材料力学第五版第三章

.,第三章扭转,.,3-1工程实际中的扭转问题,.,汽车传动轴,3-1工程实际中的扭转问题,.,汽车方向盘,3-1工程实际中的扭转问题,.,第一节扭转的概念,扭转角（两端面相对转过的角度）,剪切角，也称为剪应变或切应变,.,变形特点：各横截面绕轴线发生相对转动，任意两横截面间产生相对的角位移（扭转角）,杆件受到大小相等,方向相反且作用平面垂直于杆件轴线的力偶作用,杆件的横截面绕轴线产生相对转动。两力偶大小相等，转向相反,受扭转变形杆件通常为轴类零件，其横截面大都是圆形的。所以本章主要介绍圆轴扭转。,扭转受力特点及变形特点:,.,第二节薄壁圆筒的扭转,一、实验,1实验前：,绘制纵向线，圆周线,两端施加一对外力偶Me,.,第二节薄壁圆筒的扭转,2实验后：,圆周线不变,纵向线变成螺旋线,3结果：,圆筒表面的各圆周线形状、大小和间距均未改变，只是绕轴线作了相对转动。圆周线实际代表一个横截面，此结果表明横截面仍保持平面，且大小、形状不变，满足平面假设。,各纵向线长度不变，但均倾斜了同一微小角度,所有矩形网络均歪斜成同样大小的平行四边形,.,第二节薄壁圆筒的扭转,二、薄壁筒切应力,薄壁圆筒扭转时，因长度不变，故横截面上没有正应力，只有切应力；因筒壁很薄，切应力沿薄壁厚分布可视作均匀的，切应力沿圆周切线方向与扭矩转向一致,A0为平均半径所作圆的面积,.,第二节薄壁圆筒的扭转,三、切应力互等定理,切应力互等定理：在单元体相互垂直的两个截面上，切应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向或共同指向交线，或共同背离交线,.,第二节薄壁圆筒的扭转,纯剪应力状态：单元体上四个侧面上只有切应力，而无正应力作用,四、剪切虎克定律,单元体ab边的倾角称为切应变，切应变是单元体直角的该变量，实验表明，在弹性范围内，切应力与且应变成正比，即：,G：剪切弹性模量,.,第二节薄壁圆筒的扭转,剪切弹性模量G、与弹性模量E和泊松比一样，都表示材料力学性质的材料常数。对于各向同性材料，这三个材料常数并不是独立的，它们存在如下关系：,.,3-3扭转时的内力,1、外力偶矩(Torsioncouple)的计算,电机传递扭矩转动机器,匀速转速n转/分钟输出功率Pk千瓦求外力偶矩m,m,.,m,可以看出，轴所承受的力偶矩与传递的功率成正比，与轴的转速成反比。因此，在传递同样的功率时，低速轴所受的力偶矩比高速轴大。所以在一个传动系统中，低速轴的直径要比高速轴的直径粗一些,.,第3节扭转的内力扭矩与扭矩图,扭矩是根据外力偶矩来计算，对于传动轴，外力偶矩可通过传动功和转数来换算,若传动轴的传动功率为P，每分钟转数为n,其中：P功率，千瓦（kW）n转速，转/分（rpm）,其中：P功率，马力（PS）n转速，转/分（rpm）,.,2、扭矩(Torsiontorque),杆扭转时，其横截面上的内力，是一个在截面平面内的力偶，其力偶矩称为扭矩,.,扭矩的符号确定：采用右手螺旋法则，如果以右手四指表示扭矩的转向，则拇指指向截面离开截面时的扭矩为正；反之，拇指指向截面时则扭矩为负。,右手螺旋法则,右手拇指指向外法线方向为正(+),反之为负(-),.,注意：当轴上同时有几个外力偶矩作用时，一般而言，各段截面上的扭矩是不同的，必须分段求出，其一般步骤为：“假截留半，内力代换，内外平衡”。例：,.,扭矩图(Torsiontorquegraph),当轴上同时作用有几个外力偶矩时，各截面上的扭矩是不同的，为了确定最大扭矩的所在位置，以便找出危险截面，在工程实际中常用一个图形来表示各横截面上的扭矩沿轴线随横截面位置变化的规律，这种图形称为扭矩图。