金帆6年级秋季讲义与作业详解(第一讲).doc

六年级第一讲 奇妙的计算中国古代数学算法在古代世界四大文明中，中国数学持续繁荣时期最为长久。从公元前后至公元14世纪，中国古典数学先后经历了三次发展高潮，即两汉时期、魏晋南北朝时期和宋元时期，并在宋元时期达到顶峰。与以证明定理为中心的希腊古典数学不同，中国古代数学是以创造算法特别是各种解方程的算法为主线。从线性方程组到高次多项式方程，乃至不定方程，中国古代数学家创造了一系列先进的算法(中国数学家称之为”术”)，他们用这些算法去求解相应类型的代数方程，从而解决导致这些方程的各种各样的科学和实际问题。特别是，几何问题也归结为代数方程，然后用程式化的算法来求解。以下择要举例说明中国古代数学发展的这种特征。盈不足术:中国古代解决盈亏类问题的一种算术方法。成书于公元1世纪的中国古代数学名著九章算术中，专辟一章名为“盈不足”。其中第一个问题是：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问人数、物价各几何？”这是有关盈不足术的典型问题，求人数时可用如下公式进行求解:【一盈一亏的解法】(盈数+亏数)两次每人分配数的差 【双盈的解法】(大盈-小盈)两次每人分配数的差 【双亏的解法】 (大亏-小亏)两次每人分配数的差割圆术:中国古代从先秦时期开始，一直是取“周三径一”（即圆周周长与直径的比率为三比一）的数值来进行有关圆的计算。但用这个数值进行计算的结果，往往误差很大。正如刘徽所说，用“周三径一”计算出来的圆周长，实际上不是圆的周长而是圆内接正六边形的周长，其数值要比实际的圆周长小得多。东汉的张衡不满足于这个结果，他从研究圆与它的外切正方形的关系着手得到圆周率。这个数值比“周三径一”要好些，但刘徽认为其计算出来的圆周长必然要大于实际的圆周长，也不精确。刘徽以极限思想为指导，提出用“割圆术”来求圆周率，既大胆创新，又严密论证，从而为圆周率的计算指出了一条科学的道路。在刘徽看来，既然用“周三径一”计算出来的圆周长实际上是圆内接正六边形的周长，与圆周长相差很多；那么我们可以在圆内接正六边形把圆周等分为六条弧的基础上，再继续等分，把每段弧再分割为二，做出一个圆内接正十二边形，这个正十二边形的周长不就要比正六边形的周长更接近圆周了吗？如果把圆周再继续分割，做成一个圆内接正二十四边形，那么这个正二十四边形的周长必然又比正十二边形的周长更接近圆周。这就表明，越是把圆周分割得细，误差就越少，其内接正多边形的周长就越是接近圆周。如此不断地分割下去，一直到圆周无法再分割为止，也就是到了圆内接正多边形的边数无限多的时候，它的周长就与圆周“合体”而完全一致了。按照这样的思路，刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形，并由此而求得了圆周率 为3.1415和 3.1416这两个近似数值。这个结果是当时世界上圆周率计算的最精确的数据。刘徽对自己创造的这个“割圆术”新方法非常自信，把它推广到有关圆形计算的各个方面，从而使汉代以来的数学发展大大向前推进了一步。以后到了南北朝时期，祖冲之在刘徽的这一基础上继续努力，终于使圆周率精确到了小数点以后的第七位。在西方，这个成绩是由法国数学家韦达于1593年取得的,比祖冲之要晚了一千一百多年。刘徽所创立的“割圆术”新方法对中国古代数学发展的重大贡献，历史是永远不会忘记的。更相减损术: 更相减损术是出自九章算术的一种求最大公约数的算法，它原本是为约分而设计的，但它适用于任何需要求最大公约数的场合。“更相减损术”可以用来求两个数的最大公约数，即“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。”翻译成现代语言如下：第一步：任意给定两个正整数；判断它们是否都是偶数。若是，则用2约简；若不是则执行第二步。第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止。则第一步中约掉的若干个2与第二步中等数的乘积就是所求的最大公约数。其中所说的“等数”，就是最大公约数。求“等数”的办法是“更相减损”法。实例1、用更相减损术求98与63的最大公约数。解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减：98-63=35;63-35=28;35-28=7;28-7=21;21-7=14;14-7=7所以，98和63的最大公约数等于7。实例2、用更相减损术求260和104的最大公约数。解：由于260和104均为偶数，首先用2约简得到130和52，再用2约简得到65和26。此时65是奇数而26不是奇数，故把65和26辗转相减：65-26=39;39-26=13;26-13=13所以，260与104的最大公约数等于13乘以第一步中约掉的两个2，即13*2*2=52可见，古代数学家非常侧重于解题策略的研究。中国古代数学具有明显的算法化、机械化的特征,这个特征与计算机的算法是一致的。因此,在计算机飞速发展的时代,我国古代的数学文明仍然是我们的宝贵财富,需要我们好好继承.第一讲分数的速算与巧算一、裂项综合1、“裂差”型运算(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即形式的，这里我们把较小的数写在前面，即，那么有(2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：，形式的，我们有：裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x为任意自然数)的，但是只要将x提取出来即可转化为分子都是1的运算。（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值。2、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1） （2）裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。3、整数裂项(1) (2) 二、换元解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简【例题精讲】例1. 例2. 计算： 例3.例4. 例5. . 例6. 计算： 例7. 例8.例9. 例10.例11. 计算：例12. 例13. 计算： 例14. 计算：例15. 计算：例16. 计算： 【巩固练习】1.2. 计算： 3. 4.5. 计算：6. 计算： 7. 8. 计算：9.10. 计算： 11.12.【巩固练习参考答案】1.原式2. 计算： 本题的重点在于计算括号内的算式：这个算式不同于我们常见的分数裂项的地方在于每一项的分子依次成等差数列，而非常见的分子相同、或分子是分母的差或和的情况所以应当对分子进行适当的变形，使之转化成我们熟悉的形式观察可知，即每一项的分子都等于分母中前两个乘数的和，所以所以原式3. 原式（）（）（）（）4.原式5. 计算：原式6. 计算： 原式7. （法1）：可先找通项原式（法2）：原式8. 计算：先找通项公式原式 9.原式1