浅谈中学数学中的反证法.doc

本科生毕业论文本科生毕业论文 浅谈中学数学中的反证法 院院 系：系： 数学与计算机科学学院数学与计算机科学学院 专专 业：业： 数学与应用数学数学与应用数学 班班 级：级： 20082008 级数学与应用数学级数学与应用数学(2)(2)班班 学学 号：号： 200807110211200807110211 姓姓 名：名： 黎康乐黎康乐 指导教师：指导教师： 陈志恩陈志恩 完成时间：完成时间： 20122012 年年 5 5 月月 2626 日日 宁夏师范学院 2012 届本科生毕业论文 1 浅谈中学数学中的反证法 摘要: 数学命题的证明分直接证法和间接证法两种在间接证法中，最常见的是反证 法虽然平时我们接触了相关方面的知识，但比较零散，对其概念、应用步骤、使用 范围等没有系统的认识，并且由于数学命题的多样性、复杂性， 哪些命题适宜用反证 法很难给出确切的回答.本课题通过查阅资料和自己在学习数学过程中的发现就中学数 学中反证法的概念、反证法的逻辑依据、种类及步骤，解题过程中怎样由假设出发寻 找矛盾、以及哪些类型的问题适宜从反证法出发进行证明的问题进行了归纳并总结 出在学习反证法的过程中应注意的三个方面，通过对以上提出的所有问题进行系统归 纳，这有利于帮助学生系统的学习反证法，提高学生利用反证法进行解题的技巧从而 达到预期效果. 关键词: 反证法 假设 矛盾 结论 宁夏师范学院 2012 届本科生毕业论文 2 Abstract: The mathematical proof points directly proofs proposition and indirect proof two. In indirect proof, the most common is required. Although peacetime we contact with the related knowledge, but is scattered, of the concept, application procedures, the scope of use of not understanding of the system, and the mathematical proposition the diversity and complexity, which is suitable for proposition is very difficult to give the exact with reduction to answer. This subject will be required in the middle school mathematics concept, apagoge is logical basis, types and steps, problem solving process of how a hypothesis of contradictions, and looking for what types of questions appropriate counter-evidence method from the proof of the set out on the induction. And summed up in the process of learning be should be paid attention in the three aspects, through all the questions put to the above system induce, this will help the students to learn the required system, improve the students use to problem solving skills required to achieve the expected effect. Key words: Counter-evidence method hypothesis contradiction conclusion 