,画图方法：,取一直角坐标系，令横坐标平行于轴的轴线，表示横截面的位置，纵坐标表示扭矩的代数值，然后将各横截面的扭矩按代数值标注于坐标上，即得此轴的扭矩图。,由图可以看出：在集中力偶的作用面，扭矩发生突变，其突变值等于集中力偶值的大小。,.,第3节扭转的内力扭矩与扭矩图,扭矩图的画法步骤：,1.画一条与杆的轴线平行且与杆等长的直线作为基线,2.将杆分段，凡集中力偶作用点处均应取作分段点,3.用截面法，通过平衡方程求出每段杆的扭矩；画受力图时，截面的扭矩一定要按正的规定来画,4.按大小比例和正负号，将各段杆的扭矩画在基线两侧，并在图上标出数值和正负号,.,附例：一传动轴如图，转速；主动轮输入的功率P1=500kW，三个从动轮输出的功率分别为：P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW。试作轴的扭矩图。,.,解：1.计算作用在各轮上的外力偶矩,.,2.计算各段的扭矩,BC段内：,AD段内：,.,3.作扭矩图,由扭矩图可见，传动轴的最大扭矩Tmax在CA段内，其值为9.56kNm。,.,思考：如果将从动轮D与C的位置对调，试作该传动轴的扭矩图。这样的布置是否合理？,.,.,思考题：已知：一传动轴，n=300r/min，主动轮输入P1=500kW，从动轮输出P2=P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图并找出危险截面。,解：计算外力偶矩,求扭矩（扭矩按正方向设）,绘制扭矩图,BC段为危险截面。,.,2试绘制扭矩图，说明图中轴上3个轮子如何布置比较合理？,解：把3个轮子可能的布置情况都画出来，然后分别画出其扭矩图，比较哪种布置时Tmax为最小，则哪种布置就合理。,1.5kNm,0.5kNm,0.5kNm,1kNm,1.5kNm,1kNm,0.5kNm,1kNm,0.5kNm,1.5kNm,1.5kNm,1kNm,.,第3节扭转的内力扭矩与扭矩图,例画出图示杆的扭矩图,解：,截面,截面,截面,4kNm,2kNm,6kNm,.,第四节等直圆杆扭转时的应力强度条件,一、等直圆杆扭转实验观察,1横截面变形后仍为平面，满足平面截面假设,2轴向无伸缩，横截面上没有正应力,3纵向线变形后仍为平行线,.,第四节等直圆杆扭转时的应力强度条件,二、等直圆杆扭转横截面上的切应力,a,b,c,d,b,c,B,C,1变形的几何条件,横截面上b点的切应变,单位长度扭转角,.,第四节等直圆杆扭转时的应力强度条件,2物理条件（剪切胡克定律）,横截面上b点的切应变：,3静力条件,dA,O2,b,称为截面对圆心的极惯性矩,.,第四节等直圆杆扭转时的应力强度条件,4极惯性矩,O,d,环形截面：,极惯性矩单位：,m4,.,第四节等直圆杆扭转时的应力强度条件,同一截面，扭矩T，极惯性矩IP为常数，因此各点切应力的大小与该点到圆心的距离成正比，方向垂直于圆的半径，且与扭矩的转向一致,实心圆截面切应力分布图,空心圆截面切应力分布图,最大切应力在外圆处,.,第四节等直圆杆扭转时的应力强度条件,5最大切应力,令：,称为抗扭截面系数,单位：,实心圆截面：,空心圆截面：,.,第四节等直圆杆扭转时的应力强度条件,例题1已知空心圆截面的扭矩T=1kNm，D=40mm，d=20mm，求最大、最小切应力。,解：,.,第四节等直圆杆扭转时的应力强度条件,三、圆轴扭转时的强度条件,.,一轴AB传递的功率为Pk=7.5kW，转速n=360r/min。轴的AC段为实心圆截面，CB段为空心圆截面。