《弦切角定理》

.,弦切角,P,A,B,.,使PA与圆相切,弦切角,.,顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆相切,PAB的顶点及两边与圆的位置关系是怎样？,的角叫做弦切角,是弦切角PAB所夹的弧。,.,顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆相切的角叫做弦切角。,下面五个图中的BAC是不是弦切角？,.,从数学的角度看，弦切角能分成几大类？,.,求证：BACP,BACQ,(1)圆心O在BAC的外部,BAQACQ90,BAC90CAQ,Q90CAQ,作O的直径AQ，连结CQ,(2)圆心O在BAC的边AC上,AB是O的切线，BAC90,BACP,Q,(3)圆心O在BAC的内部,BACP,DACQ,P180Q,作O的直径AQ，连结CQ,BAC180DAC,弦切角等于所夹弧对的圆周角。,D,.,1=；2=；3=；4=。,课堂练习：,1、已知AB是O的切线A为切点,由图填空：,O,O,O,A,A,A,B,B,B,30,70,25,3,1,2,4,30,70,65,80,40,弦切角等于它所夹的弧对的圆心角的一半.,.,2、选择：AB为O直径，PC为O的切线，C为切点，若BPC=30，则BCP=（）。A、30B、60C、15D、22.5,A,.,3、如图：四边形ABCD为圆内接四边形，AB是直径，MN切O于C点，BCM=38，那么ABC的度数是（）。A、38B、52C、68D、42,38,B,O,A,B,C,M,N,D,.,弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。,DABEAC,推论：两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角相等。,如图，DE切O于点A，AB、AC是O的弦，若，那么DAB与EAC是否相等？为什么？,.,例1：如图：已知AB是O的直径，AC是弦，直线CE和O切于点C，ADCE于D。求证：(1)AC平分BAD(2)AC2=2ADAO,例题解析,你还能用其他方法解答吗？试试看！,有弦切角，常连结弦切角所夹弧所对的圆周角。,.,O,A,B,C,D,E,2,1,3,例1:如图，已知AB是O的直径，AC是弦，直线CE和O切于点C，ADCE，垂足是D，求证：AC平分BAD.,例题解析(思路2),连结OC,由切线性质,可得OCAD,于是有2=3,又由于1=3,可证得1=2,.,变式练习如上图，连结DE、DF，你能找出图中有哪些相等的角,哪些相似三角形?,例2:如图,AD是ABC中BAC的平分线,经过点A的O与BC切于点D,与AB、AC分别相交于E、F.求证：EFBC.,证明：连结DF.,AD是BAC的角平分线，BAD=DAC.,又EFD=BAD，EFD=DAC.,又O切BC于D,FDC=DAC.,FDC=EFD,EFBC,.,1.如图，AC是O的弦，BD切O于C，则图中弦切角有个.,4,若AOC=1200,则ACD=.,600,2.如图，直线MN切O于C，AB是O的直径,若BCM=400,则ABC等于（）A.400B.500C.450D.600,3.已知O是ABC的内切圆,D,E,F为切点,若A:B:C=4:3:2,则DEF=,FEC=.,B,500,700,课堂练习：,ACD,ACB,OCD,OCB.,A=800,B=600,C=400.,DOF=1000,DEF=500.,C=400,CE=CF.FEC=700.,.,6.如图,AB为O的直径,BC、CD为O的切线,B、D切点.求证:(1)AD/OC;(2)若O的半径等于1,求ADOC的值.,证明:(1)BC、CD是O的切线，B、D切点.,OBC=ODC=900.,又OA=OD,OAD=ODA.,而BOD=OAD+ODA=2OAD,且BOD2BOC.,BOC=DOC.,又OB=OD,OC=OC.,OADBOC,AD/OC.,RtOBCRtODC.,(2)连接BD,OADBOC,RtOBCRtADB.,.,2、定理的发现,1、概念的引入,小结：,顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆相切的角叫做弦切角。,弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。