计算机应用数学第一章ppt课件

.,第1章函数,知识点函数概念基本初等函数复合函数难点分段函数复合函数,.,要求熟练掌握复合函数的复合过程了解函数的一般性质理解基本初等函数初等函数分段函数复合函数概念,.,1.1函数1.1.1常量与变量,定义1设在某个变化过程中有两个变量x和y，变量y随着x的变化而变化，当x在一个非空数集D上任取一值时，y依照某一对应规则f总有一个确定的数值与之对应，则称变量y是变量x的函数。记为,.,其中,x叫做自变量，y叫做因变量或函数。数集D称为这个函数的定义域，记为D（f）。相应地，y值的集合称为函数y=f（x）的值域。当自变量x在其定义域内取某确定值x0时,因变量y按照所给的函数关系求出的对应值y0，称做当x=x0时的函数值，记为或。,.,注意函数的定义有两个要素，即定义域与对应规则。所以，只有当两个函数的定义域和对应规则完全相同时，他们才是同一个函数。,.,1.1.2函数的表示方法,常用的表示方法有三种：解析法（公式法）、表格法和图示法。解析法是指用解析表达式（或公式）去表示函数关系。例如等。,.,表格法是用列表的方法来表示函数关系，例如水文监测站统计了某河流20年内平均月流量V，如表1.1所示。表1.1这是用表格表示的函数，当自变量x取112之间任意一个整数时，从表格里可得出y的一个对应值。,.,图示法是用直角坐标系x0y平面上的曲线表示函数关系，例如图1.1是某气象记录仪记录的某地一昼夜气温变化曲线。这是用图形表示函数。y与x的关系是由曲线给出的。（见书中图1.1所示）,.,1.1.3分段函数,例他们的图形分别为图1.2，图1.3所示。,.,1.2函数的几种性质1.2.1函数的单调性,定义2设函数在区间（a，b）内有定义，如果对于（a，b）内的任意两点或则称函数f（x）在区间（a，b）内是单调增加的或单调减少的。若或则称f（x）为严格单调增加或严格单调减少，如图1.5，图1.6所示。,.,1.2.2函数的奇偶性,定义3设函数在D上有定义，若对于任意的恒有则称f(x)为偶函数。如果对于任意的恒有，则称f(x)为奇函数。注意当函数具有奇偶性时，其定义域必定是关于原点对称的，即若,则。偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称。,.,例判定函数的奇偶性,.,1.2.3函数的周期性,定义4若存在常数，对任意的x，恒有，则称为周期函数。使得上述等式成立的最小正数T，称为的最小正周期，简称函数的周期。例如，就是一个周期函数，他的周期为。,.,1.2.4函数的有界性,定义5设函数在区间（a，b）内有定义，若存在正数使得对于任意的，恒有，则称函数在（a，b）内是有界的。否则，称函数在（a，b）内是无界的。例如函数在内是有界的，因为对于任意的恒有。函数在（0，1）上是无界的，而在上是有界的。,.,1.3反函数,定义6设给定y是x的函数，如果对其值域R中的任一值y，都可通过关系式在其定义域D中确定唯一的一个x与之对应，则得到一个定义在R上的以y为自变量，x为因变量的函数，我们称其为的反函数。记为,.,1.4初等函数1.4.1基本初等函数及其图形,下列函数称为基本初等函数常量：y=c(2)幂函数：(3)指数函数：(4)对数函数：(5)三角函数：(6)反三角函数：,.,常量幂函数函数称为幂函数。3.指数函数函数称为指数函数。4.对数函数函数称为对数函数。5.三角函数函数称为正弦函数函数称为余弦函数。函数称为正切函数。函数称为余切函数。,.,(5)函数称为正割函数。(6)函数称为余割函数。6.反三角函数正弦函数和余弦函数的反函数依次为反正弦函数和反余弦函数。正切函数和余切函数的反函数依次为反正切函数和反余切函数。,.,1.4.2复合函数,定义7设y是u的函数而u又是x的函数，且函数的值域的全部或一部分包含在函数的定义域内，则对的定义域内的某些x，通过变量u，变量y有确定的值与之对应，从而得到一个以x为自变量，以y为因变量的函数，称此函数是由函数与函数复合而成的复合函数，记作其中u称为中间变量。,.,注意不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数，例如，就不能复合成一个复合函数，因为的定义域中的任何值x所对应的u值都大于或等于2，即全部落在的定义域之外。,.,例已知求的表达式。解：令解出两边取对数得于是原式成为：将u换成x，得出例设，求复合函数的定义域。解：已知的定义域为，即-3，3；的定义域为。由得定义域为-4，2。,.,1.4.3初等函数,定义8由基本初等函数经过有限次的四则运算及有限次复合过程所构成的函数，叫作初等函数。例如等等。