高等数学2知识点总复习ppt课件

.,高等数学总复习,.,知识点1.数量积、向量积、夹角余弦；,.,知识点1.数量积、向量积、夹角余弦；,/,/,.,解,.,解,.,知识点2：平面及其方程（三种形式）,平面的点法式方程:,平面的一般方程:,平面的截距式方程:,两平面夹角余弦公式:,/,.,取法向量,化简得,所求平面方程为,解,.,设平面为,由所求平面与已知平面平行得,（向量平行的充要条件）,解,.,化简得,所求平面方程为,.,知识点3：空间直线及其方程,空间直线的一般方程:,直线的参数方程:,直线的对称式方程:,两直线的夹角公式,.,平面:,垂直：,平行：,夹角公式：,直线:,机动目录上页下页返回结束,知识点3：空间直线及面线间的关系方程,.,例.求直线,与平面,的交点.,提示:化直线方程为参数方程,代入平面方程得,从而确定交点为（1，2，2）.,机动目录上页下页返回结束,.,解,所求直线方程,方法2:设,.,练习:设有直线,与,则L1与L2的夹角为,注L1和L2的方向向量分别为和,.,知识点4：二元函数的定义域与极限,例6求的定义域,解,所求定义域为,.,例7求极限,解,其中,.,求极限:,.,知识点5：二元函数求偏导数；,多元复合函数链式法则:,.,特殊地,即,令,其中,两者的区别,区别类似,.,例,解:,机动目录上页下页返回结束,.,.,例.,设F(x,y)具有连续偏导数,解利用偏导数公式.,确定的隐函数,则,已知方程,机动目录上页下页返回结束,故,.,多元函数连续、可导、可微的关系,.,.,（A）充分条件而非必要条件,（B）必要条件而非充分条件,（C）充分必要条件,（D）既非充分条件又非必要条件,.,(A)连续、偏导数存在,（B）连续、偏导数不存在,(C)不连续、偏导数存在,（D）不连续、偏导数不存在,偏导数存在，又当（x，y）沿y=kx趋向于（0，0）时,随着k的不同，该极限值也不同，所以极限不存在，f(x，y)在（0，0）不连续。,.,解,.,解,.,解,令,记,同理有,.,于是,.,解,令,.,练习:设,求,解,令,则,.,知识点6：多元函数微分学的几何应用,1.曲线切线方程:,2.曲线的法平面：,3.切平面方程:,4.曲面的法线方程为:,.,解,切平面方程为,法线方程为,.,.,5.方向导数与梯度,（归纳）：求曲线的切线及法平面,(关键:抓住切向量),求曲面的切平面及法线(关键:抓住法向量),机动目录上页下页返回结束,求函数的方向导数和梯度,.,一、方向导数,设函数zf(x,y)在点P0(x0y0)的某一邻域U(P0)内有定义l是xOy平面上以P0(x0y0)为始点的一条射线与l同方向的单位向量为el(coscos),存在,则称此极限为函数f(x,y)在点P0沿方向l的方向导数,记为,取P(x0tcosy0tcos)U(P0)如果极限,方向导数,.,一、方向导数,设函数zf(x,y)在点P0(x0y0)的某一邻域U(P0)内有定义l是xOy平面上以P0(x0y0)为始点的一条射线与l同方向的单位向量为el(coscos),方向导数,方向导数就是函数f(xy)在点P0(x0y0)处沿方向l的变化率,.,一、方向导数,设函数zf(x,y)在点P0(x0y0)的某一邻域U(P0)内有定义l是xOy平面上以P0(x0y0)为始点的一条射线与l同方向的单位向量为el(coscos),方向导数,如果函数zf(x,y)在点P0(x0y0)可微分,那么函数在该点沿任一方向l(el(coscos)的方向导数都存在,且有,定理(方向导数的计算),.,讨论函数f(x,y)在点P沿x轴正向和负向,沿y轴正向和负向的方向导数如何?,提示,函数f(x,y)在点P0沿方向l(el(coscos)的方向导数,.,例求f(xyz)xy2z3xyz在点(112)沿方向l的方向导数其中l的方向角分别为604560,解,与l同向的单位向量为,因为函数可微分且,所以,fx(112)(y2-yz)|(112)-1,fy(112)(2xy-xz)|(112)0,fz(112)(3z2-xy)|(112)11,.,二、梯度,梯度的定义,函数zf(x,y)在点P0(x0y0)的梯度:gradf(x0y0)fx(x0y0)ify(x0y0)j,梯度与方向导数,如果函数f(xy)在点P0(x0y0)可微分el(coscos)是与方向l同方向的单位向量,则,gradf(x0y0)el|gradf(x0y0)|cos(gradf(x0y0),el),.,函数在一点的梯度是这样一个向量,它的方向与取得最大方向导数的方向一致,而它的模为方向导数的最大值.,二、梯度,梯度的定义,函数zf(x,y)在点P0(x0y0)的梯度:gradf(x0y0)fx(x0y0)ify(x0y0)j,梯度与方向导数,|gradf(x0y0)|cos(gradf(x0y0),el),如果函数f(xy)在点P0(x0y0)可微分el(coscos)是与方向l同方向的单位向量,