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正弦余弦函数的性质,单增函数；,一、复习函数的单调性,且，都有：,单减函数；,函数的单调性反映了函数在一个区间上的,走向。,请认真观察正余弦函数的图像，看看其是否具有这类性质？,先看正弦函数图像,曲线逐渐上升，sin的值由增大到。,当在区间,上时，曲线逐渐下降，sin的值由减小到。,由正弦函数的周期性知：,正弦函数在每个闭区间,都是增函数，其值从1增大到1；,减函数，其值从1减小到1。,我们在来观察余弦函数的图像，看看是否有类似的特征。,再来观察余弦函数图像,曲线逐渐上升，cos的值由增大到。,曲线逐渐下降，sin的值由减小到。,由余弦函数的周期性知：,其值从1减小到1。,其值从1增大到1；,当xR时，即在整个定义域内并不单调，图像时而上升，时而下降，存在规范的单调区间。由于它们是周期函数，因此在考虑函数增减的问题时，只要研究一个周期即可。,分析：比较同名函数值的大小，往往可以利用函数的单调性，但需要考虑它是否在同一单调区间上，若是，即可判断，若不是，需化成同一单调区间后再作判断。,例1：,不求值，判断下列各式的符号。,解：,例2：确定下列函数的单调区间。,分析：利用的单调性来解。,解:,在上单减。,正弦函数的图像,二、观察正余弦函数的图像,余弦函数的图像,问题：它们的图像还有什么特征？,若从正弦函数上任取一点，即，,其关于原点的对称点，即，由,诱导公式知这个点也在正弦函数的,图像上。这说明什么？,这说明：将正弦函数曲线绕原点旋转180度后所得的曲线能够和原来的曲线重合。即正弦函数关于原点对称。,一般地，如果对于函数的定义域内的任意一个都有,则称为这一定义域内的奇函数。,据此可知，上述正弦函数是奇函数。,关于原点对称的函数一定是奇函数，且奇函数的图像一定关于原点对称。正弦函数是这样的。,那大家思考一下，余弦函数是否如此呢？,点，即，由诱导公式,任取一点，即，其关于y轴的对称,请观察余弦函数的图像回答。,分析：,知这个点也在余弦函数的图像上。这说明什么？,这说明若将余弦曲线延着y轴折叠，y轴两旁的部分能够互相重合，即余弦曲线关于y轴对称。,我们通过学过的知识知道：关于y轴对称的函数一定是偶函数，且偶函数的图像一定关于y轴对称。余弦函数是这样的。,从上面的分析知道，正余弦函数的奇偶性反映了正余弦函数的图像具有的对称性。,一般地，如果对于函数的定义域内的任意一个，都有则称为这一定义域内的偶函数。,据此可知，上述余弦函数是偶函数。,小结：,1、正余弦函数的单调
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