第八章——线性动态电路的时域分析

第八章线性动态电路的时域分析,（lineardynamiccircuittimedomainanalysis）,稳态：在前面介绍的电路中，外施激励源不管是交流、直流还是非正弦周期变化的，我们认为其作用在电路上已经很久，因此只要电路的结构和参数一定，电路中的响应也是呈交流、直流或非正弦周期规律变化。电路的这种工作状态称为稳态（steadystate）。,暂态：电路的工作条件突然变更，如开关动作（switching）故障（fault）参数的变化，,电路的稳态遭到破坏，电路中的响应出现变动，经过一段时间后，电路中电流、电压又会达到一个新的稳定值，即达到新的稳态。电路从一个稳态到另一个稳态之间的过渡过程称为暂态。,研究电路的暂态可以确定电力系统的保护措施。避免电路的振荡可获得最优最快的控制特性。,线性动态电路：电路暂态的存在是由于电路包含了电容、电感两种储能元件，其能量的变化需要过程。电容、电感也称为动态元件，含有线性动态元件的电路称为线性动态电路，简称动态电路。,第一节动态电路的初始条件和初始状态,1）换路：电路工作条件的改变称为换路（如开关的接通或扳断、参数的变化）。将换路发生的时刻或时间点称为初始瞬间（initialinstant）记为t=t0,一般取t=0,把换路前趋近于换路时的一瞬间记为t=0-（t=t0-），把换路后的初始瞬间记为t=0+（t=t0+）,2）状态：电路中电容上的电压和电感上的电流直接反映了电路的储能情况，因此常常将uC(t)，iL(t)称为电路的状态。它们是确定电路响应的,一、动态电路的微分方程,3）换路后电路方程：仍由KVL及VCR可得动态电路的微分方程。,最少信息（数据），一般以其为变量即所谓的状态变量列写动态电路的方程。uC(0-)，iL(0-)为换路前瞬间电路的状态，uC(0+)，iL(0+)为换路后初始瞬间的状态，简称初始状态。由初始状态可以确定电路其它电气量换路后初始瞬间的值，即初始条件。,以uc(t)为变量,以iL(t)为变量,二、换路定律,对于线性电容，在任意时刻t其电压（电荷）与电流的关系为：,初始瞬间,一般的电路在换路瞬间通过电容的电流为有限值，同时时间是连续的,所以,电容上电荷和电压换路先后不发生跃变。（通过电流为有限值时）,对于线性电感，在任意时刻t其电流（磁链）与电压的关系为,初始瞬间,一般的电路在换路瞬间加在电感的电压为有限值，同时时间是连续的,所以,电感上磁链和电流换路先后不发生跃变。（所加电压为有限值时）,求得换路前电路稳态时的状态，由换路定律可得电路的初始状态，在t=0+时，将电容看作值为uC(0+)的电压源，电感看作值为iL(0+)的电流源，独立源取t=0+的值，从而建立t=0+的电路模型，求得电路的初始条件。,画出t=0-的电路图，求开关打开前uC(0-),iL(0-),由换路定理，画出t=0+的电路图，,例：图示电路.,进一步可求各阶导数的初始值,例2：图示电路，开关断开前电路已达稳态，t=0时开关S断开，求：,解：,说明：1、由uC(0+)、iL(0+)及激励，就能确定电路(t0+)的其他初始值；2、uC(0+)、iL(0+)称为电路的初始状态，它们反映了电路初始储能状况。,第二节一阶电路的零输入响应,动态电路的响应由两种激励(excitation)产生：独立电源的输入（input)（外施激励源）动态元件储能的释放即初始状态（state）（内部激励源）。外施激励源为零，由初始状态引起的响应称为零输入响应（zero-inputresponse）;初始状态为零，由外施激励源引起的响应称为零状态响应（zero-stateresponse）。外施激励源和初始状态共同引起的响应称为全响应（completeresponse）,一阶电路的定义：换路后，电路中仅含一个或者可以等效为一个储能元件的线性电路，其电路方程是一阶常系数微分方程，称为一阶电路（firstordercircuit）。,一、一阶RC电路的零输入响应,如图所示电路，换路前电路已达稳态，电容器充电至电源电压：,在t=0时，开关突然由a打向b，电容通过电阻R形成回路放电，此时电路已没有外施激励源，,其中的响应由电容的初始状态引起，即零输入响应。