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强化第六讲：第六单元模拟试卷（ B ） ( D ) 提示：本题用比较法，想到当时， 令 因为，所以级数具有相同的敛散性 又调和级数发散，所以也发散 至此说明原级数不是绝对收敛，下面再利用莱布尼兹判别法证明原级数是条件收敛的 因为，又，所以收敛提示：本题利用比较法 因为 所以 又因为 （比值法）所以级数收敛 由比较法可知收敛提示： 所以 当（发散） 当（收敛） 所以收敛区间为 提示：此题要把变成才可以 注：在此有公式 所以 接下来利用公式 注：书上有些公式是从0开始的，做相应变化即可提示：本题是齐次微分方程，先把原方程变形为 令，代入原方程得 回代得， 提示：原方程的特征方程为，解得 则通解为 代入得，即 又，代入得 1提示：原方程对应的齐次方程为其特征方程为，解得 则齐次方程的通解为 又原方程即为 所以原方程的特解一般形式为 代入原方程得 即 由待定系数法可得 所以原方程的特解为 综上则原方程的通解为提示：本题是将原方程转化为微分方程去求解 先对原方程两边关于求一阶导数得 再求二阶导数得 ，令，这样我们就得到了一个二阶常系数非齐次线性微分方程 该方程所对应的齐次微微分方程的特征方程为 解得 ，所以对应齐次微分方程的通解为 又非齐次微分方程特解的一般形式为，代入非齐次方程得 ，即 所以非齐次微分方程的通解为 又因为，所以，即 又因为，且，所以 即四证明题 （每小题7分，共14分）21.设和都收敛。证明（1）收敛 。（2） 收敛 提示：本题用比较法证明级数收敛（1） 因为，所以 又和都收敛，所以收敛 则由比较法可知收敛（2） 由（1）结论可知是绝对收敛的，所以收敛 又，显然可以很容易证明收敛22.设 与 是方程的两个不同的解，证明：为的解。提示：将 与分别代入方程中，得到两个方程，然后两个方程相减，即可证得结论成立！五综合题（每小题8分，共24分）23.将展开成的幂级数，并求其收敛区间。提示：本题利用间接法解题，即求函数的导数的幂级数，然后再不定积分回归到原函数 因为，又， 所以， 两边求不定积分得 ，即， 需要注意的是：当时也是收敛的，所以收敛区间是一个闭区间答：24设其中在满足且（1）求所满足的微分方程。（2）求的表达式。本题题目条件有误，不是，而是提示：因为，又所以 又，所以 代入以上结论得所满足的微分方程 这是一个一阶线性非齐次微分方程 其中，则利用公式可得 代入条件得，所以答：25设的和函数，求（1）所满足的微分方程。（2）的表达式提示： 由已知可得 所以 观察上述结果会发现有 这也是一个一阶线性非齐次微分方程，可以用24
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