弯曲应力-材料力学.ppt

第四章弯曲应力,4-1对称弯曲的概念及梁的计算简图,4-2梁的剪力和弯矩剪力图和弯矩图,4-3平面刚架和曲杆的内力图,4-4梁横截面上的正应力梁的正应力强度条件,4-5梁横截面上的切应力梁的切应力强度条件,4-6梁的合理设计,-3惯性矩和惯性积的平行移轴公式组合截面的惯性矩和惯性积-4惯性矩和惯性积的转轴公式截面的主惯性矩和主惯性积,4-1对称弯曲的概念及梁的计算简图,.关于弯曲的概念,受力特点：杆件在包含其轴线的纵向平面内，承受垂直于轴线的横向外力或外力偶作用（区别于扭转）。变形特点：直杆的轴线在变形后变为曲线。,梁以弯曲为主要变形的杆件称为梁。,第四章弯曲应力,弯曲变形,第四章弯曲应力,第四章弯曲应力,纵向对称面,对称弯曲外力作用于梁的纵向对称面内，因而变形后梁的轴线(挠曲线)是在该纵对称面内的平面曲线。,非对称弯曲梁不具有纵对称面(例如Z形截面梁)，因而挠曲线无与它对称的纵向平面；或梁虽有纵对称面但外力并不作用在纵对称面内，从而挠曲线不与梁的纵对称面一致。,第四章弯曲应力,本章讨论对称弯曲时梁的内力和应力。,对称弯曲时和特定条件下的非对称弯曲时，梁的挠曲线与外力所在平面相重合，这种弯曲称为平面弯曲(对称弯曲以及特殊条件下的非对称弯曲）。,第四章弯曲应力,.梁的计算简图,对于对称弯曲的直梁，外力为作用在梁的纵对称面内的平面力系，故在计算简图中通常就用梁的轴线来代表梁。,这里加“通常”二字是因为简支梁在水平面内对称弯曲时不能用轴线代表梁。,第四章弯曲应力,(1)支座的基本形式,1.固定端实例如图a，计算简图如图b,c。,第四章弯曲应力,2.固定铰支座实例如图中左边的支座，计算简图如图b，e。,3.可动铰支座实例如图a中右边的支座，计算简图如图c，f。,第四章弯曲应力,悬臂梁,(2)梁的基本形式,简支梁,外伸梁,第四章弯曲应力,在竖直荷载作用下，图a，b，c所示梁的约束力均可由平面力系的三个独立的平衡方程求出，称为静定梁。,(3)静定梁和超静定梁,图d，e所示梁及其约束力不能单独利用平衡方程确定，称为超静定梁。,第四章弯曲应力,4-2梁的剪力和弯矩剪力图和弯矩图,.梁的剪力和弯矩(shearingforceandbendingmoment),图a所示跨度为l的简支梁其约束力为,梁的左段内任一横截面mm上的内力，由mm左边分离体(图b)的平衡条件可知：,第四章弯曲应力,截面法,它们的指向和转向如图b中所示。显然这些内力是mm右边的梁段对于左边梁段的作用力和作用力矩。,故根据作用与反作用原理，mm左边的梁段对于右边梁段(图c)的作用力和作用力矩数值应与上式所示相同，但指向和转向相反。这一点也可由mm右边分离体的平衡条件加以检验：,第四章弯曲应力,从而有,第四章弯曲应力,梁的横截面上位于横截面内的内力FS是与横截面左右两侧的两段梁在与梁轴相垂直方向的错动(剪切)相对应，故称为剪力（参见课本P8）；梁的横截面上作用在纵向平面内的内力偶矩是与梁的弯曲相对应，故称为弯矩。,第四章弯曲应力,为使无论取横截面左边或右边为分离体，求得同一横截面上的剪力和弯矩其正负号相同，剪力和弯矩的正负号要以其所在横截面处梁的微段的变形情况确定，如图。,第四章弯曲应力,剪力正负号：dx微段，左端向上右端向下时，为正。反之为负。弯矩正负号：dx微段下凸为正，及下半部纵向受拉。反之为负。,简化计算：梁某截面上的剪力和弯矩可直接从横截面任意一侧梁上的外力进行简化：,(1)横截面上的剪力在数值上等于截面左侧（或右侧）梁段上外力的代数和。左侧梁段上向上的外力（或右侧梁段上向下的外力）将引起正值的剪力；反之，则引起负值的剪力。(2)横截面上的弯矩在数值上等于截面左侧（或右侧）梁段上外力对该截面形心的力矩之代数和。,第四章弯曲应力,1.不论在左侧梁段上或右侧梁段上，向上的外力均将引起正值的弯矩，而向下的外力则引起负值的弯矩。2.截面左侧梁段上顺时针转向的外力偶引起正值的弯矩，而逆时针转向的外力偶则引起负值的弯矩；截面右侧梁段上的外力偶引起的弯矩其正负与之相反。,第四章弯曲应力,.剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图,剪力方程和弯矩方程实际上是表示梁的横截面上的剪力和弯矩随截面位置变化的函数式，它们分别表示剪力和弯矩随截面位置的变化规律。显示这种变化规律的图形则分别称为剪力图和弯矩图。