医用高等数学第五章课件ppt课件

.,第五章定积分及其应用,第一节定积分的概念和性质第二节微积分基本定理第三节定积分的换元积分法和分部积分法第四节定积分的近似计算第五节广义积分第六节定积分的应用,.,第一节定积分的概念,定积分的定义定积分的几何意义定积分的性质,.,实例1（求曲边梯形的面积）,问题的提出,.,用矩形面积近似取代曲边梯形面积,显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积,（四个小矩形）,（九个小矩形）,.,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,播放,.,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,.,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,.,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,.,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,.,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,.,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,.,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,.,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,.,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,.,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,.,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,.,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,.,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,.,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,.,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,.,曲边梯形如图所示，,.,曲边梯形面积的近似值为,曲边梯形面积为,.,一、定积分的定义,定义,.,记为,积分上限,积分下限,积分和,.,注意：,.,定理1,定积分的存在性,.,曲边梯形的面积,曲边梯形的面积的负值,二、定积分的几何意义,.,几何意义：,.,例1利用定义计算定积分,解,.,.,对定积分的补充规定:,说明,在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小,三、定积分的性质,.,证,（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）,性质1,.,证,性质2,.,补充：不论的相对位置如何,上式总成立.,例若,（定积分对于积分区间具有可加性）,则,性质3,.,证,性质4,性质5,.,解,令,于是,.,性质5的推论：,证,（1）,.,证,说明：可积性是显然的.,性质5的推论：,（2）,.,证,（此性质可用于估计积分值的大致范围）,性质6,.,解,.,证,由闭区间上连续函数的介值定理知,性质7（定积分中值定理）,积分中值公式,.,使,即,积分中值公式的几何解释：,.,解,由积分中值定理知有,使,.,四、小结,定积分的实质：特殊和式的极限,定积分的思想和方法：,求近似以直（不变）代曲（变）,取极限,.,3定积分的性质,（注意估值性质、积分中值定理的应用）,4典型问题,（）估计积分值；,（）不计算定积分比较积分大小,.,思考题,将和式极限：,表示成定积分.,.,思考题解答,原式,.,第二节微积分基本定理,一、积分上限函数及其导数二、微积分基本定理三、小结,.,变速直线运动中位置函数与速度函数的联系,变速直线运动中路程为,另一方面这段路程可表示为,问题的提出,.,考察定积分,记,积分上限函数,一、积分上限函数及其导数,.,积分上限函数的性质,证,.,由积分中值定理得,.,补充,证,.,例1求,解,分析：这是型不定式，应用洛必达法则.,.,定理3（微积分基本公式）,证,二、微积分基本定理牛顿莱布尼茨(New-Leibnize)公式,.,令,令,牛顿莱布尼茨公式,.,微积分基本公式表明：,注意,求定积分问题转化为求原函数的问题.,.,例2求,原式,例3设,求.,解,解,.,例5求,解,解面积,.,3.