空间解析几何与向量代数.ppt

第八章空间解析几何与向量代数,第一节向量及其线性运算,一、向量概念,1.向量:既有大小,又有方向的量,称为向量(或矢量).,用一条有方向的线段来表示向量.,2.向量的几何表示法,以线段的长度表示向量的大小,特别:模为1的向量称为单位向量.,模为0的向量称为零向量.记为,它的方向可以看作是任意的.,有向线段的方向表示向量的方向.,3.自由向量,自由向量:只有大小、方向,而无特定起点的向量.具有在空间中可以任意平移的性质.,大小相等且方向相同,4.向量相等,即通过平移,可以使它们重合,5.向量平行(或共线),6.向量共面,当把若干个向量的起点放在一起时,若它们的终点和公共起点在一个平面上,则称这些向量共面.,1.向量的加减法,(1)平行四边形法则,(2)三角形法则,向量的加法,二、向量的线性运算,向量加法的运算规律:,(1)交换律:,(2)结合律:,多个向量相加:,例如,向量的减法,(2)向量减法.,规定:,(1)负向量:与模相同而方向相反的向量,称为的负向量,记作.,将之一平移,使起点重合,由的终点向的终点作一向量,即为,2.向量与数的乘法,定义,模:,当0时,当0时,当=0时,设为实数.,规定:向量与数的为一个向量.,方向:,向量与数的乘积的运算规律:,(1)结合律:,(2)分配律:,定理,向量的单位化:,试用向量证明三角形两边中点的连线平行于第三边,且其长度等于第三边的一半.,例1,证,所以,所以,且,例2,证,练习：,定点,横轴,纵轴,竖轴,空间直角坐标系,三个坐标轴的正方向符合右手系.,三、空间直角坐标系,15,面,面,面,空间直角坐标系共有八个卦限,空间的点,有序数组,特殊点的表示:,坐标轴上的点,坐标面上的点,一个分量为零:点在坐标面上.,两个分量为零:点在坐标轴上.,向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标,设点M(x,y,z),以分别表示沿x,y,z轴正向的单位向量,称为基本单位向量.,向量在轴上的投影,向量在轴上的投影,向量在轴上的投影,设点M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2),按基本单位向量的坐标分解式：,在三个坐标轴上的分向量：,向量的坐标：,向量的坐标表达式：,特殊地：,四、利用坐标作向量的线性运算,两向量平行的充要条件.,即ax=bx,ay=by,az=bz,于是,即对应的坐标成比例.,注:在上式中规定,若某个分母为零,则相应的分子也为零.,已知,例3,解,由题意知：,五、向量的模、方向角、投影,1.向量的模与两点间的距离公式,由勾股定理知，,此即向量模的坐标表示.,为空间两点,则,由此得到两点间的距离公式：,在z轴上求与两点A(4,1,7)和B(3,5,2)等距离的点.,设该点为M(0,0,z),由题设|MA|=|MB|,即,解得,即所求点为,例4,解,2.方向角与方向余弦,空间两向量的夹角的概念：,类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角.,特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在0与之间任意取值.,非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角.,非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角.,由图分析可知,向量的方向余弦,方向余弦通常用来表示向量的方向.,非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角.,向量方向余弦的坐标表示式,方向余弦的特征,特殊地：单位向量的方向余弦为,例5,解,模:,方向余弦:,方向角:,例6,解,3.向量在轴上的投影,空间一点在轴上的投影,空间一向量在轴上的投影,关于向量的投影定理(1),证,两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴上的投影之和.,关于向量的投影定理(2),（可推广到有限多个）,关于向量的投影定理(3),练习：,P12习题8-12.5.8.11.12.13.16.18,解:由物理知,与位移平行的分力作功,与位移垂直的分力不作功.于是,第二节数量积向量积混合积,一、两向量的数量积(ScalarProduct),数量积也称为“点积”、“内积”.,结论两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积.,定义,关于数量积的说明：,证,证,数量积符合下列运算规律：,（1）交换律：,（2）分配律：,（3）若为数：,若、为数：,利用向量证明三角形的余弦定理,例1,证,例2,证,所以,数量积的坐标表达式,设,两向量夹角余弦的坐标表示式,由此可知两向量垂直的充要条件为,例3,解,二、两向量的向量积(VectorProduct),先研究物体转动时产生的力矩,定义,向量积也称为“叉积”、“外积”.,注:（1）向量积的模的几何意义.,向量积符合下列运算规律：,（1）,（2）分配律：,（3）若为数：,例4,向量积的坐标表示式,设,向量积还可用三阶行列式表示,例5,解,三角形ABC的面积为,例5,解,三、向量的混合积(TripleScalarProduct),定义,设,-混合积的坐标表达式,（1）向量混合积的几何意义：,关于混合积的说明：,解,例6,例7,解,式中正负号的选择必须和行列式的符号一致.,向量的数量积,向量的向量积,向量的混合积,（结果是一个数量）,（结果是一个向量）,（结果是一个数量）,（注意共线、共面的条件）,小结,练习：,P22习题8-22.3.6.8.9.(1)(3)10.12.,一、曲面方程的概念,定义:若曲面S与三元方程F(x,y,z)=0有如下关系:,(1)S上任一点的坐标都满足方程F(x,y,z)=0;,(2)坐标满足方程F(x,y,z)=0的点都在S上;,那末,方程F(x,y,z)=0叫做曲面S的方程,而曲面S叫做方程F(x,y,z)=0的图形.,第三节曲面及其方程,研究空间曲面有两个基本问题：,（2）已知曲面方程，研究曲面形状,（讨论旋转曲面）,（讨论柱面、二次曲面）,（1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程,M,R,例1,解,以下给出几例常见的曲面.,根据题意有,所求方程为,特殊地：球心在原点时方程为,例2,解,根据题意有,化简得所求方程,例3,解,方程的图形是怎样的？