宁夏师范学院 2012 届本科生毕业论文 3 目 录 1 引言.1 2 反证法的概念、反证法的逻辑依据、种类步骤及相关实例.1 2.1 反证法的概念 .1 2.2 反证法逻辑依据 .2 2.3 反证法步骤 .3 2.4 相关实例 .3 3 中学数学中宜用反证法的适用范围.6 3.1 否定性命题 .7 3.2 限定式命题 .7 3.3 无穷性命题.8 3.4 逆命题 .9 3.5 某些存在性命题 .10 3.6 全称肯定性命题 .11 3.7 一些不等量命题的证明 .11 3.8 基本命题 .13 3.9 整除性问题 .14 3.10 小结 .14 4 运用反证法应注意的问题.14 4.1 必须正确否定结论 .14 4.2 必须明确推理特点 .14 4.3 了解矛盾种类 .15 5 结论.15 参 考 文 献.16 宁夏师范学院 2012 届本科生毕业论文 4 谢 辞.17 宁夏师范学院 2012 届本科生毕业论文 1 1 1 引言引言 数学命题的证明分直接证法和间接证法两种在间接证法中，最常见的是反证 法反证法是数学的一种极其重要的方法，特别是遇到的一些直接证明难于入手，甚 至无法入手的问题，反证法可使证明变得轻而易举.它和分析法、综合法一样，有着悠 久的历史，应用也相当广泛. 虽然平时我们接触了相关方面的知识，但比较零散，对其概念、应用步骤、使用 范围等没有系统的认识，并且由于数学命题的多样性、复杂性， 哪些命题适宜用反证 法很难给出确切的回答，所以在中学数学中，反证法是一个难点.在学习反证法之前， 学生在学习平行线、相交线、三角形等各章中，证题用的都是直接证法，突然学习反 证法，与已有的证题习惯不同，所以学生初学反证法，会有排斥的心理.加之，现在课 本要求不高，例题很少，学生与老师不重视，知识不巩固，使学生无法深刻理解反证 法的作用.但是，中学生好奇心强，对新鲜事物兴趣浓，抓住这一特点，从浅显的、学 生熟知的事实入手说明“反证法”，再引导其抽象概括，就能收到很好的教学效果， 所以本课题就反证法的概念、反证法的逻辑依据、种类及步骤，解题过程中怎样否定 结论寻找矛盾、哪些类型的问题适宜从反证法出发进行证明的问题进行了归纳，并通 过实例表现反证法的思维方式，说明反证法在解题中的重要作用，使学生深刻理解反 证法的实质，切实掌握它的解题要领，从而提高逻辑思维能力和解决实际问题的能力. 2 2 反证法的概念、反证法的逻辑依据、种类步骤及相关实例反证法的概念、反证法的逻辑依据、种类步骤及相关实例 有这样一件事：有一天，小赵和朋友去吃饭，当经过一家餐厅时朋友们都说去这 家餐厅吃饭，可小赵却不同意，他说：“这家饭菜肯定不好吃，如果好吃的话在这家 餐厅吃饭的人肯定很多，而事实是这家餐厅没人吃饭，所以这家饭菜肯定不好吃.”这 个故事中小赵用了一种特殊的方法，从反面论述了这家餐厅饭菜不好吃.这种间接的证 法就是下面讨论的反证法. 2.1 反证法的概念 反证法是从反面的角度思考问题的证明方法，属于“间接证明”的一类，即肯定 宁夏师范学院 2012 届本科生毕业论文 2 题设而否定结论，从而导出矛盾，推理而得. 反证法是数学中常用的间接证明方法之一.反证法的逻辑基础是形式逻辑基本规律 中的排中律.通常反证法是在待证命题正面难以入手而从待证命题的结论的反面入手进 行正确推理,推出矛盾,从而得出原结论的反面不真,由此肯定原结论为真【1】.假设命题 的否定成立，即在“已知条件”和“命题的否定”这个新条件下，通过逻辑推理，得 出与公理定理、题设、临时假定相矛盾的结论或自相矛盾，从而断定命题判断的反 面不成立，即证明了命题的结论一定是正确的，当命题由已知不易直接证明时,改证它 的逆命题的证明方法叫反证法【2】. 例 2.1.1 函数在上有意义，且如果对于不同的)(xf 1 , 0),1 ()0(ff 都有求证：. 1 , 0, 21 xx|,| )()(| 2121 xxxfxf 2 1 | )()(| 12 xfxf 证明： 假定至少存在一组不同的使得 1 , 0, 21 xx .