,第四章弯曲应力,剪力方程和弯矩方程（表示沿梁各横截面上剪力和弯矩的变化规律）,例题4-1（补充）图a所示悬臂梁受集度为q的满布均布荷载作用。试作梁的剪力图和弯矩图。,第四章弯曲应力,(a),距右端为x的任意横截面上的剪力FS(x)和弯矩M(x)，根据截面右侧梁段上的荷载有,解：1.列剪力方程和弯矩方程,当求悬臂梁横截面上的内力(剪力和弯矩)时，若取包含自由端截面的一侧梁段来计算，则可不求出约束力。,第四章弯曲应力,2.作剪力图和弯矩图,根据剪力方程和弯矩方程作出剪力图和弯矩图分别如图b和图c。按照习惯，剪力图中正值的剪力值绘于x轴上方，弯矩图中正值的弯矩值则绘于x轴的下方(即弯矩值绘于梁弯曲时其受拉的边缘一侧)。,第四章弯曲应力,(b),(c),抛物线：凹凸？,由图可见，此梁横截面上的最大剪力其值为FS,max=ql，最大弯矩(按绝对值)其值为(负值)，它们都发生在固定端右侧横截面上。,第四章弯曲应力,(b),(c),(a),例题4-2图a所示简支梁受集度为q的满布荷载作用。试作梁的剪力图和弯矩图。,解：1.求支反力,第四章弯曲应力,(a),2.列剪力方程和弯矩方程,第四章弯曲应力,由图可见，此梁横截面上的最大剪力(按绝对值)其值为(正值，负值)，发生在两个支座各自的内侧横截面上；最大弯矩其值为,即d(M(x)/dx=0时，x=l/2,发生在跨中横截面上。,3.作剪力图和弯矩图,第四章弯曲应力,简支梁受满布荷载作用是工程上常遇到的计算情况，初学者对于此种情况下的剪力图、弯矩图和FS,max，Mmax的计算公式应牢记在心！,第四章弯曲应力,例题4-3图a所示简支梁受集中荷载F作用。试作梁的剪力图和弯矩图。,第四章弯曲应力,解：1.求约束力,2.列剪力方程和弯矩方程,此梁上的集中荷载将梁分隔成AC和CB两段，两段内任意横截面同一侧梁段上的外力显然不同，可见这两段梁的剪力方程和弯矩方程均不相同，因此需分段列出。,第四章弯曲应力,F,AC段梁,CB段梁,第四章弯曲应力,F,如截面法，保留右侧梁，计算更简便。,3.作剪力图和弯矩图,如图b及图c。由图可见，在ba的情况下，AC段梁在0xa的情况下，C截面右侧(x=a+)横截面上的弯矩绝对值最大，为（负值)。弯矩图在集中力偶作用处有突变，也是因为集中力偶实际上只是作用在梁上很短长度范围内的分布力矩的简化。,第四章弯曲应力,剪力图和弯矩图规律：（书上P106）,1、梁上外力不连续处（即在集中力、集中力偶作用处、分布载荷开始和结束处），梁的弯矩方程和弯矩图应该分段。对于剪力方程和剪力图，也应分段（注意：此处外力不连续，不包括集中力偶的情形）。2、梁上集中力作用处，剪力图有突变，其左右两侧横截面上剪力的代数差，即等于集中力的值。而在弯矩图上相应处形成一个尖角（例题4-3）。3、在集中力偶作用处，剪力图无变化。弯矩图有突变，其左右两侧横截面上弯矩的代数差，等于集中力偶（例题4-4）。,例题4-2所示简支梁受集度为q的满布荷载作用。试作梁的剪力图和弯矩图。,第四章弯曲应力,.弯矩、剪力与荷载集度之间的关系及其应用,例4-2中：,.弯矩、剪力与荷载集度之间的关系及其应用,结论：将弯矩函数M(x)对x求导数，得到剪力函数Fs(x)；将剪力函数Fs(x)对x求导，得到均布载荷的集度q。,.弯矩、剪力与荷载集度之间的关系及其应用,M(x),FS(x)与q(x)间微分关系的导出,从图a所示简支梁的有分布荷载的区段内，取出长为dx的梁段，如图b所示。这里分布荷载的集度q(x)以向上为正值，且略去荷载集度在微量dx范围内的变化。梁的微段其左、右横截面上的剪力和弯矩均为正值。,第四章弯曲应力,从而得：,由梁的微段的平衡方程,略去二阶无穷小项，即得,第四章弯曲应力,应用这些关系时需要注意，向上的分布荷载集度为正值，反之则为负值。,由以上两个微分关系式又可得,第四章弯曲应力,常见荷载下FS，M图的一些特征,第四章弯曲应力,外力剪力图弯矩图,集中力作用处,集中力偶作用处,若某截面的剪力FS(x)=0，根据，该截面的弯矩为极值。,第四章弯曲应力,利用以上各点，除可以校核已作出的剪力图和弯矩图是否正确外，还可以利用微分关系绘制剪力图和弯矩图，而不必再建立剪力方程和弯矩方程，其步骤如下：(1)求支座约束力；(2)分段确定剪力图和弯矩图的形状；(3)求控制截面内力，根据微分关系绘剪力图和弯矩图；(4)确定|FS|max和|M|max。,第四章弯曲应力,例题4-7一简支梁在其中间部分受集度为q=100kN/m的向下的均布荷载作用，如图a所示。