,根据题意有,图形上不封顶，下封底,定义,以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.,这条定直线叫旋转曲面的轴,播放,二、旋转曲面,以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.,二、旋转曲面,定义,这条定直线叫旋转曲面的轴,旋转曲线称为该旋转曲面的母线.,旋转过程中的特征：,将代入,母线:,将代入,得方程,所以圆锥面方程为,例4,解,例5,例5,例6,定义,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.,三、柱面,播放,平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.,三、柱面,例如:考虑方程x2+y2=R2所表示的曲面.,在xoy面上,x2+y2=R2表示以原点O为圆心,半径为R的圆.,曲面可以看作是由平行于z轴的直线L沿xoy面上的圆x2+y2=R2移动而形成,称该曲面为圆柱面.,画出下列柱面的图形:,抛物柱面,平面,1方程F(x,y)=0表示:母线平行于z轴的柱面,准线为xoy面上的曲线C:F(x,y)=0.,2方程F(x,z)=0表示:母线平行于y轴的柱面,准线为xoz面上的曲线C:F(x,z)=0.,3方程F(y,z)=0表示:母线平行于x轴的柱面,准线为yoz面上的曲线C:F(y,z)=0.,思考题,指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形？,思考题解答,平面解析几何中,空间解析几何中,斜率为1的直线,方程,二次曲面的定义：,三元二次方程所表示的曲面称之,相应地平面被称为一次曲面,讨论二次曲面性状的截痕法：,用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截,考察其交线(即截痕)的形状,然后加以综合,从而了解曲面的全貌,以下用截痕法讨论几种常见的二次曲面,四、二次曲面,1用坐标面z=0,x=0和y=0去截割,分别得椭圆,(1)椭球面,(1)椭球面,2用平面z=k去截割(要求|k|c),得椭圆,当|k|c时,|k|越大,椭圆越小;,当|k|=c时,椭圆退缩成点.,椭球面的几种特殊情况：,旋转椭球面,球面,球面方程可写为,(2)椭圆抛物面,(2)椭圆抛物面,特殊情况：,-旋转抛物面.,(3)椭圆锥面,特殊情况：,-圆锥面.,(3)椭圆锥面,特殊情况：,-圆锥面.,若方程为,则图形如右图,(4)单叶双曲面,(5)双叶双曲面,(6)双曲抛物面(马鞍面),(6)双曲抛物面(马鞍面),椭圆柱面,还有三种以二次曲线为准线的柱面：,抛物柱面,双曲柱面,思考题,方程,表示怎样的曲线？,思考题解答,表示双曲线.,练习：,P31习题8-34.5.8.(1)(5)10.(4)11.(3),二、旋转曲面,定义,以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.,这条定直线叫旋转曲面的轴,二、旋转曲面,定义,以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.,这条定直线叫旋转曲面的轴,二、旋转曲面,定义,以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.,这条定直线叫旋转曲面的轴,二、旋转曲面,定义,以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.,这条定直线叫旋转曲面的轴,二、旋转曲面,定义,以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.,这条定直线叫旋转曲面的轴,二、旋转曲面,定义,以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.,这条定直线叫旋转曲面的轴,二、旋转曲面,定义,以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.,这条定直线叫旋转曲面的轴,二、旋转曲面,定义,以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.,这条定直线叫旋转曲面的轴,二、旋转曲面,定义,以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.,这条定直线叫旋转曲面的轴,二、旋转曲面,定义,以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.,这条定直线叫旋转曲面的轴,二、旋转曲面,定义,以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.,这条定直线叫旋转曲面的轴,二、旋转曲面,定义,以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.,这条定直线叫旋转曲面的轴,定义,三、柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.,定义,三、柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.,定义,三、柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.,定义,三、柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.,定义,三、柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.,定义,三、柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.,定义,三、柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.,定义,三、柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.,定义,三、柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.,定义,三、柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线