（不妨设） 2 1 | )()(| 12 xfxf 21 xx 由已知条件得 | )()0(| ) 1 ()(| ) 1 ()0()()(| )()(| 121212 xfffxfffxfxfxfxf | )()(|1|11|0|1| 12121212 xfxfxxxxxx 即，1| )()(|2 12 xfxf 2 1 | )()(| 12 xfxf 这与假设矛盾，假设不成立，因此原命题成立. 2.2 反证法逻辑依据 反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”. 排中律是在同一思维过程中，两个矛盾的思想必有一个是真的. 宁夏师范学院 2012 届本科生毕业论文 3 排中律常用公式来表示，意即真或真.其中和表示两个互相矛盾的AAAAAA 概念或判断. 排中律要求人们思维有明确性，避免模柃两可.它是同一律和矛盾律的补充和发挥， 进一步指明正确的思维不仅要求确定，不互相矛盾而且应该明确地表示肯定还是否定， 不能模柃两可，不能含糊不清.排中律和矛盾律都不允许有逻辑矛盾，违反了排中律， 同时也违反了矛盾律，所以两者是互相联系的.它们的区别在于：矛盾律指出两个互相 矛盾的判断，不能同真，必有一假；排中律则指出两个矛盾判断，不能同假，必有一 真. 排中律是反证法的逻辑基础.当直接证明某一判断的正确性有困难时，根据排中律， 只要证明这一判断的矛盾判断是假就可以了.例如，要证明不是有理数有困难时，2 只要证明是有理数为假就可以了.2 2.3 反证法步骤 （1） 反设：假设所要证明的结论不成立，而设结论的反面成立； （2） 归谬：由“反设”出发，以通过正确的推理，导出矛盾与已知条件 已知的公理定理定义反设及明显的事实矛盾或自相矛盾； （3） 结论：因为推理正确，产生矛盾的原因在于“反设”的谬误，既然结论的 反面不成立，从而肯定了结论成立【3】. 2.4 相关实例 2.4.1 由假设或已知所推出的结果与已知条件相矛盾 例：已知+，求证：+. 3 p 3 q2pq2 分析：这是一个不等式问题 （1）反设：结论是“+” ，则应假设为，那么将作为下一pq22 qp2 qp 宁夏师范学院 2012 届本科生毕业论文 4 步“归谬”的已知条件. （2）归谬：是一个已知条件，结合题设分析、均为三次方，故由2 qppq ,2 qp 得 ，2pq 所以 ,6128)2( 3233 qqqqp , 22) 1(66128 2233 qqqqp .2 33 qp 这个结论与已知+=2 矛盾，而推理正确，故而假设错误. 3 p 3 q （3）肯定结论：肯定结论+正确，命题得证.pq2 2.4.2 由假设或已知推出的结果与已学定理相矛盾 例：已知:如图 1，设点、在同一直线上，求证：过、三点不能作圆.ABCABC 分析：命题的结论是一个否定性结论. （1）反设：不能能，假设过、三点能作圆，那么这个结论将作为下一ABC 步“归谬”的一个已知条件. （2）归谬：由上述假设过、三点能作圆出发，设此圆圆心为，则、ABCOA 、三点中连任意两点的线段是圆的弦，由垂径定理：既在的中垂线 BCOOAB 上，又在的中垂线上，从而过点有两条直线与均与垂直，OMBCONOOMONAC 宁夏师范学院 2012 届本科生毕业论文 5 这个结论就与定理“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾.推理正确，故 而假设错误. （3）肯定结论：即过同一直线上三点、不能作圆.ABC 2.4.3 由假设或已知推出的结果与已学性质相矛盾 例：已知，求证：（+） 0,0ab 2 1 abab 分析：（1）反设：结论是“，则应假设（+） 1 2 abab （2）归谬：（+） 1 2 abab +2abab -2+0aabb （与已知结合）又 ，0,0ab （-）0ab 2 此结论与实数平方的非负性质矛盾，说明假设错误. （3）肯定结论：（+） 1 2 ab.ab 图 2-4 宁夏师范学院 2012 届本科生毕业论文 6 2.4.4 由假设或已知所推出的结果与已学公理相矛盾. 