典型周期信号的傅里叶级数

.,复习,上次课主要介绍了周期信号的傅立叶级数分析,介绍了三角形式和指数形式的傅立叶级数表示方法,两种频谱的结构特点等了分析,再对偶函数,奇函数,奇谐函数的级数特点作为分析.最后介绍了吉布斯现象.,.,1、周期信号两种三角函数形式的傅里叶级数,2、指数形式的傅立叶级数,3、周期函数的频谱：,复习,.,4、函数的对称性与傅里叶系数的关系,周期偶函数只含直流和,周期奇函数只含正弦项,奇谐函数的偶次谐波的系数为0，只含有奇次谐波分量。,5、吉布斯现象:当选取的傅里叶项数越多,合成波形中出现的峰起越靠近f(t)的不连续点。当项数N很大时,峰起值趋于一个常数,约为总跳变值的9%,并从不连续点开始以起伏振荡的形式逐渐衰减下去。无论N多大，这个超量不变。但是在不连续点附近波峰宽度趋近于零，所以波峰下面积也趋近于零，因而在能量的意义下部分和的波形收敛于原波形。,吉布斯现象MATLAB程序集LT3_1.m,复习,.,本次课的主要内容,3.3典型周期信号的傅里叶级数,周期矩形脉冲信号周期锯齿脉冲信号周期三角脉冲信号周期半波余弦信号周期全波余弦信号,3.4傅里叶变换,频谱密度函数的概念傅立叶变换对傅立叶存在的条件,.,一、周期矩形脉冲信号,3.3典型周期信号的傅里叶级数,周期矩形脉冲信号的三角形式傅里叶级数为,1、傅立叶级数,f(t)的指数形式的傅里叶级数为,周期矩形脉冲信号的三角形式傅里叶级数为,2、频谱,频谱分析表明,离散频谱，谱线间隔为基波频率，脉冲周期越大，谱线越密。各分量的大小与脉幅成正比，与脉宽成正比，与周期成反比。,频谱分析表明,各谱线的幅度按包络线变化。过零点为：主要能量在第一过零点内。主带宽度为：,若,则,因此，第一个零值点之内或两个相邻的零值点之间有3根谱线。,.,3、频谱结构与波形参数的关系（T1,）,若不变，扩大一倍，即,若不变，减小一半，即,.,对称矩形脉冲信号的傅里叶级数,令，则有,周期矩形脉冲信号:,.,二、周期锯齿脉冲信号,.,三、周期三角脉冲信号,.,四、周期半波余弦信号,频谱只含有直流、基波和偶次谐波频率分量，谐波以幅度1/n2规律收敛,.,五、周期全波余弦信号,例1：试将图示周期矩形脉冲信号展开为(1)三角型和(2)指数型傅里叶级数。,(2)指数型傅立叶级数,称为抽样函数或取样函数,.,3.4傅里叶变换,傅立叶的两个最主要的贡献,“周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和”傅里叶的第一个主要论点“非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示”傅里叶的第二个主要论点,.,3.4傅里叶变换,一傅立叶级数到傅立叶变换,.,3.4傅里叶变换,非周期信号,x(t),t,1,连续时间的,.,非周期信号,3.4傅里叶变换,.,此信号可以看成是由一个非周期信号延拓而成,此信号可以看成是一个周期信号的一个周期,3.4傅里叶变换,于是,对非周期信号,有傅里叶变换对:,反,正,于是,有另一种计算傅里叶级数系数的方法:,周期信号的傅里叶级数的系数,周期,x(t)的频谱,非周期信号的傅里叶变换,.,二、非周期信号的傅立叶变换,反变换,正变换,另外:,也是常用的形式,.,即非周期信号在所有频率上都具有分量。,傅立叶变换的理解,.,周期、非周期信号两者所不同的是：,周期信号：频谱是离散的，且各频率分量的复振幅为有限值；,非周期信号频谱是连续的，且各频率分量的复振幅为无限小量。,所以，对非周期信号来说，仅仅去研究那无限小量是没有意义的，其频谱不能直接引用复振幅的概念。,傅立叶变换的理解,.,频谱函数F()的物理意义,.,傅立叶变换的理解,.,具有离散频谱的信号，其能量集中在一些谐波分量中；具有连续频谱的信号，其能量分布在所有的频率中，每一频率分量包含的能量则为无穷小量。,几点说明：正变换给出了非周期信号的频谱的数学表达式。时间函数f(t)可以表示为频率在区间内的指数函数的连续和。傅立叶变换提供了信号的频率描述和时间描述之间相互变换的工具。,F()包含了从零到无限高频的所有频率分量；各频率分量的频率不成谐波关系。,傅立叶变换的理解,.,FT一般为复函数,与周期信号类似，非周期信号也可以改写为三角函数形式。若f(t)为实数，则幅频为偶函数,相频为奇函数。,傅立叶变换的理解,.,傅里叶变换的其他形式,.,三、傅立叶变换存在的充分条件,用广义函数的概念，允许奇异函数也能满足上述条件，因而象阶跃、冲激一类函数也存在傅立叶变换,.,小结,本次课主要讲了两个问题:1五类典型信号的傅立叶级数.,周期矩形脉冲信号的三角形式傅里叶级数为,指数形式的傅里叶级数为,周期锯齿脉冲信号,周期三角脉冲信号,.,周期半波余弦信号,小结,周期全波余弦信号,.,小结,2傅立叶变换对,3频