则,.,例求grad,解这里f(x，y),因为,，,，,所以grad,例设f(x，y，z)x3xy2z，求gradf(1,1,0),解gradf(fx，fy，fz)(3x2y2,2xy,1)，于是gradf(1，1，0)(2,2,1),函数在此点沿方向(2,-2,-1)增加率最大,其值为3.,机动目录上页下页返回结束,函数在此点沿方向(-2,2,1)减少率最大,其值为-3.,.,说明:使偏导数都为0的点称为驻点.,例如,定理1(必要条件),函数,偏导数,但驻点不一定是极值点.,有驻点(0,0),但在该点不取极值.,且在该点取得极值,则有,存在,知识点7：多元函数的极值及其求法,.,.,例.,求函数,解:第一步求驻点.,得驻点:(1,0),(1,2),(3,0),(3,2).,第二步判别.,在点(1,0)处,为极小值;,解方程组,的极值.,求二阶偏导数,机动目录上页下页返回结束,.,在点(3,0)处,不是极值;,在点(3,2)处,为极大值.,在点(1,2)处,不是极值;,机动目录上页下页返回结束,.,.,解,则,2x=3y,y=2z,.,知识点8：二重积分的性质与计算,性质,当为常数时，,性质,性质,对区域具有可加性,.,性质4,若在D上,则有,性质5,性质6,.,二重积分的计算,1.二重积分化为累次积分的方法,直角坐标系情形:,若积分区域为,则,若积分区域为,则,机动目录上页下页返回结束,.,先确定积分次序(先看被积函数,再看被积区域D)先积后定限,限内画条线,先交为下限,后交上限写.,.,解,积分区域如图,.,则,2.极坐标系情形:若积分区域为,机动目录上页下页返回结束,则,.,例.计算,其中D是直线,所围成的闭区域.,解:由被积函数可知,因此取D为X型域:,先对x积分不行,说明:有些二次积分为了积分方便,还需交换积分顺序.,机动目录上页下页返回结束,.,三重积分的计算方法,方法1.“先一后二”(投影法),方法2.“先二后一”(截面法),方法3.“三次积分”,机动目录上页下页返回结束,1.直角坐标情形:,.,2.不同坐标系的三重积分,积分区域多由坐标面,被积函数形式简洁,或,变量可分离.,围成;,机动目录上页下页返回结束,其中,其中,.,其中为由,例.计算三重积分,所围,解:在柱面坐标系下,及平面,柱面,成半圆柱体.,机动目录上页下页返回结束,.,知识点9：重积分的应用,（1）平面区域的面积,（2）曲面的面积,.,例.计算双曲抛物面,被柱面,所截,解:曲面在xoy面上投影为,则,出的面积A.,机动目录上页下页返回结束,.,知识点10：两类曲线积分及格林公式,.,例16,解,例17,解,.,第二类曲线积分几种特殊情形的计算:,.,曲线积分,第一类(对弧长),第二类(对坐标),(1)统一积分变量,定积分,用参数方程,用直角坐标方程,用极坐标方程,(2)确定积分上下限,第一类:下小上大,第二类:下始上终,机动目录上页下页返回结束,.,两类曲线积分之间的联系：,.,平面上曲线积分与路径无关的等价条件,定理.设D是单连通域,在D内,具有一阶连续偏导数,(1)沿D中任意光滑闭曲线L,有,(2)对D中任一分段光滑曲线L,曲线积分,(3),(4)在D内每一点都有,与路径无关,只与起止点有关.,函数,则以下四个条件等价:,在D内是某一函数,的全微分,即,机动目录上页下页返回结束,定理证明采用,.,解,.,例.计算曲线积分,其中为螺旋,的一段弧.,解:,线,机动目录上页下页返回结束,.,例.计算,其中L为一无重点且不过原点,的分段光滑正向闭曲线.,解:令,设L所围区域为D,由格林公式知,机动目录上页下页返回结束,.,在D内作圆周,取逆时,针方向,对区域,应用格,记L和l所围的区域为,林公式,得,机动目录上页下页返回结束,.,例.验证,是某个函数的全微分,并求,出这个函数.,证:设,则,由定理2可知,存在函数u(x,y)使,。,。,机动目录上页下页返回结束,.,知识点11：两类曲面积分及高斯公式,则,则,则,.,.,两类曲面积分之间的联系,.,知识点:常数项级数的收敛与发散条件收敛与绝对收敛,结论:级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变.,结论:收敛级数可以逐项相加与逐项相减.,.,比较判别法:,可作为参考的级数:几何级数,P-级数(包括调和级数).,.,比值判别法:,根式判别法:,.,.,.,.,例求下列幂级数的收敛域:,.,2.和函数的运算性质:,.,幂级数求和与函数展开成幂级数,求和,2.映射变换法,逐项求导或求积分,对和式积分或求导,1.初等变换法:先求部分和极限,再分解(裂项相消法),最后套用收敛的等比级数的求和公式等方法;,（在收敛区间内）,机动目录上页下页返回结束,直接展开法,间接展开法,利用已知展式的函数及幂级数性质,利用泰勒公式,3.函数的幂级数展开法,.,例.求幂级数,的和函数,解:易求出幂级数的收敛半径为1,收敛,机动目录上页下页返回结