例：在同一平面内，若 ，是垂直于直线 的两条不同的直线，则直线，不相交. 1 l 2 ll 1 l 2 l 分析：这是一个几何问题，涉及到直线的垂直问题. （1）反设：假设 ，相交 1 l 2 l （2）归谬：因为 ，相交，所以从直线 外一点（ ，交点）引两条直线 ， 1 l 2 ll 1 l 2 l 1 l 同它垂直，又由平面几何知识可知，从直线 外一点不可能引两条不同直线 ，同 2 ll 1 l 2 l 它垂直，这显然与公理相矛盾，所以假设不成立. （3）肯定结论：命题成立，即若直线 与直线同时垂直于直线 ，则 ，不相 1 l 2 ll 1 l 2 l 交. 2.4.5 由已知所推出的结果与假设相矛盾 例：已知+2，求证：-1aaa 分析：（1）反设：假设-1a （2）归谬：因为-1，所以-， 又所以-22故-aaa2 aaaa 1这与假设相矛盾，所以假设不成立 （3）肯定结论：所以-1.a 总结：从假设出发，结合已知条件，利用已学知识进行恰当地推理，常常可得出 与已学性质、定理、已知条件或假设矛盾. 3 3 中学数学中宜用反证法的适用范围中学数学中宜用反证法的适用范围 反证法虽然是在平面几何教材中出现的，但对数学的其它各部分内容，如代数、 三角、立体几何、解析几何中都可应用.那么，究竟什么样的命题可以用反证法来证呢？ 宁夏师范学院 2012 届本科生毕业论文 7 当然没有绝对的标准，但证题的实践告诉我们：下面几种命题一般用反证法来证比较 方便【4】. 3.1 否定性命题 即结论以“没有” “不是” “不能”等形式出现的命题，直接证法一 般不易入手，而反证法有希望成功. 例 3.1.1 设、为不相等的实数，求证：3 个二次方程,ABC 2 0AxBxC ,不可能有等根. 2 0BxCxA 2 0CxAxB 证明：设 3 个二次方程都有等根，则显然应有 , , , 2 0BAC 2 0CAB 2 0ABC 将该 3 式相加，得 , 222 0ABCBCACAB 即 , 222 ()()()0ABBCCA 由此可推得，这和已知矛盾，所以 3 个二次方程不可能都有等根.ABC 例3.1.2 求证：在一个三角形中，不能有两个角是钝角.已知：，是三角ABC 形ABC的三个内角.求证：，中不能有两个钝角.ABC 证明：假如，中有两个钝角，不妨设,且，则ABC90A 90B .这与“三角形内角和为”这一定理相矛盾. 故 ，均180ABC 180AB 大于不成立.所以，一个三角形不可能有两个钝角.90 宁夏师范学院 2012 届本科生毕业论文 8 3.2 限定式命题 即结论中含有“至多” 、 “至少” 、 “不多于”或“最多”等词语的命题【5】. 例 3.2.1 在半径为的圆中，有半径等于 1 的九个圆，证明：至少有两个小圆的公共5 部分的面积不小于. 9 证明：每个小圆的公共部分的面积都小于， 9 而九个小圆共有个公共部分，九个小圆的公共部分面积要小于， 2 9 36C 364 9 又大圆面积为，则九个小圆应占面积要大于，这是不可能的，故至少5945 有两个小圆的公共部分面积不少于. 9 例 3.2.2 例 7 已知，都是正整数，求证：在三个数mnp 中，至多有一个数不小于 1, mnp abc nppmmn 证明：假设， 中至少有两个数不小于 1，不妨设，则abc1a 1b ，mnpnpm 两式相加，得，从而，与是正整数矛盾20p 0p p 所以命题成立 说明 “不妨设”是为了简化叙述，表示若有，和等其他各种情况1b 1c 1a 时，证明过程是同样的 3.33.3 无穷性命题无穷性命题 即涉及各种“无限”结论的命题. 宁夏师范学院 2012 届本科生毕业论文 9 例 3.3.1 求证：是无理数.2 分析：由于题目给我们可供便用的条件实在太少，以至于正面向前进一小步都非 常困难.而无理数又是无限不循环的， “无限”与“不循环”都很难表示出来.当反设 是有理数时，就增加了一个具体而有效的“条件” ，使得能方便地将表示为一个22 分数. 证明：假设是有理数，则存在互质，使，从2baNba,.,且 22 22ba b a 而，为偶数，记为，则也是偶数.由,均为偶数aca2 22 4ca 22 2bc bab 与、互质矛盾，故是无理数.ab2 例 3.3.2 求证：素数有无穷多个. 