试利用弯矩、剪力与分布荷载集度间的微分关系校核图b及图c所示的剪力图和弯矩图。,第四章弯曲应力,x,(a)(b)(c),而根据可知，AC段内的剪力图应当是水平直线。该段内梁的横截面上剪力的值显然为,1.校核剪力图,解：此梁的荷载及约束力均与跨中对称，故知约束力FA，FB为,第四章弯曲应力,该梁的AC段内无荷载，,对于该梁的CD段，分布荷载的集度q为常量，且因荷载系向下而在微分关系中应为负值，即q=-100kN/m。,第四章弯曲应力,根据可知CD段内的剪力图确应为向右下方倾斜的斜直线。由于C点处无集中力作用，剪力图在该处无突变，故斜直线左端的纵坐标确为80kN。根据斜直线的斜率为，可证实D截面处的剪力确应为,对于该梁的DB段，梁上无荷载，故剪力图应该是水平直线；且由于D点处无集中力作用，剪力图在该处无突变，故该水平直线的纵坐标确为-80kN。显然支座B偏左横截面上的剪力就是,第四章弯曲应力,2.校核弯矩图,这与图中所示相符。,该梁的AC段内，剪力为常量，因而根据常量可知此段梁的弯矩图应为斜率为的正值的斜直线。据此，由支座A处横截面上的弯矩为零可知C截面处的弯矩为,第四章弯曲应力,对于该梁的CD段，根据可知：,弯矩图是如图(c)中所示曲率为负(即向下凸)的二次曲线。因为梁上C点处无集中力偶作用，故弯矩图在C截面处应该没有突变；,第四章弯曲应力,由于C截面处剪力无突变，故CD段的弯矩图在C处的切线的斜率应该与AC段梁弯矩图在C处的斜率相等，即两段梁的弯矩图在C处应光滑连接。,第四章弯曲应力,在剪力为零的跨中截面E处，弯矩图切线的斜率为零，而弯矩有极限值，其值为,同样，根据可知，,这些均与图(c)中所示相符。,第四章弯曲应力,对于该梁的DB段，由于剪力为负值的常量，故弯矩图应该是斜率为负的斜直线。因为梁上D点处无集中力偶作用，故弯矩图在D截面处不应有突变，再考虑B支座处弯矩为零，即可证实图(c)中此段梁的弯矩图也无误。,第四章弯曲应力,已知：图中梁的约束力为,思考（见习题4-5）：试指出图（a）和图（b）所示梁各自的剪力图和弯矩图中的错误。,正确答案：,第四章弯曲应力,(a),图中梁的约束力为,正确答案：,第四章弯曲应力,(b),.按叠加原理作弯矩图（简介）,第四章弯曲应力,(1)在小变形情况下求梁的约束力、剪力和弯矩时，我们都是按梁未变形时的原始尺寸进行计算的，例如对于图a所示悬臂梁，其剪力方程和弯矩方程分别为,第四章弯曲应力,(a),这就是说，在小变形情况下，此梁横截面上的剪力和弯矩分别等于集中荷载F和均布荷载q单独作用时(图b和图c)相应内力的代数和叠加。因此该梁的剪力图和弯矩图也就可以利用叠加的方法作出。（工程上可查表附录IV),第四章弯曲应力,(a),(2)叠加原理当所求参数(约束力、内力、应力或位移)与梁上(或结构上)荷载成线性关系时，由几项荷载共同作用所引起的某一参数之值，就等于每项荷载单独作用时所引起的该参数值的叠加。,第四章弯曲应力,例题4-10：按叠加原理做图（a）简支梁的弯矩图（查附录IV）,4-3平面刚架和曲杆的内力图,.平面刚架,平面刚架由同一平面内不同取向的杆，杆端相互间刚性连接的结构。,平面刚架杆件的内力当荷载作用于刚架所在平面内时，杆件横截面上的内力除剪力和弯矩外，还会有轴力。,第四章弯曲应力,作刚架内力图的方法和步骤与梁相同，但因刚架是由不同取向的杆件组成，习惯上按下列约定：弯矩图，画在各杆的受拉一侧，不注明正、负号；剪力图及轴力图，可画在刚架轴线的任一侧（通常正值画在刚架外侧），但须注明正负号；剪力和轴力的正负号仍与前述规定相同。,第四章弯曲应力,例题4-11试作图a所示刚架的内力图(即作出组成刚架的各杆的内力图)。,第四章弯曲应力,(a),各杆的内力方程为：,解：此刚架的C点为自由端，故求内力时如取包含自由端的那部分分离体作为研究对象，则可不求固定端A处的约束力。,第四章弯曲应力,(a),绘内力图时，轴力图和剪力图可画在各杆的任一侧，但需注明正负号(图b及图c)；弯矩图则画在杆件弯曲时受拉的一侧(图d)。,第四章弯曲应力,(a),.平面曲杆,平面曲杆的横截面系指曲杆的法向截面(亦即圆弧形曲杆的径向截面)。当荷载作用于曲杆所在平面内时，其横截面上的内力除剪力和弯矩外也会有轴力。,第四章弯曲应力,例题4-12：一端固定的半圆环在其轴线平面内承受集中载荷F作用，如右图所示。试做该曲杆的内力图。