定积分的背景面积和路程问题

第四章定积分1定积分的概念1.1定积分的背景面积和路程问题,以上由曲线围成的图形的面积该怎样计算？,我们学过如何求正方形、长方形、三角形等的面积，这些图形都是由直线段围成的.那么，如何求曲线围成的平面图形的面积呢？这就是定积分要解决的问题.定积分在科学研究和实际生活中都有非常广泛的应用.本节我们将了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念.,1.了解定积分的实际背景.2.理解“以直代曲”“无限分割”的思想，初步掌握求曲边梯形面积的“三步曲”“分割、求和、近似估值”.（重点）3.了解“误差估计”的方法.(难点）,图中阴影部分是由曲线段和直线段围成的，通常称这样的平面图形为曲边梯形.,a,b,曲边梯形定义：,我们把由直线x=a，x=b(ab)，y=0和曲线y=f(x)所围成的图形叫作曲边梯形.,探究点1曲边梯形的定义,对曲边梯形概念的理解：,（1）曲边梯形是由曲线段和直线段所围成的平面图形.（2）曲边梯形与“直边图形”的主要区别在于前者有一边是曲线段而“直边图形”的所有边都是直线段.,探究点2估计曲边梯形的面积,我们曾经用正多边形逼近圆的方法(即“以直代曲”的思想)计算出了圆的面积，能否也用直边形(如矩形)逼近曲边梯形的方法求阴影部分的面积呢？,割圆术,问题1图中阴影部分是由抛物线，直线以及x轴所围成的平面图形，试估计这个曲边梯形的面积S.,分析首先，将区间0，15等分，如图所示.,图(1)中，所有小矩形的面积之和（记为S1)显然大于所求的曲边梯形的面积，我们称S1为S的过剩估计值，有,（1）,图(2)中，所有阴影小矩形的面积之和(记为s1)显然小于所求曲边梯形的面积，我们称s1为S的不足估计值，有,.,（2）,思考：我们可以用S1或s1近似表示S，但是都存在误差，误差有多大呢？提示：二者之差为S1-s1=0.2,如图(3)中阴影所示，无论用S1还是用s1来表示曲边梯形的面积，误差都不会超过0.2.,（3）,1,(4),不足估计值为,二者的差值为S2-s2=0.1，此时，无论用S2还是用s2来表示S，误差都不超过0.1.,结论：区间分得越细，误差越小.当被分割成的小区间的长度趋于0时，过剩估计值和不足估计值都会趋于曲边梯形的面积.,.,.,通过下面的演示我们如何做到使误差小于0.01.,输入数字，点击确定.,练一练：,求曲线y=x3与直线x=1,y=0所围成的平面图形的面积的估计值，并写出估计误差.（把区间0，15等分来估计）,解析把区间0，15等分，以每一个小区间左右端点的函数值作为小矩形的高，得到不足估计值和过剩估计值，如下：,估计误差不会超过-=0.2,探究点3估计变速运动的路程,已知匀速运动物体的速度v和运动的时间t,我们可以求出它走过的路程s=vt,那么如何求非匀速运动的物体走过的路程呢？,问题2想象这样一个场景：一辆汽车的司机猛踩刹车，汽车滑行5s后停下，在这一过程中，汽车的速度v（单位：m/s)是时间t的函数：,请估计汽车在刹车过程中滑行的距离s.,分析：由已知，汽车在刚开始刹车时的速度是v(0)=25m/s,我们可以用这个速度来近似替代汽车在这段时间内的平均速度，求出汽车的滑行距离：s=255=125(m)但显然，这样的误差太大了.为了提高精确度，我们可以采用分割滑行时间的方法来估计滑行距离.首先，将滑行的时间5s平均分成5份.我们分别用v(0),v(1),v(2),v(3),v(4)近似替代汽车在01s、12s、23s、34s、45s内的平均速度，求出滑行距离s1：,由于v是下降的，所以显然s1大于s,我们称它为汽车在5s内滑行距离的过剩估计值.用v(1),v(2),v(3),v(4),v(5)分别近似替代汽车在01s、12s、23s、34s、45s内的平均速度，求出汽车在5s内滑行距离的不足估计值：,不论用过剩估计值s1还是不足估计值表示s，误差都不超过：,要对区间多少等分时，才能保证估计误差小于0.1？,为了得到更加精确的估计值，可以将滑行时间分得更细些，因为我们知道，滑行时间的间隔越小，用其中一点的速度代替这段时间内的平均值，其速度误差就越小.比如，将滑行时间5s平均分成10份.用类似的方法得到汽车在5s内滑行距离的过剩估计值s2：,结论滑行时间等分得越细，误差越小.