念,3、掌握导数的概念、几何意义及其与连续性的关系。,1,1、变量的增量,设函数y=f(x)在点x0的某一个邻域U(x0)内有定义,称Dy=f(x0+Dx)-f(x0)函数y的增量。,在邻域U(x0)内若自变量x从初值x0变到终值x1则称Dx=x1-x0为自变量x的增量,1.3.1、函数连续性,2,2、函数的连续性定义,提示:,设x=x0+Dx则当Dx0时xx0因此,Dy=f(x0+Dx)-f(x0),3,左连续和右连续,4,解题思路：根据函数连续的充要条件,5,函数在区间内连续,6,7,1.3.2、函数的间断点,如果函数f(x)在点x0有以下三种情况之一：,则称函数在点x0为不连续，x0称为函数的不连续点或间断点。,8,可去间断点只要改变或补充间断点的函数值定义后，间断点可以变成连续点。,9,10,11,1.3.3、初等函数的连续性,一、一切基本初等函数在其定义域内都是连续的。,二、设函数f(x)和g(x)在点x0连续则函数,在点x0也连续,三、设函数yfg(x)由函数yf(u)与函数ug(x)复合而成若函数ug(x)在点x0连续函数yf(u)在点u0g(x0)连续则复合函数yfj(x)在点x0也连续,12,四、初等函数在其定义区间内是连续的。,13,总结：由于函数在其连续点x0满足,初等函数在其有定义的点处求极限,求这一点的函数值。,14,例1,15,（因式分解，去掉零因子）,（有理化，去掉零因子）,16,17,18,一般地,19,例7,（有理化，去掉零因子）,20,1.3.4、闭区间上连续函数的性质,定理8（最值定理）闭区间a,b上的连续函数f(x)在该区间上至少取得它的最大值M和最小值m各一次。,推论6闭区间a,b上的连续函数f(x)一定有界。,21,定理9（介值定理）若y=f(x)在闭区间ab上连续且f(a)f(b)则对于f(a)与f(b)之间的任意一个常数C在开区间(ab)内至少有一点x使得f(x)=C(axb),定理的几何意义：,连续曲线f(x)与水平直线y=c至少相交于一点。,22,推论（零点定理）设函数f(x)在闭区间ab上连续且f(a)f(b)0f(1)=-20根据推论,在(01)内至少有一点x使得f(x)=0即x3-4x2+1=0(0x1)这说明方程x3-4x2+1=0在区间(01)内至少有一个根是x,24,第二章一元函数微分学,一、导数的概念二、导数的运算三、微分四、导数的应用,25,本章简介导数与微分是微分学中的两个基本概念。其中导数是研究函数相对于自变量的变化的快慢程度，即函数的变化率；而微分则是指当自变量有微小变化时，函数改变量的近似值。,本章重点导数与微分的概念；基本初等函数的求导公式；求导法则。,本章难点导数与微分的概念；复合函数的求导法则。,26,实例1.变速直线运动的瞬时速度问题,如图,取极限得,瞬时速度,2.1导数的概念,设物体作直线运动所经过的路程为s=f(t),求t0时刻瞬时速度.,27,2.1.2导数的定义,定义1,设函数f(x)在x0及其某个邻域内有定义,当自变,量x在x0处取得增量x时,相应地函数y取得增量,如果,存在,则称函数y=f(x)在x0处可导,或称y=f(x)在x0处有导数。,该极限值就是f(x)在点x0处的导数，,记为,28,29,30,很明显,31,由导数定义可知：,由定义求导数步骤:,32,例1设，求,解一,所以,解二,33,例2,解,34,35,单侧导数,导数与单侧导数的关系,函数f(x)在开区间(ab)内可导是指函数在区间内每一点可导函数f(x)在闭区间ab上可导是指函数f(x)在开区间(ab)内可导且在a点有右导数、在b点有左导数,函数在区间上的可导性,36,37,例5已知,解因为,所以,，从而,38,M,T,的切线方程,法线方程,N,2.1.3导数的几何意义,39,例3,解,根据导数的几何意义,得切线斜率为,所求切线方程为,法线方程为,40,2.1.4可导与连续的关系,结论：可导的函数一定是连续的。,证