数学的精彩与危机.doc

数学的精彩与危机数学之于生活是不可或缺的，我们的衣食住行和工作学习处处离不了数学。数学也是很有趣味的。那么，为什么会有些同学总感到数学枯燥无味呢？那是由于在应试教育的重压下，老师家长和学生自己都把数学当成了一个升学的工具和叩门砖，而不是为了真正应用于自己的生活中所造成的。实际上，数学自从它产生的那一刻起就很精彩。远古的洪荒年代，人类如野兽般的茹毛饮血、生啖活吞，那时的人们充其量也就有个“多”和“少”的概念。突然有一天，某人狩猎归来，发现了一只兔子和两只兔子的本质区别，发现了两只兔子和两只鸡之间的本质联系，他极力地想把这种异同表达出来，他涨红了脸、瞪圆了眼、舞动手臂、张大了嘴喊出了也许是开启人类智慧的一声“一二”这真的是很艰难的一件事，同学们，现在我们可以假设一下：假如你根本就不知道“一、二”是怎么写的，我请你想一想，在你的脑海中“什么是一，什么是二”？也许你只能想象得到“一支铅笔，两颗星星，三个苹果”什么的，你所有的想象都是和实物相联系着的，离开了实物，你就很难抓住那些虚无缥缈的抽象的数字。“零”的产生和意识要晚于正整数。不过，虽然艰难，建立数学大厦的砖瓦正在一点点儿的聚积。也许又一次狩猎，我们祖先的石刀掷中了飞奔的兔子，但这只兔子实在是跑的太快了，它的前半身瞬间跑的无影无踪。猎人只好拎了兔子的后半身回来交差，部落族长这么一看：给记一只吧，不行；记为没有吧，也不行。同学们认为应该怎么办？对了，可以用分数或小数。或许这就是分数或小数产生的生活基础了。在这之后的千万年间，数学慢慢的发展丰富起来，数学在生活中的应用也更加广泛了。由于加减乘除的应用，我们的祖先发现了分数和无限循环小数之间的联系；而生活中有盈余和不足，有向上和向下，这使得人们对数字又有了正负之分的意识；由于寒来暑往四季变幻，日出日落月盈月缺，我们有了各种数位进制的产生和应用；由于天文观测和土地丈量，初步产生了零碎的几何知识片段一直到公元前六世纪，人们初步形成了数的概念、有了数学的运算方法、积累了一些数学知识，并成功的把这些数学知识运用到农业、水利、军事、占卜、天文地理、星象历法等各个生活领域。虽然这还是数学发展的萌芽时期，数学还只有零散的片段，没有严密的逻辑和定义定理，但它已经开始引导了人类前进的脚步，并引领人类开始了从远古蒙昧到现代文明的辉煌征途。这一时期的数学主要是应用于生活的数学，是数学的积累阶段和渐进阶段。对之做出贡献的也主要是中国、埃及、印度和巴比伦这四大文明古国。到了公元前六世纪，希腊数学开始引领世界。人类的数学知识大量的积累并完善起来。古希腊产生了许多集学术政治宗教为一身的派别，而我们又不得不提到著名的毕达哥拉斯学派。由毕达哥拉斯提出的著名命题“万物皆数”是该学派的哲学基石，而“一切数均可表成整数或整数之比”则是这一学派的数学信仰同学们注意一下 “整数或整数之比” 这个概念，这不就是我们现在所说的“有理数”吗？毕达哥拉斯在西方第一个发现了直角三角形三边之间的关系，定理以之名而冠之，这就是实际在我国比之早500年就已经发现了的“勾股定理”。具有喜剧意味的是：正是由于毕达哥拉斯发现的毕达哥拉斯定理推翻了毕达哥拉斯学派信仰的基石。毕达哥拉斯学派有一个门徒名叫希伯索斯，他在研究正方形的对角线与边长之比时发现，这个比值无论如何也不能用“整数或者是整数之比”表示出来。这与人们脑海中根深蒂固的观念相悖，严重的动摇了学派中人们的哲学基础和数学信仰，是不可思议的也是不可容忍的。恐慌的人们把希伯索斯投入了大海淹死。但真理是淹不死的，人类历史上发现的第一个“无理数”流传开来，从而引发了数学史上的第一次大危机。危机的产生和试图解决开启了人类的智慧，更加开阔了人类思维的视野，并直接催生了世界数学的繁荣，先后产生了许多伟大的数学家。欧几里得的数学原本成为数学史上不朽的里程碑，阿基米德成为物理学和数学的先驱，阿波罗尼的圆锥曲线奠定了后来关于圆锥研究的基础。这之后的托勒密、丢番图、阿拉伯的花剌子模、意大利的斐波那契、法国的韦达、中国的刘徽、祖冲之、秦九韶等等，他们共同成为数学天空中璀璨的明珠，为世界数学的发展做出了不朽的贡献。