已知D=3cm，d=2cm，试计算AC段横截面边缘处的切应力和CB段横截面上外边缘和内边缘处的切应力。,解：(1)计算扭矩轴所受的外力偶矩为：,各截面上的扭矩均为：,.,(2)计算极惯性矩：AC段与CB段分别为,.,已知解放牌汽车主传动轴传递的最大扭矩T=1930N.m，传动轴用外径D=89mm，壁厚=2.5mm的钢管做成。材料为20号钢，其许用应力=70MPa。校核此轴的强度。,解：（1）计算抗扭截面系数,.,如果传动轴不用钢管而采用实心圆轴，并使其与钢管有同样的强度（即两者的最大应力相同），则由,可见，采用钢管时，其重量只有实心圆轴的30%，耗费的材料要少得多。,.,保证焊接质量,可见，采用钢管时，其重量只有实心圆轴的约30，耗费的材料要少得多。为什么扭转构件采用空心圆截面时能节约大量材料呢?从圆轴扭转时横截面上的切应力分布不难说明这个问题。,.,一、圆轴扭转时的变形,单位长度扭转角,当T、GIP为常数时，长为l的干段两端相对扭转角为：,GIP为抗扭刚度,第五节等直圆杆扭转时的变形刚度条件,.,二、刚度条件,单位长度扭转角,.,附题1图示传动轴系钢制实心截面轴。已知：m1=1592N.m，m2=955N.m，m3=637N.m。截面A与截面B、C间的距离分别为lAB=300mm和lAC=500mm。轴的直径d=70mm，钢的剪切模量G=80GPa。试求截面C对B的扭转角。,解：（1）计算扭矩由截面法，I、II两段内的扭矩分别为TI=955N.m，TII=-637N.m。,.,（2）计算极惯性矩,（3）计算C对B的扭转角，可假想截面A固定不动，分别计算截面B、C相对于截面A的扭转角AB，AC,.,其转向与扭转力偶m3相同。,.,例题1图示圆轴，已知：mA=1kNm，mB=3kNm，mC=2kNm；l1=0.7m，l2=0.3m，=60MPa,=0.3o/m,G=80GPa。试选择该轴的直径。,解：,1kNm,2kNm,扭矩图,（1）按强度条件,.,（2）按刚度条件,该圆轴直径应选择：,.,例题2图示圆轴，已知：mA=1.4kNm，mB=0.6kNm，mC=0.8kNm；d1=40mm，d2=70mm；l1=0.2m，l2=0.4m，=60MPa,=1o/m,G=80GPa。试校核该轴的强度和刚度，并计算两端面的相对扭转角。,mC,mA,mB,C,A,B,d1,d2,解：,扭矩图,0.8kNm,0.6kNm,（1）按强度校核,.,满足强度条件,（2）按刚度校核,不满足刚度条件,.,（3）两端相对扭转角,.,例题2长为l=2m的圆杆受均布力偶，m=20Nm/m的作用，如图，若杆的内外径之比为=0.8，G=80GPa，许用切应力=30MPa,试设计杆的外径；=2o/m。试校核此杆的刚度，并求右端面的扭转角。,解：,（1）设计圆杆的外径,.,.,（2）刚度校核,（3）右端面扭转角,.,例题3图示圆轴，BC段为空心，已知：D=50mm，d=25mm，a=250mm；G=80GPa。试求该杆的最大切应力和自由端的扭转角。,a,b,a,b,D,d,解：,本题应分4段考虑,.,扭矩图,1kNm,0.5kNm,0.8kNm,.,.,例3-45吨单梁吊车，大梁的行走机构如图示。已知电动机功率Pk=3.7kW,经减速后车轴的转速为n=32.6r/min。试选择传动轴CD的直径，并校核其扭转刚度。轴用45号钢，其许用切应力=40MPa，剪切弹性模量G=80 x103MPa，许用扭转角=1（）/m。,.,（2）计算轴的直径由强度条件得,.,（3）校核轴的刚度由刚度条件，轴每米的扭转角为：,选取轴的直径d=45mm,.,一传动轴如图示。已知轴的直径d=4.5cm，转速n=300r/mi