大学物理 第四章 刚体转动(二)

.,大学物理学电子教案,刚体的转动,4-2转动定律(下)4-3定轴转动的功能关系,.,（4）J和转轴有关，同一个物体对不同转轴的转动惯量不同。,（3）J和质量分布有关；,（2）M的符号：使刚体向规定的转动正方向加速的力矩为正；,惯性大小的量度；,转动惯量是转动,（1）M一定，J,复习,.,竿子长些还是短些较安全？,飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘？,.,质量为的刚体，如果对其质心轴的转动惯量为，则对任一与该轴平行，相距为的转轴的转动惯量,四、平行轴定理,42转动定律(下),.,证明：,P对Z轴的转动惯量,.,质量为m，长为L的细棒绕其一端的J,圆盘对P轴的转动惯量,.,对于薄板刚体，若建立坐标系Oxyz，其中z轴与薄板垂直，Oxy平面在薄板内，则薄板刚体对z轴的转动惯量等于对x轴的转动惯量和对y轴的转动惯量之和。,五、垂直轴定理,.,例：求对薄圆盘的一条直径的转动惯量。,已知圆盘,解：,.,六、刚体定轴转动定律的应用,题目类型已知两个物理量，求另一个：1.已知J和M，求2.已知J和，求M3.已知M和，求J,解题步骤1.确定研究对象；2.受力分析；3.选择参考系与坐标系；4.列运动方程；5.解方程；6.必要时进行讨论。,注意以下几点：1.力矩与转动惯量必须对同一转轴而言的；2.要选定转轴的正方向，以便确定已知力矩或角加速度、角速度的正负；3.系统中有转动和平动，转动物体转动定律平动物体牛顿定律,.,例题1一轻绳跨过一定滑轮，滑轮视为圆盘，绳的两端分别悬有质量为m1和m2的物体1和2，m1m1，物体1向上运动，物体2向下运动，滑轮以顺时针方向旋转，M的指向如图所示。可列出下列方程,式中是滑轮的角加速度，a是物体的加速度。滑轮边缘上的切向加速度和物体的加速度相等，即,从以上各式即可解得,.,而,.,当不计滑轮质量及摩擦阻力矩即令m=0、M=0时，有,上题中的装置叫阿特伍德机，是一种可用来测量重力加速度g的简单装置。因为在已知m1、m2、r和J的情况下，能通过实验测出物体1和2的加速度a，再通过加速度把g算出来。在实验中可使两物体的m1和m2相近，从而使它们的加速度a和速度v都较小，这样就能角精确地测出a来。,.,稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O转动试计算细杆转动到与竖直线成角时的角加速度和角速度,例2一长为l、质量为m匀质细杆竖直放置，其下端与一固定铰链O相接，并可绕其转动由于此竖直放置的细杆处于非,m,l,O,mg,.,解细杆受重力和铰链对细杆的约束力作用，由转动定律得,式中,得,m,l,O,mg,.,由角加速度的定义,对上式积分，利用初始条件，,m,l,O,mg,解得：,有,.,例题3一半径为R，质量为m匀质圆盘，平放在粗糙的水平桌面上。设盘与桌面间摩擦系数为，令圆盘最初以角速度0绕通过中心且垂直盘面的轴旋转，问它经过多少时间才停止转动？,解由于摩擦力不是集中作用于一点，而是分布在整个圆盘与桌子的接触面上，力矩的计算要用积分法。在图中，把圆盘分成许多环形质元，每个质元的质量dm=rddre，所受到的阻力矩是rdmg。,.,此处e是盘的厚度。圆盘所受阻力矩就是,因m=eR2，代入得,根据定轴转动定律，阻力矩使圆盘减速，即获得负的角加速度.,.,设圆盘经过时间t停止转动，则有,由此求得,.,力的空间累积效应：力的功、动能、动能定理,4.3定轴转动中的功能关系,.,一、力矩的功,力矩对空间的累积效应,在转动平面内,刚体角位移为d,质点元位移为,元功：,r,r,d,.,定义：力矩的功,（1）若M为恒力矩,（2）合外力矩的功,对转动物体，力做的功力矩的功,说明,力矩的功率,.,二、刚体的转动动能,.,转动动能是转动时各个质元动能之和，而不是一种新能量。,说明,ri,.,三、定轴转动动能定理,定轴转动刚体的动能定理：合外力矩做的功等于刚体转动动能的增量。,刚体内力做功之和为零：,.,四、刚体的重力势能,hc为刚体质心的高度,刚体的重力势能，等于把刚体的全部质量集中于质心时质心的势能。,定轴转动刚体的机械能：,结论,.,五、一般体系,1.动能定理,体系中包含做定轴转动的刚体和平动的物体,2.功能原理,3.机械能守恒定律,只有保守内力做功,.,例题：如图所示，一质量为M、半径为R的圆盘，可绕一无摩擦的水平轴转动。圆盘上绕有轻绳，一端悬挂质量为m的物体。问物体由静止下落高度h时，其速度的大小为多少？设绳的质量忽略不计。,解：对于圆盘，根据转动动能定律,对于物体，由质点动能定理，得,.,由牛顿第三定律,由于绳与圆盘之间无相对滑动，故有,解上述方程，可得,.,解先对细棒OA所受的力作一分析；重力作用在棒的中心点C，方向竖直向下；轴和棒之间没有摩擦力，轴对棒作用的支承力垂直于棒和轴的接触面且通过O点，在棒的下摆过程中，此力的方向和大小是随时改变的。,例题:一根质量为m、长为L的均匀细棒OA（如图），可绕通过其一端的光滑轴O在竖直平面内转动，今使棒从水平位置开始自由下摆，求细棒摆到竖直位置时其中点C和端点A的速度。,.,在棒的下摆过程中，对转轴O而言，支撑力N通过O点，所以支撑力N的力矩等于零，重力G的力矩则是变力矩，大小等于mg(L/2)cos，棒转过一极小的角位移d时，重力矩所作的元功是,在使棒从水平位置下摆到竖直位置过程中，重力矩所作的功是,应该指出：重力矩作的功就是重力作的功，也可用重力势能的差值来表示。棒在水平位置时的角速度00，下摆到竖直位置时的角速度为，按力矩的功