当滑行时间被等分后的小时间间隔的长度趋于0时，过剩估计值和不足估计值就趋于汽车滑行的路程.,汽车在5s内滑行距离的不足估计值：,无论用s2还是表示汽车的滑行距离s，误差都不超过,抽象概括,前面，我们通过“以直代曲”的逼近方法解决了求曲边梯形的面积的问题，对于变速运动路程的步骤：,分割区间,过剩估计值不足估计值,逼近所求路程,所分区间长度趋于0,估计值趋于所求值,变式练习,汽车作变速直线运动，在时刻t的速度为v(t)=-t2+2,（单位：km/h),那么它在0t1(单位：h)这段时间内行驶的路程s是多少？（将行驶的时间1h平均分成10份）,解析分别用v(0)，v(0.1)，v(0.2)，v(0.9)近似替代汽车在00.1h，0.10.2h，0.80.9h，0.91h的平均速度，求出汽车在1h时行驶的路程的过剩估计值,=v(0)+v(0.1)+v(0.2)+v(0.9)0.1=1.715(km).,分别用v(0.1)，v(0.2)，v(0.3)，v(1)近似替代汽车在00.1h，0.10.2h，0.80.9h,0.91h的平均速度，求出汽车在1h时行驶的路程的不足估计值,=v(0.1)+v(0.2)+v(0.3)+v(1)0.1=1.615(km),无论用还是估计汽车行驶的路程s,估计误差都不会超过1.715-1.615=0.1（km）,1.在“近似替代”中，函数f(x)在区间xi,xi+1上的近似值等于（）A.只能是区间的左端点的函数值f(xi)B.只能是区间的右端点的函数值f(xi+1)C.可以是区间内的任意一点的函数值f(i)（ixi,xi+1）D.以上答案均正确解析以直代曲，可以把区间xi,xi+1上的任意一点的函数值f(i)（ixi,xi+1）作为小矩形的高.,C,2.已知自由落体的运动速度v=gt，则估计在时间区间0,6内，将时间区间10等分时，物体下落的距离的估计值可以为（）A.14gB.15gC.16gD.17g解析由其过剩估计值与不足估计值分别为19.8g、16.2g，则估计值应在16.2g,19.8g之间.,D,3.求曲线与直线x=1，x=2，y=0所围成的平面图形的面积时，把区间5等分，其估计误差不超过_.解析分别以左、右端点的函数值为小矩形的高，得此平面图形面积的不足估计值s和过剩估计值S如下：所以S-s=0.3.,0.3,4.变速运动的物体的速度和时间之间的函数关系式为v(t)=t+2，估计该物体在区间0,2内运动的路程.若将区间10等分，则其不足估计值为_.解析：把区间0,210等分，取小区间的左端点的函数值作为小区间的平均速度，可得不足估计值为：s=(2+2.2+2.4+2.6+2.8+3.0+3.2+3.4+3.6+3.8)0.2=5.8.,5.8,5.求由曲线y=1+x2与直线x=0,x=2，y=0所围成的平面图形的面积的估计值，并写出估计误差.（将区间10等分）,解析把区间0,210等分，以每一个小区间的左、右端点的函数值作为小矩形的高，得到面积的不足估计值s和过剩估计值S如下：s=(1+02)+(1+0.22)+(1+0.42)+(1+0.62)+(1+0.82)+(1+1.02)+(1+1.22)+(1+1.42)+(1+1.62)+(1+1.82)0.2=4.28,S=(1+0.22)+(1+0.42)+(1+0.62)+(1+0.82)+(1+1.02)+(1+1.22)+(1+1.42)+(1+1.62)+(1+1.82)+(1+2.02)0.2=5.08估计误差不会超过S-s=0.8.,1.曲边梯形的定义：,分割区间,过剩估计值不足估计值,逼近所求值,2.求面积和路程问题的步骤：,我们把由直线x=a，x=b(ab)，y=0和曲线y=f(x)所围成的图形叫作曲边梯形.,回顾本节课你有什么收获？,AA1+A2+An,将曲边梯形分成n个小曲边梯形，并用小矩阵形的面积代替小曲边梯形的面积，于是曲边梯形的面积A近似为,以直代曲,无限逼近,如何求曲边梯形的面积,?,分割越细，面积的近似值就越精确。当分割无限变细时，这个近似值就无限逼近所求曲边梯形的面积S。,“以直代曲”的具体操作过程,曲边梯形的面积,分成很窄的小曲边梯形，然后用矩形面积代替后求和。,分割,近似代替,求和,取极限,区间长度：x=,区间高：h=,小矩形面积：S=,第i个小区间,例1.求抛物线y=x2、直线x=1和x轴所围成的曲边梯形的面积。,例1.求抛物线y=x2、直线x=1和x轴所围成的曲边梯形的面积。,解把