,由KVL得：,上式是关于uc的一阶齐次微分方程，,任意一阶RC电路的零输入响应为：,其中A为待定的积分常数，p与式（1）对应的特征方程的特征根。式（1）的特征方程为：,其通解的形式为：,一阶RC电路的零输入响应有以下特点：,换路瞬间电容电压保持不变，电流发生突变形成放电过程。换路后，所有的响应都是按相同的指数规律衰减。,衰减的指数规律仅由电路的结构和参数决定与变量的选择无关。,衰减的速度取决于1/RC（衰减系数）。,响应与其初始值成正比。初始值增大几倍，响应增大几倍。,一阶RC电路的零输入响应是靠电容中储存的电场能的释放维持，释放的能量同时被电阻消耗，暂态过程最后以能量的耗尽而告终。此为一阶RC电路的零输入响应的实质。WR=WC,一阶CR电路的零输入响应的求解步骤：,求解电路换路前的状态。,求时间常数：,求解电路换路后初始值。（第一节）,代入（*）式。,二、一阶RL电路的零输入响应,如图所示电路，换路前电路已达稳态：,在t=0时，开关突然合上，电感通过电阻R形成回路，此时电感回路已没有外施激励源，,电路中的响应由电感的初始状态引起，即为零输入响应。,由KVL得,上式是关于iL的一阶齐次微分方程,其中A为待定的积分常数，p为与式（1）对应的特征方程的特征根。式（1）的特征方程为,其通解的形式为,一阶RL电路的零输入响应有以下特点：,换路瞬间电感电流保持不变，电压发生突变释放磁场能。换路后，所有的响应都是按相同的指数规律衰减。,衰减的指数规律仅由RL电路的结构和参数决定与变量的选择无关。,衰减的速度取决于R/L（衰减系数）。,响应与其初始值成正比。初始值增大几倍，响应增大几倍。,一阶RL电路的零输入响应是靠电感中储存的磁场能量的释放维持，释放的能量同时被电阻消耗，暂态过程最后以能量的耗尽而告终。此为一阶RL电路的零输入响应的实质。WR=WL,一阶RL电路的零输入响应的求解步骤：,求解电路换路前的状态。,求时间常数：,求解电路换路后初始值。（第一节）,代入（*）式。,线性一阶电路的零输入响应的要点：,响应模式,时间常数取决于电路的结构和参数,一阶电路的零输入响应与其换路后的初始值成正比,例1、已知开关在a时电路处于稳态，t=0时开关由a搬到b，求（1）i=?(t0)。（2）若电源电压由10V变为20V，则此时i为多少？,例2、已知i(0+)=150mA，求响应u=?(t0),解法1、列微分方程求解,第三节一阶电路的零状态响应,一、一阶RC电路的零状态响应,如图所示电路，开关闭合前电容器未充电即处于零状态：,开关闭合后，电源通过R、C形成回路，给电容充电。此时电路的初始状态为零，响应由外施激励源引起，为零状态响应。,此为一阶常系数非齐次微分方程其解由两部分组成：,一阶RC电路的零状态响应：,通解(generalsolution):,特解(particularsolution)：一般与微分方程常数项（外施激励源）的形式相同，是满足原非齐次微分方程的一个解。,由电路知US是换路后电路重新达到稳态即t=+时电容电压。,从上述过程可以看出：,一阶RC电路的零状态响应有以下特点：,电容上的电压（状态）从初始值开始逐渐增加，最后达到新的稳态值。它由两部分组成：,a:稳态分量(steadystatcomponent)：方程的特解即电路达到稳态时的稳态值。它受外施激励源制约，也称为强制分量(forcedcomponent),b:暂态分量(transientcomponent)：方程的通解其变化规律与零输入响应相同按指数规律衰减为零，只在暂态过程中出现故称暂态分量。其形式与外施激励源无关也称为自由分量(force-freecomponent)。起始值与外施激励源有关。,电流在换路瞬间发生突变，其值为US/R即换路后的初始值，电路以此值开始给电容充电，随着极板上的电荷增多电容电压的增大，i=(US-uC)/R减小，最后为零，电容电压为US。,一阶RC电路的零状态响应实质是电路储存电场能的过程。电源在充电过程中提供的能量，一部分转化成电场能储存在电容中，一部分被电路中的电阻消耗。且有WC=WR电源提供的能量只有一半储存在电容中。