31 求质点在中心势场 中运动的微分方程的解解：由公式

3.1求质点在中心势场中运动的微分方程的解。解：由公式，代入,令：,讨论：(1)当,第3章两体问题,选适当，使c=0,得,(2)当,选适当，使c=0,得,(3)当,选适当，使c=0,得,第（2），（3）中情况会出现r0，即质点被力心所俘获,当，t值有限,3.2质量相同的两个质点，用一固有长度为l劲度系数为k，质量不计的弹性棒连接起来，用手握住其中一个质点，使另一个做水平圆周运动，其速度为V0，然后将手放开，讨论这两个质点以后的运动情况。解：放手前，体系质心做圆周运动，放手后质心在离心力作用下做抛体运动。仅考虑体系的相对运动，体系势能。两粒子相对运动可看成质量为折合质量mr的质点的运动，,运动方程为：,其中：轨道方程为：,3.3质点在一纬中心引力的作用下，以速度为0，x=-a处开始运动，试求该质点到达力心o的时间。解：设无穷远处为势能零点，则,代入粒子在中心势的运动方程：,3.4定性的讨论粒子在中心势中的运动，式中k和为常数。解：当1时，V0，此时近似做自由粒子的运动；当1时，粒子近似做在势场中的开普勒运动；当1时，粒子近似做开普勒运动，但势场减弱为,3.6求粒子在中心力的作用下的轨道方程。解：粒子的中心势场可写为代入,令：，,其中：,3.8试求粒子在势场中运动且E=0(抛物线轨道)时，坐标对时间的依赖关系。解：粒子在中心势场中运动，代入,运动方程：,令，则,若，则,3.11证明在椭圆轨道情况下，动能对时间的平均值等于势能对时间的平均值的一半(位力定理)。证明：在椭圆轨道情况下，。设，a，c分别是半长轴和焦距,有：，周期,可写为：，即,势能：,动能：,证明2：,令：,经过一个周期：,又：，在椭圆轨道,3.13运动粒子m1和静止粒子m2碰撞后，试在实验室系中用粒子的偏转角来表示粒子碰撞后的速度，即用和来表示和解：设m1的初速度为,可得：,其中：,代入上式得：,3.22设一质量为m的质点在的中心力场中运动，试求其在稳定平衡位置r0附近做径向小振动的频率。解：由比耐公式，轨道微分方程为：,其中,设势场有一微小扰动，使粒子轨道,代入上式，保留到的一级项，得满足方程：,得轨道稳定条件为：,轨道稳定,附近径向振动频率,3.23在地球表面A处，一发射角60和初速发射一卫星，其中R为地球半径(自转可略)。(1)试求发射瞬间卫星轨道的曲率半径和切向加速度；(2)试求卫星离开地面的最大高度h及在此点的速率；(3)如果卫星在此最大高度突然分裂成相等的两半，其一半瞬时静止，试问另一半的轨道形状。解：卫星处于重力势场中，由重力Fmg,卫星的轨道方程可写为：,其中：,轨道方程为：，当r=R时,(1)受力分析得：,(2)当时，有,由机械能守恒有：,即：,(3)当一半瞬时静止，由动量守恒有，,即轨道形状为抛物线,(2)当时，有,由机械能守恒有：,即：,(2)双曲线轨道上面式(1),(3),(4),(5)均成立，但,代入(5)得，,(3)抛物线轨道式(1),(3),(4),(5)均成立，但e=1,代入(5)得，,(2)双曲线轨道，系统机械能为，,(3)抛物线轨道，系统机械能