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文档简介

在这里，我回答一下大家比较关心的几个问题。大家疑惑的第一个问题是，为什么线性效用函数、里昂悌夫（L型）效用函数和柯布-道古拉斯效用函数这三中常见的效用函数是等替代弹性（constant elasticity of substitution, or CES）效用函数的特例。我对此给出以下证明。首先，我先阐明一下弹性（elasticity）的定义。y对x的弹性是指，x变动百分之一将引起y变动百分之几。写成数学式即：。弹性概念的好处在于百分比是没有单位的，因此弹性不受度量单位的影响。常见的弹性如需求弹性（需求量对价格的弹性）等。替代弹性也是弹性的一种。在替代弹性的概念中，y对应的是两种商品的相对需求量（需求量之比），x对应的是两种商品的相对价格（价格之比）。比如，和分别代表两种商品，则它们之间的替代弹性就是：。如果我们写成微分的形式，那么：。有了替代弹性的概念之后，我再来介绍等替代弹性效用函数的一般形式。设及。对两种商品的等替代效用函数具有如下一般形式：。该效用函数下，两种商品之间的替代弹性为什么是常数呢？首先，根据课堂上的学习我们知道：。而，。所以，即，亦即。代入替代弹性的定义式，有。一般来说，x的相对价格上升会导致x的相对需求量下降，所以上面定义的是个负数。由于习惯问题，我们常常在它前面加上一个负号，以将其变成正数。这样，新定义的替代弹性就是。换言之，。于是，等替代弹性效用函数就可以写成：。下面，请考察三种情况。1、此时，故，。所以。也就是说，当替代弹性趋向于无穷，等替代弹性效用函数即为线性效用函数。2、此时，而。当xy时，所以。同理，当yx，也有。此外，显然有当x=y，U=x=y。所以，Umin(x,y)。也就是说，当替代弹性趋于0，等替代弹性效用函数即为里昂悌夫（L型）效用函数。3、此时，。注意到该式分子和分母均趋于0，故而用洛比塔法则。所以，。也就是说，当替代弹性趋于1，等替代弹性效用函数即为柯布-道古拉斯效用函数。最后，书本和讲义上的等替代弹性效用函数的形式是：。事实上，通过一个单调变换就可以将其化成上文中一般的形式。定义：，则。接下来，我回答一下大家关心的库恩-塔克条件问题。简单起见，我们考虑只有一个商品的情况：。令a和b为实数，则上面问题等价于：。这样，不等约束最优化问题就化成大家熟悉的等式约束最优化问题了。于是，按部就班地，可以写下拉格朗日方程：。其一阶条件有：最后一个式子表明，或者或者b=0。若，则。若b=0，则x=0。所以，总有。另外，U是凹函数，I-px-a2和x-b2也是凹函数（线性函数是凹函数
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