五、空间解析几何

五、空间解析几何1、基本概念（1）空间两点和间的距离：（2）向量在轴u上的投影：Prju= (其中，是向量与轴u的夹角)（3）向量的定比分点：设、为两已知点，是向量的定比分点，则： ， (注：AM和MB是有向线段) ， ，当M为的中点时，有： ， ，（4）方向余弦：或，且有：其中、是向量与各坐标轴的夹角，、是向量在各坐标轴上的投影。（5）两向量的数量积、向量积和混合积数量积：=+(推论：两向量夹角余弦：)数量积的性质：=数量积的运算规律：交换律：=分配律：(+)=+结合律：()=()向量积：=(代表以为邻边的平行四边形的面积)向量积的性质： =0向量积的运算规律：反交换律：=-分配律：(+)=+结合律：()=()=() (为数)混合积：=()=(当为锐角时，代表以三个向量组成的平行六面体的体积。)混合积的运算规律：轮换对称性：反交换律：（6）向量之间的关系(设)向量，之间的夹角：向量，共线存在不全为零的，使得向量共面=0存在不全为零的使得向量在上的投影：2、空间曲面（1）球面：一般式：标准式： (圆心为，半径为R)（2）旋转曲面：(设曲线L：在YOZ坐标面上)曲线L绕Z轴旋转所成曲面方程：曲线L绕Y轴旋转所成曲面方程：（3）柱面：母线平行于Z轴的柱面：曲面方程只含x,y而缺z，其准线是XOY面上的曲线L：；母线平行于Y轴的柱面：曲面方程只含x,z而缺y，其准线是XOZ面上的曲线L：；母线平行于X轴的柱面：曲面方程只含y,z而缺x，其准线是YOZ面上的曲线L：；常见柱面及其方程圆柱面：椭圆柱面：双曲柱面：抛物柱面：（4）二次曲面椭球面：椭球面：(当时，变为球面方程：)旋转椭球面：(Z轴为旋转轴)抛物面：椭圆抛物面： ()旋转抛物面： ()双曲抛物面(鞍形曲面)：()双曲面：单叶双曲面：双叶双曲面：二次锥面：（5）空间曲面的切平面与法线空间曲面的法向量为：空间曲面上点处的法线方程为： 或 空间曲面上点处的切平面方程为：（6）旋转体的体积极坐标图形绕极轴旋转所成旋转体体积：平面图形绕轴旋转所成旋转体体积：曲线绕轴旋转所成旋转体表面积：古尔金定理(轮胎定理)：平面图形(设面积为)绕不与它相交的轴旋转(图形重心与旋转轴的距离，即旋转半径为)，所得旋转体体积为：3、空间曲线（1）空间曲线方程一般式： (空间曲线可看作两个曲面的交线)参数式： (如螺旋线方程为： )（2）空间曲线的切线与法平面空间曲线的切向量：一般式方程的切向量为：参数式方程的切向量为：设是空间曲线在点处的切向量，则其切线方程为： 或 设是空间曲线在点处的切向量，则其法平面方程为：4、空间平面（1）空间平面方程：一般式：(其中，是平面的法向量)点法式：(其中，是平面上一点，是平面的法向量)截距式：(其中，、是平面在三个坐标轴上的截距)三点式： 或 (其中，是平面上不共线的三点)过直线L：的平面束的方程：（2）空间两平面间的夹角：（3）空间两平面间的位置关系：平行： 或 重合：垂直： (即)（4）点到空间平面的距离：5、空间直线（1）空间直线方程：一般式： (空间直线可看作两个平面的交线)对称式(点向式)：(其中，是直线上一点，是直线的方向向量)两点式：(，是直线上两点)参数式：（2）空间两直线间的夹角：（3）空间两直线间的位置关系：平行：重合： (其中，、分别为两直线上的点)垂直：(即)异面：(其中，、分别为两直线上的点)（4）空间直线与平面间的夹角：（5）空间直线与平面间的位置关系：平行：(即)垂直： 或 （6）