,图a所示A端固定的半圆环在B端受集中荷载F作用时，其任意横截面mm上的内力有,此即内力方程。根据内力方程将内力值在与q相应的径向线上绘出，即可得到内力图，如图b，图c及图d。,第四章弯曲应力,第四章弯曲应力,截面的几何性质：面积A极惯性矩Ip静矩Sx，Sy惯性矩Ix，Iy，Iz惯性积Ixy，Iyz，Izx,附录I截面的几何性质-1截面的静矩和形心位置,附录I截面的几何性质,静矩或一次矩：任意截面，面积为A。从截面坐标（x，y）处取面积元素dA，中则xdA和ydA分别为该面积元素dA对于y轴和x轴的静矩或一次矩。,上式为该截面对y轴和x轴的静矩：Sy，Sx。静矩有正负，单位为m3，或mm3。,附录I截面的几何性质,理论力学中，重心坐标为：,匀质薄板的重心与该平面图形的形心重合。截面形心坐标为：,附录I截面的几何性质,推论：截面对过形心的轴的静矩等于0；截面对某轴的静矩等于0，则该轴过截面的形心,附录I截面的几何性质,如组合截面由简单截面构成，则整个截面的静矩为：,得到组合截面的形心坐标为：,附录I截面的几何性质,例题I-2：求下图截面形心C的位置,附录I截面的几何性质,带入公式，该截面形心坐标为：,附录I截面的几何性质,-2极惯性矩惯性矩惯性积,在任意截面上取截面面积元素dA。,极惯性矩：,惯性矩：,惯性积：,惯性矩和极惯性矩恒为正，惯性积可正可负。,附录I截面的几何性质,附录I截面的几何性质,简单截面对于形心轴的惯性矩,(1)矩形截面形心轴（即对称轴）,附录I截面的几何性质,以上2公式需要记忆,思考:一长边宽度为b，高为h的平行四边形，它对于形心轴x的惯性矩是否也是？,附录I截面的几何性质,(2)圆截面,在等直圆杆扭转问题(3-4)中已求得：,而由图可见，2=y2+x2,从而知,附录I截面的几何性质,根据对称性可知，圆截面对于形心轴x和y的惯性矩Ix和Iy是相等的，Ix=Iy，于是得,附录I截面的几何性质,(3)空心圆截面,由于空心圆截面的面积等于大圆的面积AD减去小圆(即空心部分)的面积Ad故有,式中，。,附录I截面的几何性质,根据对称性可知：,附录I截面的几何性质,-3惯性矩和惯性积的平行移轴公式组合截面的惯性矩和惯性积,工程中常遇到由基本图形构成的组合截面，例如下面例题中所示的两种横截面。当对组合截面杆件计算在外力作用下的应力和变形时需要求出它们对于形心轴x，y的一些几何性质，例如：,惯性矩(momentofinertia),惯性积(productofinertia),附录I截面的几何性质,在已知构成组合截面的每一图形对于通过其自身形心且平行于组合截面某个轴(例如x轴)的惯性矩时，组合截面的惯性矩可利用平行移轴公式求得。组合截面对于某对相互垂直的轴(例如x，y轴)的惯性积也可类似地求得。,x,附录I截面的几何性质,已知任意形状的截面(如图)的面积A以及对于形心轴xC和yC的惯性矩及惯性积，现需导出该截面对于与形心轴xC，yC平行的x轴和y轴的惯性矩Ix，Iy和惯性积Ixy。截面的形心C在x，y坐标系内的坐标为,.惯性矩和惯性积的平行移轴公式,附录I截面的几何性质,因截面上的任一元素dA在x，y坐标系内的坐标为,于是有,注意到xC轴为形心轴，故上式中的静矩等于零，从而有,附录I截面的几何性质,同理可得,以上三式就是惯性矩和惯性积的平行移轴公式。需要注意的是式中的a，b为坐标，有正负，应用惯性积平行移轴公式时要特别注意。,附录I截面的几何性质,左边3个公式需要记住,.组合截面的惯性矩及惯性积,若组合截面由几个部分组成，则组合截面对于x，y两轴的惯性矩和惯性积分别为,x,附录I截面的几何性质,例题-5试求图a所示截面对于x轴的惯性矩Ix，对于y轴的惯性矩Iy，以及对于x，y轴的惯性积Ixy。,(a),附录I截面的几何性质,解：将截面看作由一个矩形和两个半圆形组成，半圆形的形心位置如图b所示。,(1)求Ix,设矩形对x轴的惯性矩为，每个半圆形对x轴的惯性矩为，则有,其中：,附录I截面的几何性质,至于则需先求出半圆形对其自身形心轴的惯性矩。根据平行移轴公式可得，而半圆形对于直径轴x(图b)的惯性矩等于圆形对x轴的惯性矩的一半，于是得,附录I截面的几何性质,然后再利用平行移轴公式求半圆形对x轴的惯性矩：,将d=80mm，a=100mm代入后得,从而得图a所示截面对x轴的惯性矩：,附录I截面的几何性质,（2）求Iy,此组合截面的y轴就是矩形和半圆形的形心轴，故不必应用平行轴公式而有,将d=80mm，a=100mm代入后得,附录I截面的几何性质,（3）求Ixy,由可知，只要x轴或y轴为截面的对称轴，则由于与该轴对称的任何两个面积元素dA的惯性积xydA数值相等而正负号相反，致使整个截面的惯性积必定等于零。