证明：假设素数只有 n 个： P1、P2Pn，取整数 N=P1P2Pn+1，显然 N 不能被这 几个数中的任何一个整除.因此，或者 N 本身就是素数（显然 N 不等于“P1、P2、Pn 中任何一个） ，或者 N 含有除这 n 个素数以外的素数 r，这些都与素数只有 n 个的假定 相矛盾，故素数个数不可能是有限的，即为无限的. 3.4 逆命题 某些命题的逆命题，用反证法证明时可利用原命题的结论，从而带来方便. 例 3.4.1 正命题：若四边形有一个内切圆，则对边之和必相等. 逆命题：若四边形对边之和相等，则它必有一个内切圆. 图 3-4 宁夏师范学院 2012 届本科生毕业论文 10 逆命题的证明：如图 2-4，若 AB+CDAD+BC（1） ，设四边形 ABCD 不能有一个内切 圆，则可作O 与其三边 AD、DC、AB 相切，而 BC 与O 相离或相交，过 C 作O 的切 线交 AB 或延长线于点 E,由正命题知：AE+CDAD+CE（2）.当 BC 与O 相离时， （1）- （2）得 AB-AEBCCEBCCE+BE，这与三角形两边之和大于第三边相矛盾；当 BC 与O 相交时， （2）-（1）得 AE-ABCEBCBCCE+BE，同样推出矛盾，则 BC 与 O 不能相交或离，BC 与O 必相切，故四边形必有一个内切圆. 3.5 某些存在性命题 例3.5.1 设,求证:对于,必存在满足条件的,使,0,1x y, a bR, x y 成立. 1 3 xyaxby 证明：假设对于一切,使恒成立，令,则,0,1x y 1 3 xyaxby0 x 1y ;令, ,得,令,得,但 1 3 b 1x 0y 1 3 a 1xy 1 1 3 ab 产生矛盾,故欲证结论正确. 111 111 333 abab 例3.5.2 已知ABC 的三边满足,求证: 中至少有两个角不超过 2 ab b ABCA60 证明: 设至少有两个角超过60,180ABC 中至多有两个角超过,即所设等价于“中有两个角超过”ABCA60ABCA60 我们不妨设、 则:、 60A 60C 1 cos 2 A 1 cos 2 C 由余弦定理: (1) 22222 2coscbaabCbaba (2) 22222 2cosabcbcAbcbc 宁夏师范学院 2012 届本科生毕业论文 11 （1）+ （2）得: 即: 与已知矛盾 2 2bbabc 2 ac b 故假设错误,即: 中至少有两个角不超过60.ABCA 3.6 全称肯定性命题 即结论以“总是” 、 “都” 、 “全”等出现的，这类肯定 性命题可以用反证法试试【6】. 例 3.6.1 求证:无论是什么自然数，总是既约份数.n 214 143 n n 证明：假设不是既约分数，令（1） ，（2） 314 421 n n 214nka143nkb （） ，且为既约，由（2）3-（1）2 得, ,1k a bN k a b ， 1 32132kbkaba k 因为整数，32ba 为分数，则不成立，故假设不成立，分数是既约的. 1 k 1 32ba k 214 143 n n 3.7 一些不等量命题的证明 如：不等式，反证法是证明它的一种重要方法，但当结论反面有无穷多种情况时， 一般不宜用反证法. 例 3.7.1 已知且，求证：., , ,a b c dR1adbc 2222 1abcdabcd 证明：假设,把代入前式得： 2222 1abcdabcd1adbc 即 2222 0abcdabbcadcd 2222 0abbccdad ，从而与, , ,a b c dR0abbccdadabcd0adbc 矛盾.故假设不成立，原命题成1adbc立. 宁夏师范学院 2012 届本科生毕业论文 12 例 3.7.2 如图 2-7，在中，,求证：.ABCACBABAC 分析：此题看似简单，不用反证法，用平面几何的知识也能解决，也可以用反证 法加以证明. 证明：假设不大于，即，下面就或两种情况加ABACABACABACABAC 以证明，若说明这两种情况都不成立，则假设错误，即原命题成立. （1） 若，则为等腰三角形，与已知矛盾.ABACABCABC CB （2） 若，在延长线上取一点，使得，连接. ABACABDADACDC 为等腰三角形 ， 又为ADACADCAADCACD ABC 的一个外角 而ABDAABCBDCACD ACDACBC 即，与已知矛盾. 