数学期望在实际问题中的应用探讨.doc

数学期望在实际问题中的应用探讨摘要：数学期望是概率论中的一个重要概念，是随机变量的数字特征之一，体现了随机变量总体取值的平均水平，本文主要阐述了数学期望的定义和性质，讨论了实际生活中的某些应用问题，从而使我们能够使用科学的方法对其进行量化的评价，平衡了极大化期望和极小化风险的矛盾，达到我们期望的最佳效果。关键词：数学期望；实际问题；应用在经济生活中，有许多问题都可以直接或间接的利用数学期望来解决，风险决策中的期望值法便是处理风险决策问题常用的方法。数学期望是随机变量的数字特征之一，它代表了随机变量总体取值的平均水平。1 期望的概念及性质1.1 离散型随机变量的数学期望设是离散型随机变量，其分布律为P(=)= （i=1，2），若级数 绝对收敛，则称该级数的和为的数学期望，记作，即：1.2 连续型随机变量的数学期望设为连续型随机变量的概率密度，若积分绝对收敛，则称它为的数学期望，记作，即： 1.3 期望的性质1）为任意常数；2）为常数，为变量；3）为变量；4）若独立，则。2 期望的应用2.1 求职面试问题假如你得到三个有可能成为你的雇主的面试通知，每个雇主都有不同的空缺职位：一般的，好的，极好的，其工资分别为Y2500，Y3000，Y4000你估计你得到一般的职位可能为0.4，而得到好的和极好的职位的可能性分别为0.3和0.2，有0.1的可能性使你得不到任何职位每家公司都要求你在面试结束时表态接受或拒绝他们提供给你的职位你应遵循什么策略呢？ 分析：一般来说，你可以采取的每个行动方案的期望值把决策建立在第一次面试该做什么的基础上，就本问题而言要这样做是困难的，因为一种决策方案(继续去做第二次面试)会由于在第一次面试结束时我们可以做出另一个决策而有不确定的结果。有一种避开这个困难的办法：首先分析未来的决策。 我们来考虑一下如果你尚未接受职位而要去进行第三次面试可能的结果（及其相应的月工资）以及它们各自的概率： 第三次面试结果 工 资 概 率 一般： Y2500 0.4 好的： Y3000 0.3 极好： Y4000 0.2 没有工作： Y0 0.1雇主提供的工作期望为：2500* 0.43000 * 0.34000 x*0.20 *0.1=2700 知道了第三次面试的期望值，我们就能向后推，以决定第二次面试时应采取的行动我们早就知道：我们肯定会接受极好的职位；如果没有工作提供的话我们一定会去进行第三次面试，如果向我们提供的是一般的工作，那么我们必须在接受这一工作（期望值=Y2500）和试着碰碰第三次面试的运气（期望值=Y2700）中做出选择出于选择后者有比较大的期望值，这就是我们应采取的行动另一方面，如果第二家公司的雇主提供好的工作，那么其期望值较高（Y 3000对Y2700），因此，我们应该接受并放弃第三次面试。综述第二次面试，我们的最佳策略：接受一个好的或极好的工作，拒绝一般的工作。 在这样的策略下第二次面试的期望值是什么？第二次面试的结果 期望值 概 率 一般：进行第三次面试 Y2700 0.4 好的：接受 Y3000 0.3 极好：接受 Y4000 0.2 没有工作：进行第三次面试 Y2700 0.1期望值为：2700 * 0.43000 * 0.34000 * 0.2+2700 * 0.l3050。 现在我们返回到第一次面试如果提供的是一般工作，那么我们面临一次选择；若接受，期望值为Y2500；若拒绝，期望值为Y3050。我们为了更高的期望值而拒绝一般的工作。对于好的工作，期望值是Y3000可供我们选择的是：期望值Y3050的继续面试和期望值为Y3000的接受这个工作，为了极大化期望值，我们也应在这个阶段放弃好的工作。 因此第一次面试时我们的最优策略是：仅当提供极好的职位时才接受该工作职位；若不是的话，去进行第二次面试。第一次面试的结果 期望值 概 率 一般：进行第二次面试 Y3050 0.4 好的：进行第二次面试 Y3050 0.3 极好：接受 Y4000 0.2 没有工作：进行第二次面试 Y3050 0.1结论：我们对面试问题的最佳总策略现在清楚了：第一次面试只接受极好的职位，否则继续进行第二次面试；第二次面试接受好的或极好的职位，否则继续进行第三次面试，这时你要接受提供给你的任何工作。与这种策略相应的期望值为：3050*0.4+3050*0.3+4000*0.2+3050*0.1=32402.2 进货问题设某种商品每周的需求是从区间10，30上均匀分布的随机变量，经销商进货量为区间10，30中的某一整数，商店销售一单位商品可获利5000元，若供大于求，则削价处理，没处理一单位商品亏价100元，若供不应求，则可以外部调剂供应，此时一单位商品获利300元，为使商品所获利润期望不少于9280，试确定进货量。解：设进货量，则利润为= = 期望利润为： 解得：， 故利润期望不少于9280元的最少进货量为21单位。2.3 保险公司获利问题一年中一个家庭晚万元被盗的概率是0.01，保险公司开办一年期万元以上家庭财产保险，参加者需交纳保险费100元，若一年内万元以上财产被盗，保险公司赔偿a元(a100)，试问a如何确定才能使保险公司获利？ 解：只需考虑保险公司对任一参保家庭的获利情况，设表示保险公司对任一参保家庭的收益，则的取值为100或100-a，其分布为:100100-a0.990.01根据题意： 解得 又，所以时保险公司才能期望获利。3 结束语数学期望具有广泛的应用价值。实践证明当风险决策问题较为复杂时，决策者在保持自身判断的条件下处理大量信息的能力将减弱，在这种情况下，风险决策的分析方法可为决策者提供强有力的科学工具，以帮助决策者作出决策，但不能代替决策者进行决策。因为在现实生活中的风险决策还会受到诸多因素的影响，决策者的心理因素，社会上的诸多因素等，人们还需综合各方面的因素作出更加