,推论：两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角相等。,.,一般情况下，弦切角、圆周角、圆心角都是通过它们夹的（或对的）同一条弧（或等弧）联系起来，因此，当已知有切线时常添线构建弦切角或添切点处的半径应用切线的性质。,4、应用与推论,3、定理的证明,小结：,你掌握了吗？,.,相交弦定理、切割线定理、割线定理,.,CPPD=APPB,1、如右图，由射影定理可以得出什么关系式？,2、根据垂径定理，改写上式：,.,将AB、CD改为两条对一般情形的相交弦，上式还会成立吗？,.,同学们，你们现在可以写出证明吗？,.,一1、定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。2、弦AB和CD交与O内一点P，那么PAPB=PCPD,P,相交弦定理,二1、推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。2、CD是弦，AB是直径，CDAB，垂足是P，PC2=PAPB,.,交点P在圆内,思考,？,.,已知：点P为O外一点，割线PBA、PDC分别交O于A、B和C、D（如下图）求证：PAPB=PCPD,证明：连接AC、BD，四边形ABDC为O的内接四边形PDB=PAC，又P=PPBDPCAPD：PA=PB：PCPAPB=PCPD,割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每一条割线与圆的交点的两条线段的乘积相等,PAPC=PBPD,PAPB=PCPD,点C、D重合为一点会有什么结论？,.,切割线定理：从圆外一点引圆的一条割线和一条切线，这一点到割线与圆的交点的两条线段的乘积等于切线长的平方,PC切O于点C点=PAPB=PC2,思考：从这几个定理的结论里大家能发现什么特征？,结论都为乘积式,几条线段都是从同一点出发,都是通过三角形相似来证明（都隐含着三角形相似）,我们学过的定理中还有结论为乘积式的吗？,.,交端交端=交端交端,PAPB=PDPC,PT2=PAPB,PCPD=PAPB,相交弦定理,切割线定理,切割推线定论理,.,1.填空题(1)如图，弦AB和CD相交于O内一点G，则有GCGD=,GBGA,(3)如图，弦AB垂直于O直径MN于Q，MN：QN=5：1，AB=8，则MN=，,10,(2)已知：如图，弦AB与CD相交于P且PC=PD,AP=3，PB=1，CD=,.,(4)O中，弦CD把AB分成4cm和3cm两部分，CD被AB分为3：1两部分，则这两部分长分别是cm和cm.,2,6,A,C,.,例2：已知：如图，AB是圆O的弦，P是AB上的一点，AB=8.5cm，OP=3cm，PA=6cm，求圆O的半径。,.,例3、如图：在O中，P是弦AB上一点，OPPC，PC交O于C求证：PC2PAPB,.,例3已知:如图,O的割线PAB交O于点A和B，PA=6cm，AB=8cm，PO=10.9cm，求O的半径。,解:设O的半径为r,PO和它的延长线交O于C、D，由切割线定理的推论，有：,PAPB=PDPC,PA=6PB=6+8=14PC=10.9-rPD=10.9+r,故(10.9-r)(10.9+r)=614,取正数解,得r=5.9(cm),答:O的半径为5.9cm,.,另解,利用垂径定理,.,法三:,利用切割线定理,T,.,练习三：如图，圆o1和圆o2都经过点A和B，点P在BA的延长线上。过点P作圆O1的割线PMN交圆O1于M.N，作圆O2的切线PC交圆O2于C。求证：PMPN=PC2。,P,N,B,A,C,M,o1,o2,证明:,PC切圆O2于CPAB是圆O2的割线,PC2=PAPB,PAB是圆O1的割线PMN是圆O1的割线,PAPB=PMPN,PMPN=PC2,.,P,B,A,o1,o2,练习四：如图，圆o1和圆o2都经过点A和B，点P在BA的延长线上。过点P作圆O1的切线PC切圆O1于C，作圆O2的切线PD切圆O2于D。求证：PC=PD。,C,D,.,P,B,A,o1,C,D,练习五：如图，圆o1，圆o2，圆o3都经过点A和B，点P是BA的延长线上一点。PC，PD，PE分别与圆o1，圆o2，圆o3相切于C，D，E，求证：C，D，E在同一个圆上。,提示：PC=PD=PE,E,o3,o2,.,提