第四章 分离变量(傅立叶级数)法3

2020/4/26,第四章分离变量法3,1,第四章分离变量(傅立叶级数)法,4.1齐次方程的分离变量法（重点：4个齐次边界条件）4.2非齐次方程和输运方程4.3非齐次边界条件的处理4.4Laplace方程、泊松方程（重点：周期边界条件）,2020/4/26,第四章分离变量法3,2,4.4泊松方程,本节介绍稳定场方程(拉普拉斯方程，泊松方程)的分离变量法、傅里叶级数法求解。,1、拉普拉斯方程,例如矩形截面散热片的稳定温度分布u(x,y)，边界上温度分布如图所示，定解问题为,(1),1)矩形边界的稳定场问题,y,2020/4/26,第四章分离变量法3,3,分析：u满足二维拉普拉斯方程的第一类边界条件问题。,(2),则定解问题变为,(3),为了简化计算，设法将x方向的边界条件化为齐次。为此作如下平移变换：,注意到v满足齐次的泛定方程，可用分离变量法求解，令试探解为v(x,y)=X(x)Y(y)；又因为v(x,y)在x方向的两端是固定的，所以有本征值ln=(np/a)2及本征函数Xn=Csin(npx/a)。,2020/4/26,第四章分离变量法3,4,于是令试探解为,其中Yn待定，由泛定方程及y方向的边界条件确定。,将试探解Eq.(4)代入泛定方程，得,(4),即,另一方面，由y方向的边界条件得,(5a),(5b),2020/4/26,第四章分离变量法3,5,以及,比较系数得Yn(b)=fn，而fn为常数U-u0的傅里叶正弦展开系数，,2020/4/26,第四章分离变量法3,6,这是一个二阶常系数微分方程，通解为e指数形式Yn(y)=ery(r待定)，代入方程得到r2=(np/a)2，有两个实根r=(np/a)，因此,将上式代入到Yn满足的边界条件中，得,(i)n为偶数时,可见当n为偶数时，Yn(y)=0，即v(x,y)=0，舍弃这个平凡解。,(6),2020/4/26,第四章分离变量法3,7,求解上面的联立方程，得,(ii)n为奇数时,通解仍为Eq.(6)，即，由代入边界条件中，得,2020/4/26,第四章分离变量法3,8,由此解得n为奇数时,代入到试探解中，令n=2k+1(k=0,1,2,)，得,(7),2020/4/26,第四章分离变量法3,9,最后得稳定场温度分布u(x,y)=u0+v(x,y)，即,(8),2020/4/26,第四章分离变量法3,10,2)圆形边界的稳定场问题,如图，带电云和大地之间静电场视为匀强电场(场强E0)，求圆柱形输电线对电势u和场强E的改变。,由于电线沿z轴方向“无限长”，静电场与z无关，可归结为x-y平面内圆形边界的狄里希利(Dirichlet)问题。,2020/4/26,第四章分离变量法3,11,极坐标系下，定解问题变为(见附录),(9),其中周期边界条件如右图所示。,2020/4/26,第四章分离变量法3,12,应用分离变量法，取试探解为：,(10),将试探解代入到泛定方程中，即式(9)，得,两边同乘r2/F，得,上式等号左边只和r有关，右边只和极角j有关，二者相等的条件是它们同时等于一个常数l，即,2020/4/26,第四章分离变量法3,13,F满足二阶常系数微分方程，通解为：,其中只有l0的解满足周期边界条件，即式(12)。,于是泛定方程分解为两个独立的常微分方程,(11),(12),极角j加减2p的整数倍电势u不变，因此有周期边界条件：,2020/4/26,第四章分离变量法3,14,于是圆域内周期边界条件的本征值和本征函数为,(13a),(13b),将本征值(13a)代入R满足的常微分方程中，得,(14a),这是一个欧拉型二阶常微分方程，作变换r=et，即t=lnr，式(14a)简化为(见附录，下一章还将用到！),(14b),2020/4/26,第四章分离变量法3,15,Eq.(14b)是一个常系数二阶微分方程，通解为(r=et，t=lnr),代回试探解u=RF中，由Eqs.(13b)和(15)得,所有本征解的叠加给出一般解:,(16),(15),2020/4/26,第四章分离变量法3,16,Eq.(16)中的系数由边界条件u|r=a=0，u|r=-E0rcos确定，,所以得,(17),2020/4/26,第四章分离变量法3,17,比较系数得,对于ra，rm项的贡献远大于D0ln(r/a)和诸r-m项，忽略后者的贡献，得,(18),将Eq.