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第二节 数形结合思想数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化,能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合. 运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程.这在解选择题、填空题中更显其优越.考试大纲的说明中强调：“在高考中，充分利用选择题和填空题的题型特点，为考查数形结合的思想提供了方便，能突出考查考生将复杂的数量关系转化为直观的几何图形问题来解决的意识，而在解答题中，考虑到推理论证的严密性，对数量关系问题的研究仍突出代数的方法而不提倡使用几何的方法，解答题中对数形结合思想的考查以由形到数的转化为主.”考试要求 展望2011年高考考查数形结合思法，可能会与以下内容为载体来命题：函数与图象的对应关系；曲线与方程的对应关系；以几何元素和几何条件为背景建立起来的概念，如三角函数等；所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义.题形一 数形结合在函数与方程中的应用例1已知0且a1,试求使方程=有解的实数的取值范围。点拨:利用对数相等的意义,同时构造两个函数,通过函数的图象有没有交点进而得出方程有没有解,从而确定出k的取值范围.解：原方程等价于0构造曲线C:y=,直线L:y= 从而使问题转化为直线L和双曲线C: (0) 轴上半部分有交点，求实数的取值范围,如图所示：有三条临界直线L、L、L 当L在L和L之间时，直线L在y轴上的截距 满足0时L与C有一个交点，解之可得01 当L在L上方时，直线L在y轴上的截距满足时L与C有一个交点，解之可得1 综合可得，所求的取值范围是易错点:首先把此题当做方程来做很可能扩大的取值范围,其次在利用图象解题时如不注意双曲线渐近线的应用,那也很容易范错.变式与引申:求函数的值域。题形二 数形结合在不等式中的应用例2(1)解三角不等式组(2)(2009江西)若不等式的解集为区间,且,则=_.点拨：在本例的两个小题中,(1)利用三角函数的图像或三角函数线求解,先求出一个周期上的解再写出全部。(2)通过数形结合的思想把一个解不等式的问题转化为求一条直线与半圆何时有交点.解：(1)yx0由图得解集为：(2)令, .其示意图如下图:若0,要满足,则,此时.从而.若0,要满足,则.则,从而不存在.易错点：(1)正确应用三角函数图像和三角函数线至关重要，否则易出现解题错误.(2)如不能联想到直线与圆的图象,则思维很容易受阻.变式与引申：（2010陕西卷理15）不等式的解集为.题形三 数形结合在向量与三角中的应用例3：求+的值点拨：仔细观察题目，发现这五个角成公差为的等差数列，五个的和为，于是我们的联想到正五边形的外角，试用作正五边形的方法来解决.xyEDCBO解：在平面直角坐标系内构造如图7所示的边长为1的正五边形，使则， ， 与x轴正方向所成的角分别为，. 在y轴上的投影分别为：.根据任意个首尾相接的向量在轴上的投影之和为零得+=0易错点：求若干个同名三角函数值的和，学生通常是应用“加法定理”来解，这样做往往比较繁琐，有时甚至难于求得正确结论。倘若我们巧用平面向量中任意（）个首尾相接的向量在轴（或轴）上的投影，投影之和为0.这一命题创设“数形结合”的情境，则可使这类问题的求解甚为直观且简捷.AOMPB变式与引申：（1）如图，点P在由射线、线段及的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动,且,则的取值范围是 ；当时,的取值范围是 .（2）若锐角、满足求证： 题形四 数形结合在解析几何中的应用例4：求函数=最小值点评：由题意可知，函数的定义域为，若从代数角度考虑，确实比较复杂；若借助两点间的距离公式，转化为几何问题，则非常容易解决解：令 (0,1) ， (2,2) ， B(2,2)YA(0,1)X则问题化为:在X轴求一点使得取最小值A(0,-1)关于轴的对称点为（，） 易错点：如果用代数方法（如两边平方等）去求解问题，往往会陷入其中，不得其解。而将代数问题几何化则使问题变得容易解决。变式与引申：（2010湖北模拟）平面直角坐标系中，若方程表示椭圆，则实数m的取值范围是 （ ）A.（0，5） B.（1，+） C.（0，1） D.（5，+）本节主要考查：1数形结合是把数或数量关系与图形对应起来，借助图形来研究数量关系或者利用数量关系来研究图形的性质，是一种重要的数学思想方法。它可以使抽象的问题具体化，复杂的问题简单化。“数缺形时少直观，形少数时难入微”，利用数形结合的思想方法可以深刻揭示数学问题的本质。2数形结合的思想方法在高考中占有非常重要的地位，考纲指出“数学科的命题，在考查基础知识的基础上，注重对数学思想思想方法的考查，注重对数学能力的考查”，灵活运用数形结合的思想方法，可以有效提升思维品质和数学技能。3“对数学思想方法的考查是对数学知识在更高层次的抽象和概括的考查，考查时要与数学知识相结合”， 用好数形结合的思想方法，需要在平时学习时注意理解概念的几何意义和图形的数量表示，为用好数形结合思想打下坚实的知识基础。4函数的图像、方程的曲线、集合的文氏图或数轴表示等，是 “以形示数”，而解析几何的方程、斜率、距离公式，向量的坐标表示则是 “以数助形”，还有导数更是数形结合的产物，这些都为我们提供了 “数形结合”的知识平台。5在数学学习和解题过程中，要善于运用数形结合的方法来寻求解题途径，制定解题方案，养成数形结合的习惯，解题先想图，以图助解题。用好数形结合的方法，能起到事半功倍的效果，“数形结合千般好，数形分离万事休”。6是否选择应用数形结合的原则是：是否有利于解决问题，用最简单的办法解决问题为最终目的。习题1.（2010四川卷理7文8）某加工厂用某原料由车间加工出产品，由乙车间加工出产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克产品，每千克产品获利40元.乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克产品，每千克产品获利50元.甲、乙两车间每天功能完成至多70多箱原料的加工，每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天获利最大的生产计划为( )A.甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱B.甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱C.甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱D.甲