傅里叶积分与变换

( ) ,Dirichlet (1)( ) (2)( ) f tR l l f t f t 设为 上的实值函数,在任何 有限区间上满足条件是指： 、连续或至多有有限个第一类间断点； 、至多有有限个极值点 (Dirichlet)1.狄利克雷条件 (Fourier)第一章.傅里叶变换 1 0 ( )2 ,Dirichlet ( )(- , ) Fourier ( )cossin 2 n nn f tTl l l f tl l a t n tn t f t l b l a = = =+ 设以为周期的实值函数, 在上满足条件, 则在连续点 处可展开 为级数: (1.1) (Fourier)2.傅里叶级数 0 0 1 ( )cossin 2 1 ( ), = =+ = n nn l l n tn t f t ll fd l a ab a (1.1) 其中系数 1 1,2,( )cos, n l l n nf ll ad = L对， 1 ( )sin, n l l b n fd ll = ( )tf t若 为的间断点,则: 0 1 1 (0)(0) 2 cossin 2 nn n f tf t an tn t l ab l = + =+ 1、对非周期函数是否有类似的傅里叶展开？ 问 题 ： 2、该如何处理？ 1,记虚数单位为j= ( ) :( ), (- , ) 1 ( ) 2 + = jj t f tR l l t f teddef 定理 若在 内绝对可积 且在任意 有限区间内满足狄利克雷条件, 则在连续点 处有 (1.6) 傅里叶积分定理 1 (0)(0) () 2 1 2 + + = jtj f t f d tft eed 在 间 断 点 处 有 ( ) ()( ) ( ), () j ftR ffed ft f + = = (1).若在内 满 足 傅 里 叶 积 分 定 理 条 件 ,称 为的 傅 里 叶 变 换 (简 称 傅 氏 变 换 ) 也 记 作F( )ft 1 ( )() 2 jt ftfed + = (2).傅 里 叶 逆 变 换 定 义 为 = 1 F ()f 定义： ( )( )f tf象原函(3).称为,称数为象函数 ( ) ( ) ( )( ), f t f f tf (4).在不考虑间断点的取值时,与 在傅里叶变换下是一一对应的, 称与构成个傅里叶变换对一 ( )( )f tf记为 ( ), , ( )lim( ) + + = N NN f t f t dtf t dt (1).积分定理中出现的广义积分 均按照下取值 即柯西主值意义 注： n(2).傅里叶积分定理可推广到 维情形. ,0 ( ), 0,0 t et f t t = ta f ta ta (1).求矩形脉冲函数的傅氏变换 ( 为正常数) 例题2： 0 / 2,| 1 sincos/ 4,|0 0,| + ta atdt ta (2).用傅氏积分公式证明 | | | 1 ( )() sing ttat =(3).用对称公式求傅氏变换 ()( ) jt ff t edt + = (1).由 定 义 有 a a j t edt = 解： 1 ()() j t a a jtedj = 2sin a = sincossins 1 i 1 n 1j dattda + =+ 1 ( ),| 2 (0)(0),| f tta fafata = += | | 1 1 ()() 2 12 sin 2 jt jt ffed a ed + + = = ( 2 ) 由 傅 氏 积 分 定 理 有 F 0 sin 111 1,| | 21 sincos1/2 cossins , | | 0,| | in + + + at j dd ta a a tdta t t a 由奇、偶函数的积分性质可知 0 1 sincos + atd从而可计算 1sin ( )( ) 2 at g tft t = (3).易 知 1 ( )()() 2 gff = 由 对 称 公 式 可 知 1,| 0,| a a = 重要积分(狄利