三体问题： 惯性参考系中如果有n个质点,求解这n个质点的...【精选-ppt】

三体问题： 惯性参考系中如果有N个质点，求解这N个质点的运动方程就是N体问题。质点间所有的作用力都来自于体系内的这N个质点之间。在天体力学里面，通常只考虑万有引力。N=2，就是二体问题。N=3，也就是我们要讨论的三体问题。,限制性三体问题,三体问题是经典力学里面的天体力学的老难题，从牛顿时代起就是物理学家和数学家的恶梦！,N=2的情况，牛顿时候已经基本解决。两个质点在一个平面上绕着共同质心作圆锥曲线运动，轨道可以是圆、椭圆、抛物线或者双曲线。,然而三体运动的情况分析起来却糟糕得多，虽然已经将天体简化成了质点。就是对于极其简化了的三体问题，牛顿、拉格朗日、拉普拉斯、泊松、雅可比、庞加莱等等大师们献上了无数脑汁也未能将它攻克。当然，努力也没有完全白费的，摄动方法就是收获之一，是非常有效的解决问题的近似方法。,三体问题的简化,为了解三体问题，那就考虑再简化些吧。认为其中一个质点的质量非常小，它对其它两个质点的万有引力可以忽略。这样一来，三体问题就简化成了“限制性三体问题”。事实上，这样的简化等于是先解一个二体问题，然后加入一个质量很小的质点，再求解这个质点在二体体系中的运动方程。 然而，即使这样也还是太复杂了。需要再作简化，就是所谓“平面限制性三体问题”，就是要求三个质点都在同一个平面上。然而，即使是对这样极度简化的模型，也还是没有解析通解，也就是得到一个普遍适用的公式是不可能的。 我们下面讨论的就是平面限制性三体问题，简称限制性三体问题。,设有三个质点m, m1, m2满足mm1, mm2。m1和m2组成二体体系（m1, m2）各自绕系统的质心O做开普勒运动。设r1, r2为点O至m1, m2的矢径，满足mr1+mr2=0。m1作用于m2的万有引力 ,r=r2-r1，为m1至m2的矢径。很容易得到：u, u1*,u2*定义为：方程表明m2相对m1的运动是以m1为焦点的开普勒运动，而m1和m2相对质心O的运动也分别是以O为焦点的开普勒运动。,以O为原点建立动坐标系，令x轴沿m1至m2的连线，z轴沿轨道平面法线，m1，m2在x轴上的坐标分别为a1和-a2（如图）。此坐标系随同m1,m2的圆轨道运动而绕z轴旋转。角速度:依据此前的假设，只讨论质点m在(m1,m2)的轨道平面xoy内运动的简单情形。分别以,1, 2表示自点O, m1, m2指向点m的矢径。由叠加原理，m在m1,m2的势场下，势函数表述为：式中, m受到的万有引力可表述为：其动力学方程为：,将 以相对坐标系的相对倒数表述，得到动力学方程的标量形式：令 为质点m在坐标系内的相对速度，能量积分为：V*为质点由m1和m2的引力场及动坐标系的离心力场组成的相对势能:能量积分结果显示质点m相对于动坐标系运动的机械能守恒。由能量积分结果，质点速度可表述为：总能量E确定以后，点m必须在确定的范围内运动才能保证质点的速度平方为正值，此运动范围的边界与零速度相对应。如令v=0，则可以得到以E为参数的边界曲线族，称为Hill曲线。,随着E的增大，质点的运动范围从m1, m2周围的局部区域逐渐扩大到互相连通， 当E0时，m的运动范围不受限制。,相对平衡位置及稳定性,在（m1, m2）的万有引力场和离心力场共同作用下，质点m在动坐标面上可能存在的平衡位置，记作（xs, ys）。在平衡位置处，质点的运动范围缩为一个点，即Hill曲线的奇点，令动力学方程中质点的速度和加速度均为0. 得到(xs, ys）应满足的方程：1s,2s为平稳位置与m1,m2的距离。显然方程存在两组解，一组在轴x的(-,-a2), (-a2, a1),(a1, + )三个区间内, 记为L1, L2, L3, 另一组分别记为L4, L5, 分别与m1和m2构成等边三角形。总共5个平衡位置如图所示。,L1, L2, L3是由数学家欧拉推算出来的， L4, L5是由拉格朗日推算出来得。但后来习惯上将这五个点都称为拉格朗日点。从Hill曲线上可以看出， L1, L2, L3是不稳定平衡点，而L4, L5是稳定的平衡点。,拉格朗日平衡点的证实,拉格朗日点的求解多少显得有点象数学游戏。但是，后来的发现却证实了拉格朗日点的存在，并且发现这些点都具有非常重要的意义。,1906年，德国天文学家马克思沃尔夫发现了一颗奇异的小行星。它的轨道与木星相同，而不在通常所说火星轨道与木星轨道之间的小行星带里。最奇妙的是，它的绕日运动周期与木星相同。从太阳看去，它总是在木星之前60运转，不会与木星贴近。天文学家沙利叶敏锐地意识到它可能位于拉格朗日所求解的特解点上。果然，天文学家很快就在木星之后60的位置上，也发现了小行星。迄今为止，在木星前后这两个拉格朗日点上，已找到700颗小行星。 这就是著名的特洛伊群和希腊群小行星。 事实上，在任何双星系统、行星和太阳、卫星和行星 的轨道面上，都存在5个拉格朗日点。其中L1, L2, L3不稳定，而L4, L5是稳定的。后来人们陆续发现，土卫三的L4和L5点有两个小卫星，分别是土卫十三和土卫十四；土卫四在L4点有一个卫星土卫十二。 更多的发现无可争议地证实了拉格朗日点的存在。,拉格朗日平衡点的意义,对于地日系统，同样存在5个拉格朗日点，这5个点的意义分别为：,L1：飞行器绕太阳旋转，距太阳越近，轨道周期就越短。但是这忽略了地球的万有引力对其产生的影响。如果这个物体在地球与太阳之间，地球引力的影响会抵消掉部分太阳的引力，因此增加了轨道周期。物体距地球越近，这种影响就越大。在L1点，物体的轨道周期恰好等于地球的轨道周期。太阳及日光层探测仪即围绕日地系统的L1点运行。,L2:飞行器距太阳越远，轨道周期就越长。地球引力与太阳引力叠加减小了其轨道周期。在L2点，轨道周期变得与地球相等。威尔金森微波各向异性探测器和詹姆斯韦伯太空望远镜就被放置在日地系统的L2点上。2010年8月25日23时27分,“嫦娥二号”就曾经实现从月球轨道出发，进入距离地球约150万公里远的、太阳与地球引力平衡点拉格朗日L2点的环绕轨道进行探测工作。,L3:L3位于太阳的另一侧，比地球距太阳略微远一些。地球与太阳的合引力再次使物体的运行轨道周期与地球相等。一些科幻小说和漫画经常会在L3点描述出一个“反地球”