4.5 简单的三角恒等变换

按Esc键退出,返回目录,4.5简单的三角恒等变换,按Esc键退出,返回目录,按Esc键退出,返回目录,按Esc键退出,返回目录,按Esc键退出,返回目录,知识梳理,1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式,sin()=;,cos()=;,tan()=.,答案：sincoscossincoscossinsin,按Esc键退出,返回目录,2.二倍角的正弦、余弦、正切公式,sin2=;,cos2=;,tan2=.,答案：2sincoscos2-sin22cos2-1,1-2sin2,按Esc键退出,返回目录,3.形如asin+bcos的化简,asin+bcos=sin(+),其中cos=,sin=,即tan=.,答案：,按Esc键退出,返回目录,4.半角公式,(1)用cos表示sin2,cos2,tan2.,sin2=;,cos2=;,tan2=.,按Esc键退出,返回目录,(2)用cos表示sin,cos,tan.,sin=;,cos=;,tan=.,(3)用sin,cos表示tan.,tan=.,按Esc键退出,返回目录,答案：(1),(2),按Esc键退出,返回目录,基础自测,1.下列各式中,值为的是().,A.2sin15cos15B.cos215-sin215,C.2sin215-1D.sin215+cos215,答案：B,2.化简的结果是().,A.-cos1B.cos1,C.cos1D.-cos1,答案：C,按Esc键退出,返回目录,3.若sin=a.则cos等于().,A.-aB.aC.1-aD.1+a,答案：B,4.函数f(x)=2sinx-2cosx的值域是.,答案：-2,2,5.(2012山东烟台模拟)若=2012,则tan2+=.,答案：2012,按Esc键退出,返回目录,何化简?,提示:在T(+)与T(-)中,都不等于k+(kZ),即保证tan,tan,tan(+)都有意义;若,中有一角是k+(kZ),可利用诱导公式化简.,2.你能用tan来表示sin2,cos2吗?,提示:sin2=2sincos=;,cos2=cos2-sin2=.,思维拓展,1.两角和与差的正切公式对任意角都适用吗?若出现不适用的情况如,按Esc键退出,返回目录,3.sin=,cos=,tan=的符号取决于什么?能否用sin及cos表示tan?,提示:各函数值的符号取决于所在象限.,tan=或tan=.,按Esc键退出,返回目录,按Esc键退出,返回目录,【例1-1】在ABC中,角C=120,tanA+tanB=,则tanAtanB的值为().,A.B.C.D.,一、两角和与差的三角函数公式的应用,答案：B,按Esc键退出,返回目录,解析:由题意得,tanC=tan-(A+B),=-tan(A+B)=-=-,又tanA+tanB=,解得tanAtanB=.故选B.,按Esc键退出,返回目录,【例1-2】化简:.,按Esc键退出,返回目录,解:原式,=,=,=,=cos2x.,按Esc键退出,返回目录,方法提炼1.运用两角和与差的三角函数公式时,不但要熟练,准确,而且要熟悉公式的逆用及变形,如tan+tan=tan(+)(1-tantan)和二倍角的余弦公式的多种变形等.,2.应熟悉公式的逆用和变形应用,公式的正用是常见的,但逆用和变形应用则往往容易被忽视,公式的逆用和变形应用更能开拓思路,培养从正向思维向逆向思维转化的能力,只有熟悉了公式的逆用和变形应用后,才能真正掌握公式的应用.,请做针对训练1,按Esc键退出,返回目录,二、角的变换,【例2-1】已知sin=-,则sin2x=.,解析;sin2x=-cos=-cos2=2sin2-1=2-1=.,答案：,按Esc键退出,返回目录,【例2-2】已知0,cos=,sin=,求sin(+)的值.,解:,-,-0.,又cos=,sin=-.,0,+.,按Esc键退出,返回目录,又sin=,cos=-,sin(+)=-cos=-cos,=-coscos-sinsin,=-=+=.,按Esc键退出,返回目录,方法提炼1.当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式;,2.当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.,3.常见的配角技巧:,=2;=(+)-;,=-(-);=(+)+(-);=(+)-(-);+=-.,提醒:特殊的角也看成已知角,如=-.,请做针对训练2,按Esc键退出,返回目录,三、三角函数式的化简,【例3-1】化简:(2).,解:原式,=,=,按Esc键退出,返回目录,=.,又2,.,cos0.,原式=cos.,按Esc键退出,返回目录,【例3-2】化简:.,解:原式=.,按Esc键退出,返回目录,方法提炼三角函数式的化简要遵循“三看”原则.,(1)一看“角”,这是最重要的一环,通过看角之间的差别与联系,把角进行合理的拆分,从而正确使用公式;,(2)二看“函数名称”,看函数名称之间的差异,从而确定使用的公式,常见的有“切化弦”;,(3)三看“结构特征”,分析结构特征,可以帮助我们找到变形的方向,常见的有“遇到分式要通分”等.,请做针对训练4,按Esc键退出,返回目录,四、三角函数式的求值,【例4】已知,tan+=-.求的值.,按Esc键退出,返回目录,解:tan+=-,3tan2+10tan+3=0,解得tan=-3或tan=-.,又,tan=-.,按Esc键退出,返回目录,=,=,=-.,按Esc键退出,返回目录,方法提炼三角函数的求值主要有三种类型,即给角求值、给值求值、给值求角.,(1)给角求值的关键是正确地选用公式,以便把非特殊角的三角函数相约或相消,从而化为特殊角的三角函数.,(2)给值求值的关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异,一般可以适当变换已知式,求得另外某些函数式的值,以备应用.同时也要注意变换待求式,便于将已知式求得的函数值代入,从而达到解题的目的.,(3)给值求角的关键是先求出该角的某一三角函数的值,其次判断该角对应的区间,从而达到解题的目的.,请做针对训练3,按Esc键退出,返回目录,五、三角恒等式的证明,【例5-1】求证:=sin2.,证明:左边=,=cossincos=sincos=sin2=右边.,原式成立.,按Esc键退出,返回目录,【例5-2】已知0,0,且3sin=sin(2+),4tan=1-tan2,证明:+=.,证明:3sin=sin(2+),即3sin(+-)=sin(+),3sin(+)cos-3cos(+)sin,=sin(+)cos+cos(+)sin,2sin(+)cos=4cos(+)sin,tan(+)=2tan.,按Esc键退出,返回目录,又4tan=1-tan2,tan=.,tan(+)=2tan=1,+,+=.,按Esc键退出,返回目录,方法提炼1.证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异,有目的的化繁为简、左右归一或变更论证.,2.三角恒等式的证明主要有两种类型:绝对恒等式与