充电效率50，与电阻电容数值无关。,二、RL电路的零状态响应,如图所示电路，开关闭合前电感中无电流电路即处于零状态：,开关闭合后电源通过R、L形成回路，此时电路的初始状态为零，响应由外施激励源引起，为零状态响应。,其解由两部分组成：,一阶RL电路的零状态响应有以下特点：,电感上的电流（状态）从初始值开始逐渐增加，最后达到新的稳态值。其暂态分量和稳态分量的意义与RC电路相同。,电压在换路瞬间发生突变，其值为US即换路后的初始值，电路以此值开始在线圈中储存磁场能。,一阶RL电路的零状态响应实质是电路储存磁场能的过程。电源提供的能量，一部分转化成磁场能储存在电感中，一部分被电路中的电阻消耗。且有WL=WR电源提供的能量只有一半储存在电感中。储能效率50，与电阻电感数值无关。,外施激励源为直流时一阶电路的零状态响应的求解步骤如下：,求出换路后动态元件以外的戴维南等效电路。,据状态变量的响应模式得,回到换路后的原电路，利用uC（或iL）按电路的基本约束关系求解其它电压和电流。,三、外施激励源为正弦量的一阶电路零状态响应,在图示一阶RL零状态电路中，若,其解由两部分组成,特解：与外施激励源的变化规律相同。电路达到稳态时的稳态值，是与外施激励源同频率的正弦量。用相量法求之：,通解(暂态分量)：,(稳态分量在起始时刻的值),电感电流,电感电流由稳态分量和暂态分量共同组成。暂态分量经一定时间衰减后，电路进入稳定状态。暂态分量的大小与稳态分量起始时刻的值成正比。,外施激励源为交流时的一阶电路零状态响应的求解步骤：,求出换路后动态元件以外的戴维南等效电路。,据状态变量的响应模式得：,回到换路后的原电路，利用uC（或iL）按电路的基本约束关系求解其它电压和电流。,外施激励源为正弦量时的一阶电路零状态响应实为求解稳态值和时间常数两要素。直流激励可看作正弦激励的特例。,解：求出换路后动态元件以外的戴维南等效电路。,例1、书上279页，习题8-12,第四节一阶电路的全响应三要素法,对线性电路，由叠加原理可知，全响应为零输入响应和零状态响应之和。如图所示一阶RC电路：,说明（1）各分量含义不同，分量之间不存在一一对应关系。（2）零输入响应、零状态响应是着眼于电路中的因果关系，而暂态和稳态分量是从电路的两种工作状态考虑。,线性一阶电路任意一个电路变量的全响应都可分为稳态分量（特解）和暂态分量（通解）,对于状态变量，“”式第一部分为零状态响应，第二部分为零输入响应。对于非状态变量则不然。,稳态分量、初始值和时间常数称为一阶电路的三个要素，按式（1）来求全响应的方法称为“三要素法”。,说明：只适用于一阶线性电路。要具有稳态分量。同样适用于计算零输入响应、零状态响应。,例1、假设开关闭合前电路已处于稳态，求响应iL(t)?t0。,解：,例2、图示含受控源电路，已知iL(0-)=-1A，开关闭合前电路处于稳定状态。求uL(t)?t0。,例3、电路在开关闭合前处于零状态，求开关闭合后的i(t)？此电路电流能否一跃而致稳态，若可能，各个电路参数应如何选配？,解：可视为两个一阶电路的并联,第五节一阶电路的阶跃响应和冲激响应,一、单位阶跃函数（unitstepfunction）,在前述电路中当t=0时换路，将电源接入电路的过程可用下列方法表示：,这一切换特性可用阶跃函数表示。,特性：,可描述任意函数的起始和终止即定义域，具有“裁剪”的作用，称其为闸门函数。,将分段函数写成封闭形式,二、单位冲激函数（unitimpulefunction）,“强度”为K的延时的单位冲激函数,延时的单位冲激函数,特性：采样性或筛分性,三、单位冲激函数与单位阶跃函数的关系,说明：冲激函数能把一个函数在冲激函数存在时刻的函数值筛分出来。,四、一阶电路的阶跃响应,阶跃响应：零初始状态电路，在单位阶跃电压（电流）的激励下所引起的响应。据零状态响应的求解方法,任意恒定输入时的零状态响应是单位阶跃响应的线性函数：,利用线性电路的特性，多次换路的情况看作不同阶跃响应的叠加。,例8-10图示电路接入图示的矩形脉冲电压，已知uC(0)=0，试求：uC及i。,解：,五、一阶电路的冲激响应：零初始状态电路在单位冲激函数激励下所引起的响应。