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文档简介

5.1大数定律,一、大数定律的客观背景,二、几个常见的大数定律,三、小结,大量的随机现象中平均结果的稳定性,一、大数定律的客观背景,大量抛掷硬币正面出现频率,字母使用频率,生产过程中的废品率,二、几个常见的大数定律,切比雪夫,Th1:切比雪夫(Chebyshev)定理的特殊情况,说明,（2）在所给的条件下，当n充分大时，n个随机变量的算术平均值与它们的数学期望有较小的偏差的可能性比较大。可以考虑用算术平均值作为所研究指标值的近似值。,（1）此定理也称为切比雪夫大数定理,证明切比雪夫大数定律主要的数学工具是切比雪夫不等式.,注意,切比雪夫不等式,证,当X为连续型随机变量时,设X的概率密度为f(x),则,例,=3,P|X-|=,P|X-|30.8889,=4,P|X-|=,P|X-|105的近似值,解,E(Vk)=5,D(Vk)=100/12(k=1,2,20).,近似服从正态分布N(0,1),例3.对敌人的防御地段进行100次炮击,在每次炮击中,炮弹命中颗数的数学期望为2,均方差为1.5,求在100次炮击中,有180颗到220颗炮弹命中目标的概率.,解:,设Xk为第k次炮击炮弹命中的颗数(k=1,2,100),在100次炮击中炮弹命中的总颗数,相互独立地服从同一分布，,E(Xk)=2,D(Xk)=1.52(k=1,2,100),随机变量,近似服从标准正态分布,例4对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量，设一个学生无家长、1名家长、2名家长来参加会议的概率分别为0.05、0.8、0.15.若学校共有400名学生,设各学生参加会议的家长数相互独立,且服从同一分布.求参加会议的家长数X超过450的概率.(2)求有1名家长来参加会议的学生数不多于340的概率.,解,(1)以Xk(k=1,2,400)记第k个学生来参加会议,的家长数,其分布律为,pk,0.05,0,1,2,0.8,0.15,Xk,Xk相互独立地服从同一分布,随机变量,近似服从标准正态分布,(2)以Y表示有一名家长来参加会议的学生,则,Yb(400,0.8),三小结,1、独立同分布的中心极限定理,2.李雅普诺夫定理,3.棣莫佛拉普拉斯定理,近似服从标准正态分布N(0,1)。,一船舶在某海区航行，已知每遭受一次波浪的冲击，纵摇角大于3的概率为p=1/3,若船舶遭受了90000次波浪冲击，问其中有2950030500次纵摇角度大于3的概率是多少？,解,将船舶每遭受一次冲击看作是一次试验，,假定各次试验是独立的,90000次波浪冲击中纵摇角大于3
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