假设不成立，原命题成立.ABCCBC 例 3.7.3 求证：当有两个不相等的非零实数根时，必有 22 0 xbxc0bc 分析 这个命题的条件是：如果有两个不相等的非零实数根，结论 22 0 xbxc 是：那么而的否定是，而有三种情况：(1)；(2)0bc 0bc 0bc 0bc 0,0bc ，；(3)，0b 0c 0b 0c 证明：假设0bc 图 3-7 宁夏师范学院 2012 届本科生毕业论文 13 (1)若，方程变为，那么是方程的根，0b 0c 2 0 x 12 0 xx 22 0 xbxc 这与已知条件中方程有两个不相等的非零实数根矛盾 (2)若，方程变为，则，与矛盾0b 0c 22 0 xc 22 0 xc 22 0 xbxc (3)若，方程变为，方程根为，这与条件中0b 0c 2 0 xbx 1 0 x 2 xb 方程有二个非零实数根矛盾 综合(1)，(2)，(3)可知0bc 3.8 基本命题 除了以上几种常见题型宜用反证法，还有以下几种情形的命题可用反证法： 基本定理、公理以及一些定理的逆定理； 条件较少，且又无公理、定理可用； 直接证法较难，命题结论的反面更易于反驳. 如：平面几何在按照公理化方法建立起它的科学体系时，最初只是提出少量的定 义、公理.因此，起始阶段的一些性质和定理很难直接推证，它们多数宜用反证法来证 明. 例 3.8.1 求证：两条相交直线只有一个交点.已知：如图 2-8，直线、相交于点,abP 求证：、只有一个交点.ab 证明：假定a，b相交不只有一个交点P，那么a, b至少有两个交点P、Q.于是 图 3-8 宁夏师范学院 2012 届本科生毕业论文 14 直线a是由P、Q两点确定的直线，直线 b 也是由P、Q两点确定的直线，即由P、 Q两点确定了两条直线a , b.与已知公理“两点只确定一条直线”相矛盾，则a, b不可 能有两个交点，于是两条相交直线只有一个交点. 3.9 整除性问题 例 3.9.1 设、都是整数， 能被 3 整除，求证：和都能被 3 整除.ab22abab 证明：假设、不都能被 3 整除，分三种情况讨论：（1）、都不能被 3 整abab 除，因不能被 3 整除，故不能被 3 整除，同理，2不能被 3 整除，所以也a2ab22ab 不能被 3 整除，矛盾.（2）能被 3 整除，不能被 3 整除，可得能被 3 整除，2ab2a 不能被 3 整除，故也不能被 3 整除，矛盾.同理可证第三种情况.由（1） （2）b22ab （3）得，原命题成立. 3.10 小结 总之，当从已知条件出发要证出结论较困难时，而此时结论的反面又比结论本身 更明确、更具体、更简单、更易判断时就可考虑用反证法.在学习和解决实际问题的过 程中须注意命题的结论中如有“能” 、 “有” 、 “一定”等肯定性词语时，或有“不能” 、 “不是” 、 “不存在” 、 “不可得”等否定语句时，或命题结论中有“至多” 、 “至少” 、 “无穷”等词语时常可考虑用反证法，另外不等关系的证明，当结论的反面容易否定 时，也可用反证法.只要不断地进行探索和总结，就能切实掌握如何应用反证法. 4 4 运用反证法应注意的问题运用反证法应注意的问题 4.1 必须正确否定结论 正确否定结论是运用反证法的首要问题. 如：命题“一个三角形中，至多有一个内角是直角”.“至多有一个”指：“只有 一个”或“没有一个” ，其反面是“有两个直角”或“三个内角都是直角” ，即“至少 有两个是直角”. 宁夏师范学院 2012 届本科生毕业论文 15 4.2 必须明确推理特点 否定结论导出矛盾是反证法的任务，但何时出现矛盾，出现什么样的矛盾是不能 预测的，也没有一个机械的标准,有的甚至是捉摸不定的. 一般总是在命题的相关领域 里考虑（ 例如,平面几何问题往往联系到相关的公理、定义、定理等），这正是反证 法推理的特点.因此，在推理前不必要也不可能事先规定要得出什么样的矛盾.只需正 确否定结论，严格遵守推理规则，进行步步有据的推理，矛盾一经出现，证明即告结 束. 4.3 了