2019_2020学年高中数学课时分层作业23平面的法向量与平面的向量表示（含解析）新人教B版.docx

课时分层作业(二十三)平面的法向量与平面的向量表示(建议用时：60分钟)基础达标练一、选择题1设平面的法向量为(1，2,2)，平面的法向量为(2，4)，若，则等于()A2B4C2D4D，(1，2,2)m(2，4)，4.2若平面，的法向量分别为a(1,2,4)，b(x，1，2)，并且，则x的值为()A10 B10 C. DB因为，所以它们的法向量也互相垂直，所以ab(1,2,4)(x，1，2)0，即x280，解得x10.3已知(2,2,1)，(4,5,3)，则平面ABC的一个单位法向量可表示为()Aa(1,2，2) BaCa DaC设平面的法向量为a(x，y，z)，则有，令z1，得y1，x，a故平面ABC的一个单位法向量为a.4已知(3,1,2)，平面的一个法向量为n(2，2,4)，点A不在平面内，则直线AB与平面的位置关系为 ()AAB BABCAB与相交但不垂直 DABD因为n2(3)(2)1420，所以n.又点A不在平面内，n为平面的一个法向量，所以AB，故选D.5如图所示，在三棱锥PABC中，PABC，PBAC，点G是P在平面ABC内的射影，则G是ABC的()A内心 B外心C垂心 D重心C连接AG，BG(图略)，则AG，BG分别为AP，BP在平面ABC内的射影因为PABC，所以由三垂线定理的逆定理知AGBC，同理，BGAC，所以G是ABC的垂心故选C.二、填空题6已知l，且l的方向量为(2，8,1)，平面的法向量为(1，y,2)，则y_.l，(2，8,1)(1，y,2)0，而218y20，y.7若A，B，C是平面内的三点，设平面的法向量a(x，y，z)，则xyz_.23(4)由题意，知，.由于a为平面的法向量，所以a0，a0，即，所以，所以xyzyy23(4)8已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果(2，1，4)，(4,2,0)，(1,2，1)对于结论：APAB；APAD；是平面ABCD的法向量；.其中正确的是_(填序号)(1,2，1)(2，1，4)122(1)(1)(4)0，APAB，即正确(1,2，1)(4,2,0)1422(1)00.APAD，即正确又ABADA，AP平面ABCD，即是平面ABCD的一个法向量，正确不正确三、解答题9.如图所示，已知四棱锥PABCD的底面是直角梯形，ABCBCD90，ABBCPBPC2CD，侧面PBC底面ABCD.求证：PABD.证明如图，取BC的中点O，连接AO交BD于点E，连接PO.因为PBPC，所以POBC.又平面PBC平面ABCD，平面PBC平面ABCDBC，所以PO平面ABCD，所以AP在平面ABCD内的射影为AO.在直角梯形ABCD中，由于ABBC2CD，易知RtABORtBCD，所以BEOOABDBADBCDBA90，即AOBD.由三垂线定理，得PABD.10已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点(1)求证：A1EBD；(2)若平面A1BD平面EBD，试确定E点的位置解以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系设正方体棱长为a，则D(0,0,0)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，A1(a,0，a)，C1(0，a，a)设E(0，a，e)(0ea)(1)(a，a，ea)，(a，a,0)，a2a2(ea)00，即A1EBD.(2)设平面A1BD，平面EBD的法向量分别为n1(x1，y1，z1)，n2(x2，y2，z2)(a，a,0)，(a,0，a)，(0，a，e)即取x1x21，得n1(1，1，1)，n2.由平面A1BD平面EBD得n1n2.n1n220，即e.当E为CC1的中点时，平面A1BD平面EBD.能力提升练1已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则平面ABC的一个单位法向量是 ()A.B.C. D.D(1,1,0)，(1,0,1)设平面ABC的一个法向量为n(x，y，z)令x1，则y1，z1，n(1,1,1)，单位法向量为.2已知平面内有一点M(1，1,2)，平面的一个法向量为n(6，3,6)，则下列点中，在平面内的是()AP(2,3,3) BP(2,0,1)CP(4,4,0) DP(3，4,4)A设平面内一点P(x，y，z)，则(x1，y1，z2)n(6，3,6)是平面的法向量，n，n6(x1)3(y1)6(z2)6x3y6z21，由n0得6x3y6z210，2xy2z7.把各选项的坐标代入上式可知A选项适合3如图所示，已知PO平面ABC，且O为ABC的垂心，则AB与PC的关系是_垂直O为ABC的垂心，COAB.又OC为PC在平面ABC内的射影，由三垂线定理知ABPC.4设u，v分别是平面，的法向量，u(2,2,5)，当v(3，2,2)时，与的位置关系为_；当v(4，4，10)时，与的位置关系为_u，v分别为平面，的法向量且u(2,2,5)，当v(3，2,2)时，uv64100，uv，即，当v(4，4，10)时，v2，uv，即.5如图所示，在三棱锥PABC中，ABAC，点D为BC的中点，PO平面ABC，垂足O落在线段AD上已知BC8，PO4，AO3，OD2.(1)证明：APBC；(2)若点M是线段AP上一点，且AM3，试证明平面AMC平面BMC.证明建立如图所示的空间直角坐标系，则O(0,0,0)，A(0，3,0)，B(4,2,0)，C(4,2,0)，P(0,0,4)，(1)(0,3,4)，(8,0,0)，所以(0,3,4)(8,0,0)0，所以，即APBC.(2)由(1)知|