图a所示截面的x轴和y轴都是对称轴，当然Ixy=0。,附录I截面的几何性质,例题-6图示组合截面由一个25c号槽钢截面和两个90mm90mm12mm等边角钢截面组成。试求此截面分别对于形心轴x和y的惯性矩Ix和Iy。,附录I截面的几何性质,解：由型钢规格表查得：,25c号槽钢截面(查表书上P371）,90mm90mm12mm等边角钢截面(查表书上P360，注意表中形心位置的单位）,形心位置如图所示,形心位置如图所示,附录I截面的几何性质,1.求组合截面的形心位置,组合截面的形心C在对称轴x上。以两个角钢截面的形心连线为参考轴先求组合截面形心C以该轴为基准的横坐标：,于是有距离,附录I截面的几何性质,2.利用平行移轴公式求Ix和Iy,槽钢截面对x轴和y轴的惯性矩为,附录I截面的几何性质,角钢截面对x轴和y轴的惯性矩为,附录I截面的几何性质,于是有组合截面对x轴和y轴的惯性矩：,顺便指出，该组合截面的x轴为对称轴，因此截面对于x，y这对轴的惯性积Ixy等于零。,附录I截面的几何性质,-4惯性矩和惯性积的转轴公式截面的主惯性轴和主惯性矩,在下面的分析中为使结果具有普遍性，坐标轴的原点O并不要求必须是形心C。此外，坐标轴按所用教材的附录I标为x轴和y轴。,附录I截面的几何性质,.惯性矩和惯性积的转轴公式,图示任意形状的截面，其面积A以及对于坐标轴x，y的惯性矩Ix，Iy和惯性积Ixy为已知，现在来求截面对于绕原点O旋转a角（以逆时针为正）后的坐标轴x1y1的惯性矩,和惯性积。,附录I截面的几何性质,由图可见，截面上任一微面积dA在x,y和x1,y1两个坐标系中坐标的关系为,于是有,附录I截面的几何性质,利用三角函数,由上式得,（a）,同理，根据,有,（b）,（c）,式(a),(b),(c)就是惯性矩和惯性积的转轴公式。,附录I截面的几何性质,1.截面对于任何轴的惯性矩是否总是正值？截面对于相互垂直的一对轴的惯性积是否可能是负值？,思考:,2.将惯性矩的转轴公式(a)和(b)相加可得到什么结论？这又意味着什么？,附录I截面的几何性质,截面对于通过同一点的任意一对相互垂直的坐标轴的两惯性矩之和为一个常数（书上P343，公式（b）,截面对其惯性积等于零的一对坐标轴，称为主惯性轴。截面对于主惯性轴的惯性矩，称为主惯性矩。当一对主惯性轴的交点与截面的形心重合时，称为形心主惯性轴。截面对于形心主惯性轴的惯性矩，称为形心主惯性矩。,.截面的主惯性轴和主惯性矩,Ix1y1随着角度，周期性变化，大小可正可负。,求截面的主惯性轴和主惯性矩,有,截面对于通过任意点O的主惯性轴x0，y0的方向角，只需利用惯性积的转轴公式令便可导出。由,附录I截面的几何性质,以此代入惯性矩的转轴公式即得主惯性矩的计算公式：,根据上式利用三角函数关系将和写为,附录I截面的几何性质,在确定截面的形心主惯性轴位置和计算形心主惯性矩时，须先确定截面的形心C的位置，并取一对通过形心而相互垂直的轴xC,yC作为参考轴，计算出，然后求主惯性轴的方向角a0和主惯性矩和。,附录I截面的几何性质,.惯性积的平行移轴公式(参见教材附录I3),图示任意形状的截面对于坐标轴x,y的惯性积Ixy可以由截面对分别平行于x,y轴的形心轴xC，yC的惯性积IxCyC，以及截面形心C在x,y坐标系中的坐标求出如下：,附录I截面的几何性质,这就是惯性积的平行移轴公式。应该注意的是：(1)公式中的IxCyC必须是截面对于一对形心轴的惯性积；(2)公式中的a，b是指截面形心在平行移动后的坐标系x，y中的坐标，它是有正负的。,附录I截面的几何性质,例题-7试确定图示不等边L形截面的形心主惯性轴的方向，并计算截面的形心主惯性矩。截面形心C的位置已示于图中。（回顾例题-2，形心已求出，P335）,附录I截面的几何性质,矩形的形心在参考坐标系xC,yC中的坐标为a=15mm,bI=20mm矩形的形心在参考坐标系中的坐标为a=-25mm,b=-35mm,解：1.取与截面周边平行的形心轴xC，yC作为参考轴。将截面分为，两个矩形(如图所示)A=1200mm2,A=700mm2,附录I截面的几何性质,2.利用平行移轴公式求截面的,和,附录I截面的几何性质,由于通过矩形和各自形心而平行于xC，yC的轴是它们各自的对称轴，故上式在计算中每一矩形对于其一对相互垂直的形心轴的惯性积为零。