到了十七世纪之前，数学作为一门独立的科学已经成熟，初等数学的主体算术、代数和几何三角已经形成，真正意义上的数学理论已经确立。这些数学成果目前已经放在中小学数学教育中，我们现在直到高中所学的大部分内容都来源于第一时期萌芽阶段和第二时期常量数学时期。从十七世纪初到十九世纪末，是数学发展史上的第三个时期近代数学时期。这个阶段又称为“变量数学时期”，其起点就是法国数学家笛卡尔引入了变量。恩格斯对此评价说：“数学中的转折点是笛卡尔的变数。有了变数，运动进入了数学；有了变数，辩证法进入了数学。”实际上，也正是由于变数，发端于阿基米德的积分学萌芽才在牛顿和莱布尼兹的手中被建成了具有划时代意义的摩天大厦微积分。微积分的诞生是数学史上的转折点和分水岭，但是，初期微积分的基础却是不完善的，这就引发了数学史上的第二次大危机。牛顿和莱布尼兹发现微积分之后，人们发现，许多疑难问题运用之都可以迎刃而解。但当时的微积分是建立在不严格的对无穷小量的分析之上，从而遭到了以英国大主教贝克莱为首的许多人的攻击。贝克莱一针见血的指出牛顿求导时既把无穷小量x不当做0又把x当做0是一个严重的自相矛盾。为了同学们好理解，我们举一个虽然还有争议但能说明问题的例子：0.999 （0.9的循环）与1什么关系？几何所有的同学都会回答0.999 小于1，也就是说10.999 大于0，但是大多少？同学们去想一想下面我给你一个式子，保证你会大吃一惊：0.999= 0.3333=1/33=1你是否感觉到了匪夷所思？类似的问题曾深深的困惑着当时的数学家们，直到十九世纪另一位伟大的数学家柯西详细而有系统地发展了极限理论，这场危机才算是基本解决了。危机的产生和解决使得十九世纪成为数学发展史上的一个伟大时期，近代数学的主体发展成熟了。微积分发展成为数学分析，方程论发展成为高等代数，解析几何发展成为高等几何。数学研究形成了三个基础理论：实数理论、集合理论和数理逻辑，为现代数学的到来准备了深厚的基础。这些目前已经是大学理工教育的主要内容。从十九世纪末到现在，是现代数学时期。十九世纪初期，近代数学已经发展成熟，人们认为数学的宝藏已经挖掘殆尽了，但这只是暴风雨到来前的片刻宁静。十九世纪前半页，数学出现了两项革命性的变革：非欧几何和不可交换代数。由罗巴契夫斯基提出的非欧几何的出现，改变了欧氏几何天经地义的统治地位，其革命性为新几何观开辟了道路，并成为20世纪相对论的前奏和准备。哈密顿关于不可交换代数的理论直接打开了近代代数学的大门。.十九世纪下半叶，康托尔创立了著名的集合论。1900年，国际数学家大会上，法国著名数学家庞加莱兴高采烈地宣称：“借助集合论概念，我们可以建造整个数学大厦今天，我们可以说绝对的严格性已经达到了”可是，好景不长。1903年，一个震惊数学界的消息传出：集合论是有漏洞的！这就是英国数学家罗素提出的著名的罗素悖论。 罗素构造了一个集合S，S由一切不是自身元素的集合所组成。然后罗素问：S是否属于S呢？罗素悖论有一个通俗的版本叫“理发师的悖论”。理发师宣布了这样一条原则：“我只给所有不给自己刮脸的人刮脸。”可是，有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀同学们认为他能不能给他自己刮脸呢？如果他给自己刮脸，他就属于“给自己刮脸的人”，他就不能给自己刮脸；而如果他不给自己刮脸呢？他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸。此时，几乎所有的数学分支都以集合论为基础，集合论却出现无法解决的自相矛盾，于是，数学大厦的基础动摇了。这一悖论就象在平静的数学水面上投下了一块巨石，而它所引起的巨大反响则导致了第三次数学危机。第三次数学危机直接促使了数理逻辑和哲理数学的发展，虽然这次危机现在还没有完全解决，但二十世纪数学已经发生了空前的巨大的飞跃。纯粹数学的研究不断深入，电子计算机进入数学，数学渗透到