,当电容有冲激电流通过时，电容电压将发生跃变.,在冲激激励下,电容电压发生跃变,即在换路瞬间,电容短路，电压跃变到1/C,t0以后电路的输入为零,所以电路的冲激响应相当于uc(0+)=1/C所引起的零输入响应。,单位冲激函数是单位阶跃函数的一阶导数，据线性电路的特性则单位冲激响应是单位阶跃响应的一阶导数。,例8-11、图示电路已知iL(0-)=0，输入为冲激电压源。试求iL和uL的冲激响应。,例：已知R1=600，R2=400，L=100mH。求冲激响应iL，uL？,例：求零状态响应us(t)?,第六节线性二阶动态电路的分析,二阶电路：换路后，电路含有两个独立的线性储能元件。独立性是指：两个电容不构成纯电容回路（含电压源），两个电感不构成纯电感割集（含电流源）。其电路方程是二阶常系数微分方程，称为二阶电路（secondordercircuit）。,以uc(t)为变量,此为二阶常系数线性非齐次微分方程,一、二阶电路的零输入响应,上述电路中若外施激励为零，由动态电路的初始状态引起的响应则为二阶电路的零输入响应，其对应的微分方程为：,特征方程：,一、二阶电路的零输入响应：,特征根,具体解的情况如下：,具体解的情况,电容始终在放电；电感开始储存磁场能，到达最大后释放；电阻始终耗能。,具体解的情况,电容开始充电，储存电场能到最大后放电；电感开始释放磁场能，后储存磁场能到达最大后释放；电阻始终耗能。,电感、电容的能量的变化过程介于上述两种情况之间。,由以上三种情况可看出，由于电阻值较大，电容和电感能量非振荡的释放完毕。电路这一非振荡衰减过程也称为过阻尼(over-damped)工作状态。,具体解的情况,变化过程如图：,电路这一接近振荡衰减过程也称为临界阻尼(critically-damped)工作状态。,由于电阻较小，L、C周期性的交换能量，呈振荡衰减的变化趋势。称为欠阻尼(under-damped)工作状态,具体解的情况,无阻尼等幅振荡（no-dampedoscillation）,二、任意二阶电路零输入响应的求解,列写微分方程（最好以状态量为变量）,一般的二阶电路,将动态元件用独立源替代，电路变为电阻电路，求解其它电气量,例.已知电路换路前处于稳态，求换路后uC(t)?t0。,三、二阶电路的零状态响应,其解由两部分组成,（1）通解：,（2）特解：与微分方程常数项形式相同,（3）完全解：,（4）,四、激励为冲激函数的零状态响应,根据跃变以后的初始值按零输入的响应模式求解。,零状态响应与一阶电路的冲激响应相似，可按电路的物理过程分两步求解。,此微分方程是齐次方程，其求解的方法与零输入响应相同，不再重复。,例8-15.图示电路，已知R=1，L=1H，C=1F，uC(0-)=0，iL(0-)=0，试求冲激响应iL(t)及uC(t)。,五、二阶电路的全响应,（1）叠加法：分别按前述方法求出零输入响应和零状态响应，合成。,（2）直接列写方程法：照求解零状态响应方法，只是确定系数稍有不同。即,对任意电路,第七节状态方程,在二阶电路的分析中，若已解得电容电压和电感电流，则将电容用电压源替代，电感用电流源替代后，电路就变成了电阻电路，此时再列写其它响应的方程则为代数方程，求解就很容易了。因此，对动态电路的分析关键是对状态变量的分析。,状态：指网络在某给定时刻t0所必须具备的一组最少量信息。,状态变量：描述网络状态的一组为数最少的变量。例如电容电压uC和电感电流iL就可以是一组状态变量，亦可取电容电荷q及电感磁链作为状态变量。,一、状态方程和输出方程,图示二阶电路若以一个状态量为变量则列写的是一个二阶微分方程，若以两个状态量(uc,iL)为变量则可列写两个一阶微分方程，即一阶微分方程组：,此式是状态变量的一阶导数与状态变量及外施激励源之间的关系方程，称为状态方程（stateequation）。,一阶线性微分方程组：,矩阵形式,推广：对于具有n个独立的动态元件，m个输入的线性网络，其状态方程可写成以下形式（标准形式）,若状态变量已知，其它的响应（输出量）则为状态变量与输入量的线性组合（输出方程）。,二、状态变量的选取,网络的状态变量的个数就是电路的独立动态元件的个数。也就是