微积分基本公式,1.积分上限函数,2.积分上限函数的导数,三、小结,牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系,.,思考题,.,思考题解答,.,第三节定积分的换元积分法和分部积分法,一、换元积分法,二、分部积分法,三、小结,.,定理,一、换元积分法,.,应用换元公式时应注意:,（1）,（2）,.,例1计算,解,令,.,例2计算,解,令,原式,.,证,.,.,奇函数,例4计算,解,原式,偶函数,单位圆的面积,.,证,（1）设,.,（2）设,.,.,推导,二、分部积分公式,.,例6计算,解,令,则,.,例7计算,解,.,例8计算,解,.,几个特殊积分、定积分的几个等式,1.定积分的换元法,三、小结,2.定积分的分部积分公式,（注意与不定积分分部积分法的区别）,.,思考题1,解,令,.,思考题解答,计算中第二步是错误的.,正确解法是,.,思考题2,.,思考题解答,.,第四节定积分的近似计算(自学),一、矩形法,二、梯形法,三、抛物线法,.,第五节广义积分,一、无穷限的广义积分二、无界函数的广义积分,.,一、无穷限的广义积分,.,.,.,两极限均存在称收敛，两极限至少有一个不存在称发散.,上述各广义积分统称为无穷限的广义积分，简称无穷积分.,.,说明,（1）设，则,.,解.,例1计算广义积分.,.,解,极限不存在,是发散的,例2计算广义积分.,.,这里A与B是相互独立的.,（2）当为奇函数时,不能按积分区间关于原点对称的定积分处理为零。因为,.,.,即,二、无界函数的广义积分,定义设在上连续，在点的右邻域内无界,取，若存在，则称此极限为在上的广义积分，记作,这时称广义积分收敛；若极限不存在，称广义积分发散.,.,类似地，设在上连续，在点的左邻域内无界，取，若存在，则称此极限为在上的广义积分，记作，即,.,这时称广义积分收敛；若极限不存在，称广义积分发散.,.,设在上除点外连续，在点的邻域内无界，若广义积分和广义积分都收敛，则称上述两广义积分之和为在上的广义积分，记为，,即,.,这时称广义积分收敛，若上述两极限至少有一个不存在，则称广义积分发散.,说明,（1）在定义中在点的邻域内都无界，这些点均为的无界间断点，也称为的瑕点，故无界函数的广义积分也称为瑕积分.,当为的瑕点时，,.,当为的瑕点时，,当为的瑕点时,.,例4计算广义积分.,解，是瑕点，,.,这个广义积分的几何意义是当时，图中阴影部分趋近于的面积值.,.,例5计算广义积分.,解因为，所以是瑕点，,而，,所以发散.,.,.,注：若按定积分计算（不考虑是瑕点),就会导致以下的错误.,(3)若积分区间是有限的，必须先考察是定积分还是瑕积分，如是瑕积分而按定积分计算就会出现错误，即使是按定积分求得的结果与按瑕积分求得的结果相同，前者的概念也是错误的.,.,例6考察广义积分的敛散性.,解是瑕点，积分区间是无穷区间，,.,先考察的敛散性.,当时，,当时，,.,当时收敛，当时发散；,再考察的敛散性.,当时，,当时，,.,当时收敛，当时发散.,则广义积分发散.,(4)若积分区间是无穷区间，被积函数是无界函数的广义积分，应把广义积分分拆成几项，使每项是单纯的无穷积分或瑕积分，再按各自的积分方法计算.,.,传染病分析,在传染病流行期间人们被传染患病的速度可以近似地表示为,这里的单位是人/天，为传染病开始流行的天数。,（1）什么时候人们患病速度最快？,（2）共有多少人患病？,.,解,（1）设在t时刻人们患病速度最快，由题意得,解得,解得,（2）设当共有x人患病，由题意得,.,三、小结,无穷限的广义积分,无界函数的广义积分,.,一、定积分应用的微元法,二、用定积分求平面图形的面积,三、用定积分求旋转体的体积,第六节定积分的应用,四、平面曲线的弧长,.,变力沿直线所做的功,已知质点的运动速度，求质点的运动路程,一、元素法（ElementMethod）,.,用定积分来计算的量A具有以下特点：,量A与函数f(x)及x的变化区间a,b有关。若f(x)常数，则A=f(x)(ba)。,量A对区间具有可加性。即：把a，b分成若干部分区间，则A相应地被分成了许多部分量之和。,在区间a,b的任一个子区间x,x+x上，部分量Af(x)x。,.,设A是可用定积分表达的量，则计算量A的步骤为：,定积分的微元法,选择函数f(x)，并确定自变量x的变化区间a,b;,在a,b内考虑典型小区间x,x+dx，求出相应于这个小区间的部分量A的近似值f(x)dx。称f(x)dx为量A的微元，记为dA=f(x)dx。,计算A=,应用方向：,平面图形的面积、体积及平面曲线的弧长；功、水压力、引力和平均值等,.,二、用定积分求平面图形的面积,用微元法将平面图形的面积表示