(17)代入(16)中，得,2020/4/26,第四章分离变量法3,18,如果导体不带电，D0=0，Eq.(19)只剩后面两项。由此可证y轴方向的电势始终为零，,即A1=-E0，其他系数都为零，最终得圆柱之外的静电势,(19),其中第一项为电线自带电荷产生的电势；第二项为匀强静电场的电势；最后一项代表圆柱形导线对其邻近区域匀强电场的修正，当r(离电线无穷远)时，修正项可以忽略。,2020/4/26,第四章分离变量法3,19,此外导体A、B两点(如图)的电场强度,是匀强电场的两倍，因此特别容易被击穿。,讨论：对于平板电容器，如果上极板上带有半圆形突起，那么该突起处的电场强度总是无限远电场强度E0的两倍。,为防止突起点处被击穿，高压电容器的极板必须刨得非常光滑。,20,3)推广：周期边界条件(periodicboundarycondition),2020/4/26,第四章分离变量法3,21,周期边界条件的应用：固体物理、半导体物理-晶格振动；电磁场(E.M.field)理论、电动力学、量子光学，etc.,ThefreeclassicalE.M.field,Seee.g.,R.Loudon,Thequantumtheoryoflight(2thedition,ClarendonPress,Oxford,1983).,2020/4/26,第四章分离变量法3,22,泊松方程,采用特解法求解：先不管边界条件，任取泊松方程的一个特解v，然后令u=v+w，把问题转化为求w。因为u=v=f，所以w=u-v=0，即w满足拉普拉斯方程，它的求解过程如前。,2、泊松方程,例1(P219).在圆域rr0内求解泊松方程的边值问题：,也称为非齐次拉普拉斯方程，它描述与时间无关的稳定场问题，不适合用冲量定理法求解。,2020/4/26,第四章分离变量法3,23,于是取满足泊松方程的特解为,解：先找特解。注意到,令,问题转化为w的定解问题：,2020/4/26,第四章分离变量法3,24,该定解问题的一般结论由Eq.(16)给出，即,其中系数由边界条件w|r=r0给出。此外w在圆内应处处有限，而lnr和r-m在圆心处发散，所以排除在外。于是得,2020/4/26,第四章分离变量法3,25,代入到边界条件中，,比较两边系数，得,最后得，即,2020/4/26,第四章分离变量法3,26,作业,P1722.,P16116.(1),P1782.,2020/4/26,第四章分离变量法3,27,附录A：极坐标系拉普拉斯方程,从极坐标系中的柯西-黎曼方程可求出拉普拉斯(Laplace)方程的极坐标表示式(P12).,解:极坐标下C-R条件为,(A1),(A2),消去g(其中g=u或v),就对它求偏导,使之成为的形式.例如消掉v,Eq.(A1)左右乘然后对求偏导,得,(A3),2020/4/26,第四章分离变量法3,28,接着,Eq.(A2)左右对求偏导,得到,(A4),比较Eqs.(A3)和(A4),自然得到,(A5),或者写为,(A6),Eqs.(A5)和(A6)就是极坐标下拉普拉斯方程的表达式.,2020/4/26,第四章分离变量法3,29,附录B,(1)圆柱外“无穷远处”的静电场视为沿x方向的匀强电场Ex=E0，Ey=0，于是电势的导数ux=-E0，uy=0，所以有,因此给出(9)式中圆柱外电势的边界条件。,(2)欧拉型二阶常微分方程(14a)的化简：径向部分函数R满足的常微分方程为,(B1),这是一个欧拉型二阶常微分方程，作变换r=et，即t=lnr，于是有,2020/4/26,第四章分离变量法3,30,所以Eq.(B1)简化为,即,(B2),2020/4/26,第四章分离变量法3,31,例题.在矩形域0xa，0yb上求解泊松方程的边值问题,解：先找一个特解v.显然v=-x2满足泊松方程。另外,也满足泊松方程。取c1=a，c2=0，即,令u=v+w，则w满足齐次边界条件定解问题,附录C：补充例题,(C1),(C2),(C3),2020/4/26,第四章分离变量法3,32,注意到x方向是两端固定，本征函数已知，按其展开得,将试探解代入泛定方程，得,即,(C4),2020/4/26,第四章分离变量法3,33,另一方面，由y方向的边界条件得,而x(x-a)可展开成傅里叶正弦级数,其中系