晶体学第三章

.,Chapter3Spatialsymmetryoperations3.1BasicspatialsymmetryoperationsTheoperationwhichkeepsthedistancebetweenanytwopointsfixed.,(Eulerstheorem：Anytworotationsaroundtwoaxesintersectingatapointisequivalenttoarotationaroundcertainaxisthroughthesamepoint)Anyisometricoperationisnootherthantranslation,rotation,inversion,andthecombinationbetweenthem,.,3.2Spatialoperation:TheCombinationofrotationandtranslation3.2.1Thecombinationofrotationandverticaltranslation:Thetranslationoftheaxis,定理3-1a绕A轴旋转,然后在A的某方向上平移t,结果等价于绕另一与A轴平行的O轴旋转:O=tA,.,t的始端位于轴A,O位于t的垂直平分线上一点,O向t两端张开角,引理：若一个平面相对于一个垂直轴转过，则该平面上任何一条线段相对于该轴转过,并保持直线性。(提示：线段绕垂直轴A转是说该线段上任意一点绕A转过同样的弧度。),.,.,定理3-1a(旋转与垂直平移的组合定理)先绕A轴旋转,然后在A轴的某方向上平移t,等于绕另一与A轴平行的O轴旋转:O=tA定理3-1b(垂直平移与旋转的组合定理)先平移t,再绕位于平移矢t末端并与t垂直的A轴旋转,等于绕另一与A轴平行的轴O旋转,.,3.2.2旋转与一般平移的组合:Screw,Thesequenceofrotationandtranslationinthescrewcanbeexchanged.,.,3.2.3旋转与平行平移的组合:螺旋取向定理推广:晶体中螺旋轴必与点阵中某一维点列平行。轴次定理推广:螺旋中旋转轴的轴次限于1,2,3,4,6。螺旋轴的种类:螺旋轴方向上的点阵周期为d,该方向的平移t可超乎点阵平移kd,t=kd+:intrinsictranslation考虑组合(kd+).Cn时,可去掉kd,因为kd不产生可分辨的效果,Cn,.,螺旋nm定义为nm=.Cnnm操作n次后,(nm)n=(.Cn)n=nn应为该方向点阵周期的整数倍,即n=md,的取值为=(m/n)d,(m=1,2,.,n-1)螺旋nm中的内禀平移为平移方向上点阵周期d的m/n倍。晶体学中的所有螺旋对称轴为:21;31,32;41,42,43;61,62,63,64,65,.,.,定理3-2若晶体具有nm螺旋轴,则其点阵具有相应的n重转轴,二者的方向一致。,ADDA”,取向定理推广:晶体中螺旋轴必与点阵中某一维点列平行。轴次定理推广:螺旋中旋转轴的轴次限于1,2,3,4,6。,.,定理2-3(取向定理)的推论:晶体中的螺旋轴必须与点阵中某一维点列平行。定理2-4(轴次定理)的推论:晶体中的螺旋转动角仍受晶体学轴次定理的制约。,定理3-2若晶体有nm螺旋轴,则其点阵有n重旋转轴,二者方向一致。,.,.,.,3.2SpatialoperationII:TheCombinationofreflectionandtranslation3.2.1Thecombinationofreflectionandverticaltranslation:Thetranslationofthemirror定理3-3a先反映m1,再进行反映面法线方向上的平移t,两步操作等效于一个新的反映m2:tm1=m2m2与m1平行,m2距m1为t/2,(m1m2=t/2)。,几何意义:t在t/2处对m进行复制。,.,定理3-3a(反映与垂直平移的组合定理)先反映m1,再进行反映面法线方向上的平移t,等效于一个新反映m2:tm1=m2m2与m1平行,m1m2=t/2定理3-3b(垂直平移与反映的组合定理)先平移t,再对垂直于t的反映面m1反映等效于一个新反映m2:m1t=m2m2与m1平行,m1m2=-t/2,.,3.3.2ThegeneraloperationABCDABCD,由转换公式:mqt=i2hqt由Eular定理:i2hqt=iqt=qiti分解为2hmh:qit=q2hmht=q+mhtt分解为tt:q+mht=q+mhtt=q+mht,.,mqt=q+mht(1)当=时,归结为滑移mqt=mht=tmhmh与t的组合(可交换顺序)。反映面平移矢。(1)当时,归结为旋转-反映mqt=q+tmh=q+mh可见,空间中的等距操作可概括为:类操作:(1)螺旋nm。类操作:(2)旋转-反映(或旋转-反演),(3)滑移g。,.,a,.,.,3.3.3glide定理3-4:若晶体有滑移对称操作g=m,则其点阵有反映对称操作m;滑移面g与对称面m平行。定理2-5的推论:晶体中的滑移面必须与相应点阵中的某二维点阵平行。,g中的内禀平移量取值为滑移方向上点阵周期t的一半。,.,Axialglide=a/2,b/2,c/2g1=cx,0,zg2=c0,y,z,Diagonalglide=(a+b)/2,.,g3=n(1/2,0,1/2)x,1/4,z,g4=n(0,1/2,1/2)1/4,y,z,.,滑移的图示滑移面投影面1.滑移矢投影面.2.滑移矢投影面-3.对角滑移-,滑移面投影面,.,.,3.4.2对称要素的图示符号,.,.,3.4.3对称操作的Seitz符号Seitz符号:表示空间操作的符号(W,w)。Seitz符号(W,w)对空间任一点x的作用定义为(W,w)xWx+w,.,(W,w)xWx+wSeitz符号的乘法规则对点x依次进行(W1,w1)和(W2,w2),得(W2,w2)(W1,w1)x=(W2,w2)(W1x+w1)=W2(W1x+w1)+w2=W2W1x+W2w1+w2=(W2W1,W2w1+w2)x空间点x是任意的,所以:(W2,w2)(W1,w1)=(W2W1,W2w1+w2),.,注1):(W,w)x=Wx+w,并非:(W,w)x=Wx+wx注2):(W,w)的操作顺序是:点操作在先,平移在后。逗号前者是点操作,逗号后者是平移。注3):Ww是对平移矢w进行点操作W后的新的平移矢所代表的平移,不是平移w与点操作W的复合操作。点操作的Seitz为(W,0)，平移的Seitz为(I,w)。W与w复合操作的Seitz为:(I,w)(W,0)=(W,w)进一步说明:(W,w)是点操作在先,平移在后。若干运算规则:(1)WI=IW=W(2)W0=0(3)W(w1+w2)=Ww1+Ww2(4)W2W1w=W2(W1w)=(W2W1)w,.,(W,w)的操作之逆操作的Seitz符号记为(W,w)-1，(W,w)-1=(W-1,-W-1w),.,定理3-5若(W,w)是晶体的对称操作,则W是其点阵的对称操作。证:设(W,w)是晶体的对称操作,则(