,附录I截面的几何性质,3.确定截面的形心主惯性轴xC0，yC0的方向,由式P343和P344中的式（c）和（d）可知，tan20的分子(-2IXcYc)和分母（IXc-IYc）的正负号分别反映了sin2和cos2的正负号，即均为负号。于是由tan2a0=1.093得出20=227.6，而a0=113.8。据此示出了形心主轴xC0和yC0。,附录I截面的几何性质,I,xy,附录I截面的几何性质,4.该截面的形心主惯性矩为,附录I截面的几何性质,4-4梁横截面上的正应力梁的正应力强度条件,纯弯曲梁或梁上的某段内各横截面上无剪力而只有弯矩，横截面上只有与弯矩对应的正应力。,第四章弯曲应力,横力弯曲梁的横截面上既有弯矩又有剪力；相应地，横截面既有正应力又有切应力。,第四章弯曲应力,.纯弯曲时梁横截面上的正应力,计算公式的推导,(1)几何方面藉以找出与横截面上正应力相对应的纵向线应变在该横截面范围内的变化规律。,表面变形情况在竖直平面内发生纯弯曲的梁(图a)：,第四章弯曲应力,(a),1.弯曲前画在梁的侧面上相邻横向线mm和nn间的纵向直线段aa和bb(图b)，在梁弯曲后成为弧线(图a)，靠近梁的顶面的线段aa缩短，而靠近梁的底面的线段bb则伸长；,第四章弯曲应力,2.相邻横向线mm和nn(图b)在梁弯曲后仍为直线(图a)，只是相对旋转了一个角度，且与弧线aa和bb保持正交。,第四章弯曲应力,根据表面变形情况，并设想梁的侧面上的横向线mm和nn是梁的横截面与侧表面的交线，可作出如下推论(假设)：,平面假设梁在纯弯曲时，其原来的横截面仍保持为平面，只是绕垂直于弯曲平面(纵向平面)的某一轴转动，转动后的横截面与梁弯曲后的轴线保持正交。,此假设已为弹性力学的理论分析结果所证实。,第四章弯曲应力,横截面的转动使梁凹入一侧的纵向线缩短，凸出一侧的纵向线伸长，从而根据变形的连续性可知，中间必有一层纵向线只弯曲而无长度改变的中性层(图f)，而中性层与横截面的交线就是梁弯曲时横截面绕着它转动的轴中性轴。,第四章弯曲应力,（f),令中性层的曲率半径为r(如图c)，则根据曲率的定义有,纵向线应变在横截面范围内的变化规律图c为由相距dx的两横截面取出的梁段在梁弯曲后的情况，两个原来平行的横截面绕中性轴相对转动了角dq。梁的横截面上距中性轴z为任意距离y处的纵向线应变由图c可知为,第四章弯曲应力,(c),即梁在纯弯曲时，其横截面上任一点处的纵向线应变e与该点至中性轴的距离y成正比。,第四章弯曲应力,(c),弯曲变形,小变形时纯弯曲情况下可假设梁的各纵向线之间无挤压，认为梁内各点均处于单轴应力状态。,(2)物理方面藉以由纵向线应变在横截面范围内的变化规律找出横截面上正应力的变化规律。,假如梁的材料在线弹性范围内工作，且拉、压弹性模量相同时（如低碳钢），有,这表明，直梁的横截面上的正应力沿垂直于中性轴的方向按直线规律变化(如图)。,第四章弯曲应力,(3)静力学方面藉以找出确定中性轴位置的条件以及横截面上正应力的计算公式。,由于梁上仅有外力偶Me的作用，梁的横截面上与正应力相应的法向内力元素sdA(图d)不可能组成轴力()，也不可能组成对于与中性轴垂直的y轴(弯曲平面内的轴)的内力偶矩()，只能组成对于中性轴z的内力偶矩，即,第四章弯曲应力,(d),将代入上述三个静力学条件，有,(a),(b),(c),以上三式中的Sz，Iyz，Iz都是只与截面的形状和尺寸相关的几何量，统称为截面的几何性质，而,第四章弯曲应力,其中,为截面对于z轴的静矩或一次矩，其单位为m3。,为截面对于y轴和z轴的惯性积，其单位为m4。,为截面对于z轴的惯性矩或二次轴矩，其单位为m4。,第四章弯曲应力,由于式(a)，(b)中的不可能等于零，因而该两式要求：,1.横截面对于中性轴z的静矩等于零，；显然这是要求中性轴z通过横截面的形心；,2.横截面对于y轴和z轴的惯性积等于零，；在对称弯曲情况下，y轴为横截面的对称轴，因而这一条件自动满足。,(a),(b),(c),第四章弯曲应力,由式(c)可知，直梁纯弯曲时中性层的曲率为,上式中的EIz称为梁的弯曲刚度。显然，由于纯弯曲时，梁的横截面上的弯矩M不随截面位置变化，故知对于等截面的直梁包含在中性层内的那根轴线将弯成圆弧。,将上式代入得出的式子即得弯曲正应力计算公式：,(c),第四章弯曲应力,应用此式时，如果如图中那样取y轴向下为正的坐标系来定义式中y的正负，则在弯矩M按以前的规定确定其正负的情况下，所得正应力的正负自动表示拉应力或压应力。但实际应用中往往直接根据横截面上弯矩的转向及求正应力之点在中性轴的哪一侧来判别弯曲正应力为拉应力还是压应力；在此情况下可以把式中的y看作求应力的点离中性轴z的距离。,第四章弯曲应力,中性轴z为横截面对称轴的梁(图a，b)其横截面上最大拉应力和最大压应力的值相等；中性轴z不是横截面对称轴的梁(图c)，其横截面上的最大拉应力和最大压应力的值不相等。,第四章弯曲应力,中性轴z为横截面的对称轴时，横截面上最大拉、压应力的值smax为,式中，Wz为截面的几何性质，称为弯曲截面系数，其单位为m3。,第四章弯曲应力,中性轴z不是横截面的对称轴时(参见图c)，其横截面上最大拉应力值和最大压应力值为,第四章弯曲应力,.纯弯曲理论的推广,工程中实际的梁大多发生横力弯曲，此时梁的横截面由于切应力的存在而发生翘曲(warping)。此外，横向力还使各纵向线之间发生挤压(bearing)。因此，对于梁在纯弯曲时所作的平面假设和纵向线之间无挤压的假设实际上都不再成立。但弹性力学的分析结果表明，受满布荷载的矩形截面简支梁，当其跨长与截面高度之比大于5时，梁的跨中横截面上按纯弯曲理论算得的最大正应力其误差不超过1%，故在工程应用中就将纯弯曲时的正应力计算公式用于横力弯曲情况，即,第四章弯曲应力,例题4-13图a所示简支梁由56a号工字钢制成，其截面简化后的尺寸见图b。已知F=150kN。试求危险截面上的最大正应力smax和同一横截面上翼缘与腹板交界处a点处(图b)的正应力sa。,第四章弯曲应力,解：在不考虑梁的自重()的情况下，该梁的弯矩图如图所示，截面C为危险截面，相应的最大弯矩值为,第四章弯曲应力,由型钢规格表查得56a号工字钢截面,于是有,危险截面上点a处的正应力为,第四章弯曲应力,该点处的正应力sa亦可根据直梁横截面上的正应力在与中性轴z垂直的方向按直线变化的规律，利用已求得的该横截面上的smax=160MPa来计算：,第四章弯曲应力,显然，梁的自重引起的最大正应力仅为,而危险截面上的最大正应力变为,远小于外加荷载F所引起的最大正应力。,如果考虑梁的自重(q=1.041kN/m)则危险截面未变，但相应的最大弯矩值变为,第四章弯曲应力,.梁的正应力强度条件,等直梁横截面上的最大正应力发生在最大弯矩所在横截面上距中性轴最远的边缘处，而且在这些边缘处，即使是横力弯曲情况，由剪力引起的切应力也等于零或其值很小(详见下节)，至于由横向力引起的挤压应力可以忽略不计。因此可以认为梁的危险截面上最大正应力所在各点系处于单轴应力状态。于是可按单向应力状态下的强度条件形式来建立梁的正应力强度条件：,式中，s为材料的许用弯曲正应力。,第四章弯曲应力,对于中性轴为横截面对称轴的梁，上述强度条件可写作,由拉、压许用应力st和sc不相等的铸铁等脆性材料制成的梁，为充分发挥材料的强度，其横截面上的中性轴往往不是对称轴，以尽量使梁的最大工作拉应力st,max和最大工作压应力sc,max分别达到(或接近)材料的许用拉应力st和许用压应力sc。,第四章弯曲应力,例题4-16图a所示为横截面如图b所示的槽形截面铸铁梁，该截面对于中性轴z的惯性矩Iz=5493104mm4。已知图a中，b=2m。铸铁的许用拉应力st=30MPa，许用压应力sc=90MPa。试求梁的许可荷载F。,第四章弯曲应力,解：最大负弯矩所在B截面处，若截面的上边缘处最大拉应力st,max达到st，则下边缘处最大压应力sc,max为根据可知此sc,max并未达到许用压应力sc，也就是说，就B截面而言，梁的强度由最大拉应力控制。,第四章弯曲应力,最大正弯矩在C截面处，若截面的下边缘处最大拉应力st,max达到st，则上边缘处的最大压应力sc,max为，它远小于sc故就C截面而言，梁的强度也由最大拉应力控制。,第四章弯曲应力,由以上分析可知，该梁的强度条件系受最大拉应力控制。至于究竟是B截面上还是C截面上的最大拉应力控制了梁的强度，可进一步分析如下：,显然，B截面上的最大拉应力控制了梁的强度。,B截面：,C截面：,第四章弯曲应力,当然，这个许可荷载是在未考虑梁的自重的情况下得出的，但即使考虑自重，许可荷载也不会减少很多。,于是由B截面上最大拉应力不得超过铸铁的许用拉应力st的条件来求该梁的许可荷载F：,由此得F19200N，亦即该梁的许可荷载为F=19.2kN。,第四章弯曲应力,4-5梁横截面上的切应力梁的切应力强度条件,.梁横截面上的切应力,(1)矩形截面梁,从发生横力弯曲的梁中取出长为dx的微段，如图所示。,第四章弯曲应力,由于mm和nn上的弯矩不相等，故两截面上对应点处的弯曲正应力s1和s2不相等。因此，从微段中用距离中性层为y且平行于它的纵截面AA1B1B假想地截出的体积元素mB1(图a及图b)，其两个端面mmA1A上与正应力对应的法向内力F*N1和F*N1也不相等。,第四章弯曲应力,它们分别为,第四章弯曲应力,式中，为面积A*(图b)对中性轴z的静矩；A*为横截面上距中性轴z为y的横线AA1和BB1以外部分的面积(图b中的阴影线部分)。,即,由于，故纵截面AA1B1B上有切向内力dFS(图b)：,第四章弯曲应力,为确定离中性轴z为y的这个纵截面上与切向内力dFS对应的切应力t，先分析横截面与该纵截面的交线AA1处横截面上切应力t的情况：,第四章弯曲应力,1.由于梁的侧面为自由表面(图a和图b中的面mABn为梁的侧表面的一部分)，其上无切应力，故根据切应力互等定理可知，横截面上侧边处的切应力必与侧边平行；,2.对称弯曲时，对称轴y处的切应力必沿y轴方向，亦即与侧边平行。,第四章弯曲应力,从而对于狭长矩形截面可以假设：,1.横截面上各点处的切应力均与侧边平行；,2.横截面上距中性轴等远处的切应力大小相等。,第四章弯曲应力,于是根据切应力互等定理可知，距中性层为y的纵截面AA1B1B上在与横截面的交线AA1处各点的切应力t均与横截面正交，且大小相等。至于t在dx长度内可以认为没有变化。这也就是认为，纵截面AA1B1B上的切应力t在该纵截面范围内是没有变化的。于是有,第四章弯曲应力,以上式代入前已得出的式子,得,根据切应力互等定理可知，梁的横截面上距中性轴z的距离为y处的切应力t必与t互等，从而亦有,第四章弯曲应力,矩形截面梁横力弯曲时切应力计算公式,式中，FS为横截面上的剪力；Iz为整个横截面对于中性轴的惯性矩；b为矩形截面的宽度(与剪力FS垂直的截面尺寸)；Sz*为横截面上求切应力t的点处横线以外部分面积对中性轴的静矩，。,第四章弯曲应力,上式就是矩形截面等直梁在对称弯曲时横截面上任一点处切应力的计算公式。,横截面上切应力的变化规律,前已讲到，等直的矩形截面梁横力弯曲时，在对称弯曲情况下距中性轴等远处各点处的切应力大小相等。现在分析横截面上切应力t在与中性轴垂直方向的变化规律。,上述切应力计算公式中，FS在一定的横截面上为一定的量，Iz和b也是一定的，可见t沿截面高度(即随坐标y)的变化情况系由部分面积的静矩Sz*与坐标y之间的关系确定。,第四章弯曲应力,第四章弯曲应力,可见：,1.t沿截面高度系按二次抛物线规律变化；2.同一横截面上的最大切应力tmax在中性轴处(y=0):,第四章弯曲应力,等于1.5倍的平均切应力,(2)薄壁环形截面梁,薄壁环形截面梁在竖直平面内弯曲时，其横截面上切应力的特征如图a所示：1.由于dr0，故认为切应力t的大小和方向沿壁厚d无变化；2.由于梁的内、外壁上无切应力，故根据切应力互等定理知，横截面上切应力的方向与圆周相切；,第四章弯曲应力,(a),3.根据与y轴的对称关系可知：(a)横截面上与y轴相交的各点处切应力为零；(b)y轴两侧各点处的切应力其大小及指向均与y轴对称。,第四章弯曲应力,薄壁环形截面梁横截面上的最大切应力tmax在中性轴z上，半个环形截面的面积A*=pr0d，其形心离中性轴的距离(图b)为，故求tmax时有,第四章弯曲应力,及,得出：,整个环形截面对于中性轴z的惯性矩Iz可利用整个截面对于圆心O的极惯性矩得到，如下：,第四章弯曲应力,从而有,式中，A=2pr0d为整个环形截面的面积。,第四章弯曲应力,等于2倍的平均切应力,(3)圆截面梁,圆截面梁在竖直平面内弯曲时，其横截面上切应力的特征如图a所示：认为离中性轴z为任意距离y的水平直线kk上各点处的切应力均汇交于k点和k点处切线的交点O，且这些切应力沿y方向的分量ty相等。,第四章弯曲应力,(a),因此可先利用公式求出kk上各点的切应力竖向分量ty，然后求出各点处各自的切应力。,圆截面梁横截面上的最大切应力tmax在中性轴z处，其计算公式为,第四章弯曲应力,等于4/3倍的平均切应力,(4)工字形截面梁,1.腹板上的切应力,其中,第四章弯曲应力,可见腹板上的切应力在与中性轴z垂直的方向按二次抛物线规律变化。,第四章弯曲应力,2.